6-第六章格林函數(shù)-1-4節(jié)課件

第六章基本解和格林函數(shù)法

第一節(jié)泊松方程及其基本解第二節(jié)解拉普拉斯第一邊值問題的格林函數(shù)法第三節(jié)特殊區(qū)域上的格林函數(shù)第四節(jié)平面特殊區(qū)域的格林函數(shù)1第一節(jié)泊松方程及其基本解

一、泊松方程描述有源靜電場及定常穩(wěn)恒溫度場的分布等穩(wěn)定的平衡物理現(xiàn)象的泊松方程：簡寫為如果得到拉普拉斯方程：2簡寫為例一：如果在某個(gè)物體中有(與時(shí)間無關(guān))定常的熱源分布，其密度為此處k為導(dǎo)熱系數(shù)，物體中溫度分布已經(jīng)穩(wěn)定，便有對(duì)應(yīng)的三維熱傳導(dǎo)方程為3或其中f為已知函數(shù)，這是泊松方程。如果沒有熱源，即則我們得到拉普拉斯方程。例二：設(shè)在一真空空間區(qū)域中存在一個(gè)4靜電場

電荷的密度分布函數(shù)為根據(jù)靜電學(xué)中的基本定律，有且這個(gè)靜電場是無旋的，那么必定是有勢的，即存在一個(gè)電位函數(shù)：使得(斯托克斯定理)(高斯定理)把這個(gè)式子代到第一個(gè)方程中去，則5如果此空間中無電荷存在，即我們就得到拉普拉斯方程：附:

電場的高斯定理:

穿過閉合曲線S

向外的電通量等于閉合曲線所圍空間T

中的電量的倍,為真空介電常數(shù),即6把上式左面的積分改為體積積分可得

再由T的任意性可得斯托克斯定理:

對(duì)任意閉合路徑L及其圍成的曲面S，有7若矢量場E沿任意閉合路徑L的環(huán)量恒為零—保守場，它就是無旋場.由靜電場的環(huán)路定理和斯托克斯定理可得再由空間曲線積分和路線的無關(guān)性可得存在u(x,y,z),使靜電場的環(huán)路定理:靜電場是一個(gè)保守場,即對(duì)任意閉合路徑L,E的環(huán)量均為零,

8特別情形：例三:若在整個(gè)空間中只有一個(gè)單位正電荷，放置在坐標(biāo)原點(diǎn)，即電荷密度分布函數(shù)為函數(shù)，這時(shí)電位u滿足方程:從靜電學(xué)知，其電位函數(shù)為此處因此，形式上，上式可作如下推導(dǎo)：9設(shè)未知函數(shù)u滿足方程兩邊同時(shí)作傅里葉變換：根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)可得方程可變換為10或作傅里葉逆變換，在空間中取定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)以和分別表示由坐標(biāo)原點(diǎn)指向這兩個(gè)點(diǎn)的矢徑，11表示它們的夾角，則適當(dāng)選擇坐標(biāo)系使軸與點(diǎn)

的方向重合,并在積分中采用球坐標(biāo)：體積元那么1213所以

二、泊松方程的基本解若任意一個(gè)函數(shù)滿足則函數(shù)也是的解.所以

不是方程的唯一解.的任何解均可表示成形式14定義:將方程的解稱為泊松方程或拉普拉斯方程的基本解。如果點(diǎn)電荷放在點(diǎn)處，則在任意一點(diǎn)處的電位為即15如果已經(jīng)知道了泊松方程的一個(gè)基本解即它滿足方程則卷積是泊松方程的一個(gè)解。證明：由于G滿足方程16則那么，所以為泊松方程的解。17第二節(jié) 解拉普拉斯第一邊值問題的

格林函數(shù)法

一、格林公式格林(Green)公式的推導(dǎo)。設(shè)是三維空間中的某一個(gè)有界區(qū)域，S為其邊界，u及v在上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則第一格林公式18第二格林公式

