新高考數(shù)學(xué)通用版總復(fù)習(xí)一輪課件第九章第5講用樣本估計(jì)總體

第5講用樣本估計(jì)總體課標(biāo)要求考情分析1.通過實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).2.通過實(shí)例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能根據(jù)實(shí)際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等)，并作出合理的解釋.1.高考對(duì)統(tǒng)計(jì)考查的覆蓋面廣，幾乎所有的統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)都有所涉及，包括樣本的頻率分布(折線圖、直方圖、莖葉圖等)中的有關(guān)計(jì)算，樣本數(shù)字特征(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等)的計(jì)算.復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)于統(tǒng)計(jì)的任何環(huán)節(jié)都不能遺漏，最主要的是掌握好統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，適度的題量練習(xí).課標(biāo)要求考情分析4.在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性.5.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡單的實(shí)際問題；能通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異.6.形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)2.高考對(duì)頻率分布直方圖或莖葉圖與概率相結(jié)合的題目考查日益頻繁.因此，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，弄清圖表中有關(guān)量的含義，并從中提煉出有用的信息，為后面的概率計(jì)算打好基礎(chǔ)(續(xù)表)1.用樣本估計(jì)總體通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種：(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；(2)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.

2.統(tǒng)計(jì)圖

(1)頻率分布直方圖

從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.具體做法如下： ①求極差：即一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差. ②決定組距和組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，常分成5～12組，組距＝__________.

③將數(shù)據(jù)分組：通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間，也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組.頻率組距，這樣得到一系列的長方形，每個(gè)長方形的面積恰好是該組的頻率.這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖，各個(gè)長方形的面積總和等于_________.1(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.

②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來越接近于一條光滑的曲線，在統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲線.(3)莖葉圖

當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄信息，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便.3.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)①眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在________位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.最中間(2)樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差__________).

②標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動(dòng)大小的數(shù)字特征，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方.通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣本容量接近總體容量時(shí)，樣本方差接近總體方差.平均數(shù)題組一走出誤區(qū)

1.(多選題)樂樂家共有七人，已知今年這七人年齡的眾數(shù)為35，平均數(shù)為44，中位數(shù)為55，標(biāo)準(zhǔn)差為19，則5年后，下列說法中正確的是()A.這七人歲數(shù)的眾數(shù)變?yōu)?0B.這七人歲數(shù)的平均數(shù)變?yōu)?9C.這七人歲數(shù)的中位數(shù)變?yōu)?0D.這七人歲數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)?4

解析：根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的概念得5年后，每人的年齡相應(yīng)增加5，而標(biāo)準(zhǔn)差不變，所以這七人年齡的眾數(shù)變?yōu)?0；平均數(shù)變?yōu)?9；中位數(shù)變?yōu)?0；標(biāo)準(zhǔn)差不變，為19.故選ABC.答案：ABC題組二走進(jìn)教材2.(必修3P81A組第1題改編)已知某班級(jí)部分同學(xué)一次測驗(yàn))的成績統(tǒng)計(jì)如圖9-5-1，則其中位數(shù)和眾數(shù)分別為(

圖9-5-1A.95,94B.92,86C.99,86D.95,91

解析：由莖葉圖可知，此組數(shù)據(jù)由小到大排列依次是76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17個(gè)，故92為中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的為眾數(shù)，故眾數(shù)為86，故選B.答案：B題組三真題展現(xiàn)

3.(2020年江蘇)已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3－a,5,6的平均數(shù)為4，則a的值是________.

解析：∵數(shù)據(jù)4,2a,3－a,5,6的平均數(shù)為4.∴4＋2a＋3－a＋5＋6＝20，即a＝2.

答案：24.(2020年全國Ⅲ)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為(

)

解析：因?yàn)閿?shù)據(jù)axi＋b(i＝1,2，…，n)的方差是數(shù)據(jù)xi(i＝1,2，…，n)的方差的a2倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為102×＝1，故選C.

