人教B版高中數學必修第三冊 7.3.5已知三角函數值求角 課件（共34張PPT）

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7．3.5已知三角函數值求角

新知初探·自主學習

課堂探究·素養(yǎng)提升

【課程標準】

會利用已知的三角函數值求相應的角．

新知初探·自主學習

教材要點

知識點一已知正弦值，利用正弦線或者正弦曲線求角．

知識點二已知余弦值，利用余弦線或者余弦曲線求角．

知識點三已知正切值，利用正切線或者正切曲線求角．

基礎自測

1．已知cosx＝－，π＜x＜2π，則x＝()

A．B．C．D．

答案：B

解析：因為x∈(π，2π)且cosx＝－，∴x＝.

2．已知α是三角形的內角，且sinα＝，則α＝()

A．B．

C．或D．或

答案：D

解析：因為α是三角形的內角，所以α∈(0，π)，當sinα＝時，α＝或，故選D.

3．已知tan2x＝－且x∈[0，π]，則x＝________．

或

解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].

∵tan2x＝－，∴2x＝或2x＝，

∴x＝或.

4．若cosx＝cos，求x的值．

解析：在同一個周期[－π，π]內，

滿足cosx＝cos的角有兩個：和－.

又y＝cosx的周期為2π，所以滿足cosx＝cos的x為2kπ±(k∈Z)．

課堂探究·素養(yǎng)提升

題型1已知正弦值求角

例1已知sinx＝.

(1)當x∈[－]時，求x的取值集合；

(2)當x∈[0，2π]時，求x的取值集合；

(3)當x∈R時，求x的取值集合；

(4)求不等式sinx0)的最小正周期為π，則方程f(x)＝1在(0，π]上的解集為__________.

解析：由題意可得：＝π，解得ω＝2，

所以f(x)＝2sin(2x＋)＝1，可得sin(2x＋)＝，

因為x∈(0，π]，所以2x＋∈(]，

所以2x＋＝或，即x∈{}．

{}

(2)求不等式sinx>－的解集．

解析：當sinx＝－時，

x＝＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z，

所以－＋2kπ－的解集．

【解析】(1)①∵cosx＝－且x∈[0，π]，∴x＝.

②當x∈R時，先求出x在[0，2π]上的解．

∵cosx＝－，故x是第二或第三象限角．

所以，由余弦函數的周期性知，

當x＝＋2kπ或

x＝2kπ－(k∈Z)時，

cosx＝－，即所求x值的集合是

{x|x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)}．

(2)由cos(2x－)＝>0，知角2x－對應的余弦線方向向右，且長度為，

如圖所示，

可知角2x－的終邊可能是OP，也可能是OP′.

又因為cos＝cos(－)＝，

所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z.

所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z.

(3)如圖所示，

在[－π，π]上，＝－或＝時，

cos()＝－，

所以＝－＋2kπ或＝＋2kπ，

k∈Z時，cos()＝－.

令－＋2kπ<<＋2kπ，k∈Z，

解得－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z，

所以不等式的解集為{x|－＋4kπ<x<＋4kπ，k∈Z}．

狀元隨筆(1)(2)利用余弦線、圖象求值．

(3)先求出相等時的x值，再寫出滿足不等式的x的范圍．

跟蹤訓練2(1)已知cosx＝－且x∈[0，2π)，求x的取值集合；

(2)求不等式2cos(2x＋)－<0的解集．

解析：(1)由于余弦函數值是負值且不為－1，所以x是第二或第三象限的角，由cos(π－)＝－cos＝－，所以在區(qū)間[0，2π)內符合條件的第二象限的角是x＝π－＝.又cos(＋π)＝－cos＝－，所以在區(qū)間[0，2π)內符合條件的第三象限的角是x＝＋π＝.

故所求角的集合為{}．

(2)不等式變?yōu)閏os(2x＋)<，

則＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，

解得＋kπ<x<＋kπ，k∈Z，

所以不等式的解集為{x|＋kπ<x<＋kπ，k∈Z}．

方法歸納

cosx＝a(－1≤a≤1)，當x∈R時，可先求得[0，2π]內的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．

題型3已知正切值求角

例3(1)已知tanα＝1.

①若α∈(－)，求角α；

②若α∈R，求角α.

(2)已知f(x)＝tan(3x－)，求使f(x)≤－成立的x的集合．

【解析】(1)①由正切函數在開區(qū)間(－)上是增函數可知，符合條件tanα＝1的角只有一個，即α＝.

②α＝kπ＋(k∈Z)．

(2)方法一令t＝3x－，作出函數y＝tant的圖象如圖，

則－＋kπ<t≤－＋kπ，k∈Z，

即－＋kπ<3x－≤－＋kπ，k∈Z，

解得－<x≤，k∈Z，

所以不等式tan(3x－)≤－的解集為

(－]，k∈Z.

方法二因為tan(3x－)＝－<0，令t＝3x－，

所以角3x－對應的正切線方向朝下，而且長度為，

如圖所示，

可知3x－的終邊可能是OT，也可能是OT′，

因為tan(－)＝tan＝－，

即－＋kπ<3x－≤－＋kπ，k∈Z，

解得－<x≤，k∈Z，

所以不等式tan(3x－)≤－的解集為

(－]，k∈Z.

狀元隨筆利用正切線或圖象求值，先求x的范圍，再根據周期寫解集．

方法歸納

(1)已知角的正切值求角，可先求出(－)內的角α，再由y＝tanx的周期性表示所給范圍內的角．

(2)tanx＝a，a∈R的解集為{x|x＝kπ＋α，k∈Z}．

跟蹤訓練3(1)已知tanx＝－1，寫出在區(qū)間[－2π，0]內滿足條件的x.

解析：∵tanx＝－1＜0，

∴x是第二或第四象限的角．

由tan(－)＝－tan＝－1可知，

所求符合條件的第四象限角為x＝－.

又由tan(－)＝－tan＝－1，

得所求符合條件的第二象限角為x＝－，

∴在[－2π，0]內滿足條件的角是－與－.

(2)當0<x<π時，使tanx<－1成立的x的取值范圍為________.

解析：由正切函數的圖象知，當0<x<π時，

若tanx<－1，則<x<，

即實數x的取值范圍是()．

()

(3)函數y＝1＋tan(2x－)在區(qū)間(－π，π)內的零點個數為________.

解析