其中為S的外法線方向的方向向量，表示沿方向的方向?qū)?shù)：19證明：高斯公式其成立條件是P,Q,R

在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。注意到20將上式兩端在區(qū)域上積分，并對(duì)右端第一個(gè)積分運(yùn)用高斯公式，即21因?yàn)閯t對(duì)于上式的積分為從而證明了第一格林公式。22在第一格林公式中將u和v對(duì)換，得到將兩式相減得第二格林公式二泊松方程的第一邊值問題及其格林函數(shù)

求出泊松方程第一邊值問題 的解.23第一邊值問題也稱為狄里克萊問題如果則問題變?yōu)槔绽沟谝贿呏祮栴}：附:調(diào)和函數(shù):稱具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)。所以：拉普拉斯第一邊值問題變?yōu)?--在區(qū)域上找一個(gè)調(diào)和函數(shù)，使它在邊界S上的值為已知函數(shù)。24下面求解,為此首先引進(jìn)格林函數(shù)的概念稱滿足定解問題

或的函數(shù)為泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù),其中是區(qū)域中一個(gè)任意固定的點(diǎn).假設(shè)已經(jīng)求出格林函數(shù)G,

那么25由第二格林公式,則上式變?yōu)榈赟上所以可得對(duì)于拉普拉斯第一邊值問題，如果26上式可寫為三、格林函數(shù)的物理意義其中G也可稱為拉普拉斯方程第一邊值問題的格林函數(shù).把區(qū)域的邊界考慮為一個(gè)金屬殼體，并把它用導(dǎo)線接地，并在內(nèi)一點(diǎn)放置一個(gè)單位正電荷，令表示這個(gè)靜電場的電位函數(shù)，由于現(xiàn)在電荷是集中在一點(diǎn)的，可用函數(shù)來表示電荷分布密度，27因此電位函數(shù)V

應(yīng)該滿足方程(在內(nèi))，由于邊界接地，在邊界上有由此可見，格林函數(shù)就是這么一個(gè)電場的電位。28第三節(jié) 特殊區(qū)域上的格林函數(shù)

格林函數(shù)法對(duì)于求解泊松方程和拉普拉斯方程的第一邊值問題有著重要的應(yīng)用.對(duì)于某些特殊的區(qū)域，其格林函數(shù)的求解可用“鏡像法”或“位像法”求得.鏡像法”----尋找相對(duì)于曲面的“對(duì)稱”的兩點(diǎn)，在曲面內(nèi)的一點(diǎn)放置一個(gè)單位正電荷，而在曲面外“對(duì)稱”的點(diǎn)處放置一個(gè)電量適當(dāng)?shù)呢?fù)電荷，使得這兩個(gè)正負(fù)電荷產(chǎn)生的電位在曲面上互相抵消，它們產(chǎn)生的電位的代數(shù)和就是所要求的格林函數(shù)。29一、半空間上的格林函數(shù)上半空間區(qū)域上的格林函數(shù)滿足在半空間上取一點(diǎn)令表示自原點(diǎn)到該點(diǎn)的距離，并在該點(diǎn)放置一個(gè)單位正電荷，它所形成的靜電場在任何一點(diǎn)處的電位函數(shù)為30并且即函數(shù)滿足方程但是它不是格林函數(shù)，因?yàn)樗谶吔缙矫嫔喜粸榱恪ＴO(shè)為點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，并在點(diǎn)處放置一個(gè)單位負(fù)電荷，這樣，該負(fù)電荷所形成的靜電場在點(diǎn)31的電位為并且若即點(diǎn)M

位于平面上，則有32說明這兩個(gè)電荷所形成的電位在平面上相互抵消。令注意到點(diǎn)位于半空間之外，則函數(shù)G滿足這說明G為所求之格林函數(shù)。

33有了格林函數(shù)，定解問題的解可表示為此處為沿平面的“外”法線方向的方向向量。平面對(duì)于區(qū)域的“外”法線方向即為垂直向下的方向，所以3435那么，定解問題的解為36二、球域的格林函數(shù)現(xiàn)在考慮球域上的格林函數(shù)。是半徑為R的球域，不妨設(shè)球心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,