答案：C考點(diǎn)1樣本的數(shù)字特征自主練習(xí)

1.(2017年全國Ⅰ)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A.x1，x2，…，xn的平均數(shù)

B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2，…，xn的最大值

D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)解析：刻畫評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差，故選B.答案：B

2.(2018年全國Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖9-5-2所示的餅圖：

圖9-5-2則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

解析：新農(nóng)村建設(shè)前，種植收入占60%；新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，種植收入占37%.實(shí)際種植收入增加，A結(jié)論不正確，故選A.答案：A解析：對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1＋＋(2＋＝，方差為(1－2.5)2×＋(2－2.5)2×＋(3－2.5)2×＋(4－2.5)2×＝；對(duì)于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1＋4)×＋(2＋3)×＝，方差為(1－2.5)2×＋(2－2.5)2×＋(3－2.5)2×＋(4－2.5)2×＝；答案：B對(duì)于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1＋4)×＋(2＋3)×＝，方差為(1－2.5)2×＋(2－2.5)2×＋(3－2.5)2×＋(4－2.5)2×＝；對(duì)于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1＋4)×＋(2＋3)×＝，方差為(1－2.5)2×＋(2－2.5)2×＋(3－2.5)2×＋(4－2.5)2×＝1.45.因此，B選項(xiàng)這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選B.

4.(2020年新高考Ⅱ)(多選題)我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，如圖9-5-3是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是()

圖9-5-3A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

解析：由題圖可知，第1天到第2天復(fù)工指數(shù)減少，第7天到第8天復(fù)工指數(shù)減少，第10天到第11天復(fù)工指數(shù)減少，第7天到第9天復(fù)產(chǎn)指數(shù)減少，故A錯(cuò)誤；

第1天的復(fù)產(chǎn)指數(shù)與復(fù)工指數(shù)的差大于第11天的復(fù)產(chǎn)指數(shù)與復(fù)工指數(shù)的差，所以這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯(cuò)誤；第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%，故C正確；第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確.答案：CD

【題后反思】本題考查折線圖表示的函數(shù)的認(rèn)知與理解，考查理解能力，識(shí)圖能力，推理能力，難點(diǎn)在于指數(shù)增量的理解與觀測，屬中檔題.考點(diǎn)2莖葉圖的應(yīng)用師生互動(dòng)

[例1](1)(2017年山東)如圖9-5-4所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件).若這兩組數(shù)據(jù)的)中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為(

圖9-5-4A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7

解析：甲組中位數(shù)為65，所以乙組中位數(shù)也為65，故y＝5，乙組平均數(shù)為66，所以56＋62＋65＋74＋70＋x＝66×5，x＝3.故選A.答案：A

(2)某APP報(bào)告顯示，除夕至初五，該APP紅包收發(fā)總量達(dá)到460億個(gè)，同比去年增長43.3%.據(jù)統(tǒng)計(jì)，春節(jié)期間，甲、乙兩個(gè)搶紅包群搶紅包的金額(單位：元)的莖葉圖如圖9-5-5，其中甲群搶得紅包金額的平均數(shù)是88元，乙群搶得紅包金額的中位數(shù)是89元，則m，n的等差中項(xiàng)為________.圖9-5-5解析：甲群搶得紅包金額的平均數(shù)是88元，88＝78＋86＋84＋88＋95＋(90＋m)＋92 7，m＝3；乙群搶得紅包金額的中位數(shù)是89元，所以n＝9.則m，n的等差中項(xiàng)為3＋9 2＝6.答案：6

【題后反思】當(dāng)兩組數(shù)據(jù)表示在一個(gè)莖葉圖中時(shí)，往往可不通過計(jì)算便能迅速得出相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)論，從而提升解題效率.此時(shí)可從數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱性及數(shù)據(jù)主要集中在哪個(gè)莖上兩個(gè)方面來進(jìn)行.一般地，若數(shù)據(jù)大致對(duì)稱，數(shù)據(jù)的集中趨勢較強(qiáng)，則數(shù)據(jù)的穩(wěn)定情況較好，即方差或標(biāo)準(zhǔn)差較?。蝗魯?shù)據(jù)更多地集中在莖中較大的幾個(gè)數(shù)所在的行，則往往平均數(shù)也較大.

