復(fù)變函數(shù)總課件第三章

§5Cauchy積分公式內(nèi)容簡介利用Cauchy-Goursat基本定理在多連通域上的推廣,即復(fù)合閉路定理,導(dǎo)出一個用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式,該公式不僅給出了解析函數(shù)的一個積分表達式，從而成為研究解析函數(shù)的有力工具，而且提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的方法.0一般dz

?

0C

z

-

z0

f

(

z)z

-

z0

f

(z)

在z

不解析.\

C1

f

(z)

dzz

-

z0dz

=C

z

-

z0線C1

C的內(nèi)部。

f

(z)"包含z0在內(nèi)部的曲由復(fù)合閉路定理得

,分析設(shè)D

-單連通,f

(z

)在D內(nèi)解析,z0

?

D,C是D內(nèi)圍繞z0的一條閉曲線,則DCz0C110011f

(

z)f

(

z)dz

=

2pif

(

z

)z

-

z0z

-

z0z

-

z0Cdz

=

CCfi

f

(

z

)d

fi

0dz

fi=d

(d

>0可充分小)}C1

=

{z z

-

z0f

(

z0

)當(dāng)d

fi

0時,f

(z

)fi

f

(z

)的連續(xù)性,在C上的函數(shù)值f

(z

)這個猜想是對的,這就是下面的定理.CDz0C1∴猜想積分3)z0為C內(nèi)"一點定理(Cauchy

積分公式)設(shè)f

(z

)在D內(nèi)處處解析,C是D內(nèi)"一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,0f

(z)

dz01f

(z

)

=2pi

C

z

-

z00Kf

(

z

)

dz

=

2pif

(

z

)z

-

zC

z

-

z0\只須證明:limRfi

0證明

設(shè)"

K

=

{z z

-

z0

=

R}

C的內(nèi)部.

f(z)

dz與K的半徑R無關(guān),00z

-

zf

(z)

dz

-2pif

(z

)

<

eK即要證:"e

>

0,$d

>

0

?

z

-

z0

=

R

<d=

KKKdzdzK

z

-

zz

-

zz

-

zz

-

z0000000f

(z)

-

f

(z

)1f

(z)

dz

-

f

(z

)f

(z)

dz

-

2pif

(z

)

=e0￡KKds

=

2peRds<z

-

z0f

(z)

-

f

(z

)f

(z)

-

f

(z0

)

<

e=

R

<

d?

z

-

z0z

-z0"

e

>

0,

$d

>

0

lim

f

(z)

=

f

(z0

)00Kf

(

z

)

dz

=

2pif

(

z

)z

-

z\

limr

fi

0C001

f

(z)

dz

f

(z

)

=2pi z

-

z內(nèi)解析,及在C

+B

=B上連續(xù),Cauchy積分公式仍成立.==2p002p00002pRe2pi1dz1

f

(z)f

(z

+

Reiq

)dqRieiq

dqiq1

f

(z

+

Reiq

)f

(z0

)

=

2pi

C

z

-

z(2)若C

:

z

=

z

+

Reiq

則

(1)若定理條件改為f

(z)在C所圍區(qū)域B即,一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.z

=4z

=4z

+

1

z

-

3z2)

（

1

+

2

）dz求：1)

1

sin

z

dz2pi1)

1

z

=

0z

=

4zsin

z

dz

=

1

sin z

=

02pi2pi2pi

1

+

2pi

2

=

6piz

-

3

z

=4

z

+1

z

=4

z

-

3z

=42)

(

1

+

2

)dz

=

dz

+

2

dzz

+1f

(z

)=1及2=例1解2C為包含

z

=

1在內(nèi)的

"

簡單正向曲線

.z

-

z2z

-

1

dzC例2

求zz2pi2

22C2C11

2=

4pi2z

-12pi

+z

-1=2z

-12z

-1z

-

z

z

-

z

z

-

z2z

-1

dz

=

2z

-1

dz

+

2z

-1

dzz=1z=0

z

-1

dz

+

z

dzz

-1=

C

CC由C積分公式2z

-1解CC1C21xyo求f

'(1

+i

).dV,V

-

z3V2

+

7V

+

1例3

設(shè)C

表圓周x

+

y

=

3,

f

(z)

=

C2

2解\

f

(z)

=

CdV

=

2pi(3z

2

+

7z

+

1)V

-

z3V2

+

7V

+