在球內(nèi)取一點(diǎn)在點(diǎn)放置一個(gè)單位正電荷，它所形成的靜電場在任意一點(diǎn)處的電位函數(shù)為它滿足37但是它在球面S上的值不為零，因此不能作為格林函數(shù)。為求出球域內(nèi)的格林函數(shù)，將的連線延長至使得稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于球面S的對(duì)稱點(diǎn)或反演點(diǎn)，并在點(diǎn)處放置一個(gè)q單位的負(fù)電荷，適當(dāng)選擇q的值，使得這兩個(gè)電荷所形成的電位在球面S

上相互抵消。為此，只要取38或者其中P為球面S上任意一點(diǎn)。注意，在三角形及中，它們又有一個(gè)公共角故故可取39就能使這兩個(gè)電荷所形成的電位之和在球面S上為零，相應(yīng)的格林函數(shù)為注意到點(diǎn)位于球面之外，函數(shù)G

滿足

這說明G即為所求之格林函數(shù)。40有了格林函數(shù)，定解問題的解可表示為此處為沿球面S的外法線方向的方向向量，即沿球的半徑的方向.為方便起見，這兒采用球坐標(biāo)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為41與之間的夾角為由余弦定理，及那么42并且同樣可計(jì)算所以我們可得到43可得定解問題的解(稱為球的泊松公式)其中為球內(nèi)一點(diǎn),為球面S上的點(diǎn)，是OM與ON之間的夾角。

用初等的方法可推得44這兩個(gè)公式提供了如何利用一個(gè)調(diào)和函數(shù)在球面上的值去計(jì)算該函數(shù)在球內(nèi)任意一點(diǎn)的值。特別，如果點(diǎn)M就是球心，那么

上式表明，一個(gè)調(diào)和函數(shù)在球心的值等于它在球面上值的平均，因此該式也稱為調(diào)和函數(shù)的平均值公式。45第四節(jié) 平面特殊區(qū)域的格林函數(shù)一、基本解二維泊松方程的形式仍為(

為已知函數(shù))對(duì)應(yīng)的齊次方程為拉普拉斯方程：可以證明，函數(shù)46為二維拉普拉斯方程的基本解，卷積給出了泊松方程的解。二、格林公式二維區(qū)域曲線積分的格林公式為47D是平面有界連通區(qū)域，C是D的正向光滑邊界，A和B在D+C上連續(xù)，在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).經(jīng)過變形，上式變?yōu)?/p>

是封閉曲線C的外法線方向的方向向量。平面區(qū)域上的第二格林公式48三、格林函數(shù)對(duì)于二維區(qū)域D上的泊松方程的第一邊值問題此處C

為D的邊界,是二維區(qū)域D中一個(gè)任意固定的點(diǎn)，

其格林函數(shù)應(yīng)該滿足條件49假設(shè)已經(jīng)求出G,那么定解問題的解為對(duì)于拉普拉斯第一邊值問題其解可簡單寫為50四、特殊平面區(qū)域上的格林函數(shù)的例子1．上半平面上的格林函數(shù)在上半平面區(qū)域上的格林函數(shù)滿足：在上半平面上取一點(diǎn)令表示自原點(diǎn)到該點(diǎn)的距離，51在該點(diǎn)放置一個(gè)單位正電荷，在點(diǎn)關(guān)于直線y=0對(duì)稱點(diǎn)

處放置一個(gè)單位負(fù)電荷，使得這兩個(gè)電荷所形成的電位在直線y=0上相互抵消?？傻酶窳趾瘮?shù) 拉普拉斯第一邊值問題的解：52或者2．圓域上的格林函數(shù)在圓域D上的格林函數(shù)滿足：D是半徑為R的圓域，圓周曲線為C.

與球的問題類似，設(shè)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,在圓內(nèi)取一點(diǎn)