【考法全練】

1.(多選題)某特長班有男生和女生各10人，統(tǒng)計(jì)他們的身高，其數(shù)據(jù)(單位：cm)如下面的莖葉圖9-5-6所示，則下列結(jié)論正確的是()圖9-5-6B.女生身高的極差為12 D.男生身高的方差較小A.女生身高的中位數(shù)為165C.男生身高的均值較大答案：BC

2.(2019年廣西南寧模擬)如圖9-5-7是甲、乙兩人在10天中每天加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖，若這10天甲加工零件個(gè)數(shù)的極差為a，乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為b，則a＋b＝________.圖9-5-7解析：由莖葉圖，知甲加工零件個(gè)數(shù)的極差a＝35－18＝3＋17＋11＋2)＝23，則a＋b＝40.答案：40考點(diǎn)3頻率分布直方圖的繪制及其應(yīng)用多維探究

[例2](1)(2020年天津)從一批零件中抽取80個(gè)，測量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33)，[5.33,5,35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如圖9-5-8所示頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個(gè)數(shù)為(

)圖9-5-8解析：根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)之間的零件頻率為＋＝，則區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)零件的個(gè)數(shù)為＝18.故選B.答案：B

(2)(2019年全國Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖9-5-9所示的直方圖：圖9-5-9記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.①求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；②分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表).解：①由題意得a＋＋＝，解得a＝0.35.由＋b＋＝1－P(C)＝1－，解得b＝0.10.

②由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為×2＋×3＋×4＋×5＋×6＋×7＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值為0.05×3＋0.10×4＋0.15×5＋0.35×6＋0.20×7＋0.15×8＝6.

【題后反思】用頻率分布直方圖解決相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)正確理解圖表中各個(gè)量的意義，識(shí)圖掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵.頻率分布直方圖有以下幾個(gè)要點(diǎn)：①縱軸表示頻率組距；

②頻率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比； ③直方圖中每一個(gè)矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個(gè)區(qū)間上的頻率，所有的小矩形的面積之和等于1，即頻率之和為1.【考法全練】

1.(2016年寧夏固原模擬)某小區(qū)共有

1000戶居民，現(xiàn)對(duì)他們的用電情況進(jìn)行調(diào)查，得到頻率分布直方圖如圖9-5-10，則該小區(qū)居民用電量的中位數(shù)為________，平均數(shù)為________.圖9-5-10答案：155

2.為了解某校九年級(jí)1600名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，測試1分鐘仰臥起坐的成績(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖9-5-11所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()圖9-5-11A.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為B.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為C.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約為320D.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為32

解析：由頻率分布直方圖可知，中位數(shù)是頻率分布直方圖面積等分線對(duì)應(yīng)的數(shù)值，是；眾數(shù)是最高矩形的中間值；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的頻率為，所以估計(jì)1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約為320；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為，所以估計(jì)1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為160.故D錯(cuò)誤.答案：D⊙函數(shù)思想在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用在高考中常以頻率分布直方圖或莖葉圖的形式出現(xiàn)，考查統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)，這也是近幾年高考出題的熱點(diǎn).

[例3](2016年全國Ⅰ)某公司計(jì)劃購買1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到柱狀圖9-5-12：圖9-5-12

記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)，n表示購機(jī)的同時(shí)購買的易損零件數(shù).(1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式；(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于，求n的最小值；

(3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購買19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購買20個(gè)易損零件，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)還是20個(gè)易損零件？解：(1)當(dāng)x≤19時(shí)，y＝3800；當(dāng)x>19時(shí)，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.所以y與x的函數(shù)解析式為

(2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為，不大于19的頻率為，故n的最小值為19. (3)若每臺(tái)機(jī)器在購機(jī)同時(shí)都購買19個(gè)易損零件，則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購買易損零件上的費(fèi)用為3800，20臺(tái)的費(fèi)用為4300,10臺(tái)的費(fèi)用為4800，因此這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為

1100×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000.

若每臺(tái)機(jī)器在購機(jī)同時(shí)都購買20個(gè)易損零件，則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購買易損零件上的費(fèi)用為4000,10臺(tái)的費(fèi)用為4500，因此這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為

1100×(4000×90＋4500×10)＝4050.

比較兩個(gè)平均數(shù)可知，購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)易損零件.

【策略指導(dǎo)】本題把統(tǒng)計(jì)與函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，有綜合性但難度不大，求解關(guān)鍵是讀懂題意，所以提醒考