第9章彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限元法教學(xué)課件

9.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程彈性力學(xué):是研究彈性體（變形體）在約束和外載荷作用下應(yīng)力和變形分布規(guī)律的一門學(xué)科。方法:在彈性力學(xué)中針對(duì)微小的單元體（dxdydz）建立基本方程，把復(fù)雜形狀彈性體的受力和變形分析問(wèn)題歸結(jié)為偏微分方程組的邊值問(wèn)題。彈性力學(xué)的基本方程:平衡方程、幾何方程、物理方程。

有限元方法所處理的對(duì)象:任意變形體變形體:即物體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間可發(fā)生相對(duì)移動(dòng)。11）連續(xù)，2）均勻，3）各向同性，4）完全彈性，5）小變形。5)小變形假定:物體變形遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸，在建立方程時(shí)，可以略去高階小量(二階以上)。1)物體內(nèi)的物質(zhì)連續(xù)性假定:物質(zhì)無(wú)空隙，可用連續(xù)函數(shù)來(lái)描述。2)物體內(nèi)的物質(zhì)均勻性假定:物體內(nèi)各個(gè)位置的物質(zhì)具有相同特性。3)物體內(nèi)的物質(zhì)(力學(xué))特性各向同性假定:物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個(gè)方向上具有相同特性。4)線性彈性假定:物體的變形與外力作用的關(guān)系是線性的，外力去除后，物體可恢復(fù)原狀。彈性力學(xué)的基本假定如下：29.1.1基本變量彈性力學(xué)中的基本變量為體力、面力、應(yīng)力、位移、應(yīng)變

1）體力：是分布在物體體積內(nèi)部的力，例如重力和慣性力。2）面力：是作用在物體表面上的力，例如兩物體間接觸力、流體壓力。3）應(yīng)力：物體受到約束和外力作用，其內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力。物體內(nèi)某一點(diǎn)的內(nèi)力就是應(yīng)力。應(yīng)力S在其作用截面上的法向分量稱為正應(yīng)力，用σ表示；在作用截面上的切向分量稱為剪應(yīng)力，用τ表示。

外力3外力內(nèi)力內(nèi)力4將每個(gè)面上的應(yīng)力分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，分別與三個(gè)坐標(biāo)軸平行。

研究受外力作用的物體中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

單元體應(yīng)力分量問(wèn)題：1）、下標(biāo)表示？2）、剪應(yīng)力互等關(guān)系？

5剪應(yīng)力互等：作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的（大小、方向）。物體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量來(lái)表示。

64）位移:包括剛體位移、相對(duì)位移。由于物體受力后發(fā)生了變形，物體內(nèi)個(gè)點(diǎn)間的相對(duì)移動(dòng)。用位移在x，y，z坐標(biāo)軸上的投影u、v、w表示。5）應(yīng)變:物體的形狀改變可以歸結(jié)為長(zhǎng)度和角度的改變。各線段的單位長(zhǎng)度的伸縮，稱為正應(yīng)變，用ε表示。兩個(gè)垂直線段之間的直角的改變，用弧度表示，稱為剪應(yīng)變，用γ表示。與應(yīng)力定義類似，物體內(nèi)任意一點(diǎn)的變形，可以用六個(gè)應(yīng)變分量表示。

79.1.3平衡方程（應(yīng)力——體力之間關(guān)系）彈性力學(xué)中，在物體中取出一個(gè)微小單元體建立平衡方程。平衡方程代表了力的平衡關(guān)系，建立了應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系。對(duì)于平面問(wèn)題，在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)有，

8三維應(yīng)力情況下的平衡微分方程若：則平面問(wèn)題99.1.4幾何方程（應(yīng)變—位移關(guān)系）對(duì)于平面問(wèn)題，總的變形可分解為長(zhǎng)度變化和角度變化：由幾何方程可以得到位移和變形之間的關(guān)系。①定義x方向的相對(duì)伸長(zhǎng)量②定義y方向的相對(duì)伸長(zhǎng)量10③定義夾角的變化則定義夾角的總變化為則平面問(wèn)題的幾何變形方程為:113D問(wèn)題的幾何變形方程為:12變形協(xié)調(diào)方程（變形連續(xù)方程、相容方程）描述六個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系。139.1.5物理方程（應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，本構(gòu)方程）對(duì)彈性體，應(yīng)力-應(yīng)變——線性關(guān)系——廣義虎克定理：14虛位移原理若彈性體在已知的面力和體力的作用下處于平衡狀態(tài)，那么使彈性體產(chǎn)生虛位移時(shí)，所有作用在彈性體上的外力在虛位移上所做的功就等于彈性體所具有的虛應(yīng)變能。同樣當(dāng)虛位移發(fā)生時(shí)，在彈性體單位體積內(nèi)應(yīng)力在相應(yīng)的虛應(yīng)變上所作的功為159.1.2平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題彈性體在滿足一定條件時(shí)，其變形和應(yīng)力的分布規(guī)律可以用在某一平面內(nèi)的變形和應(yīng)力的分布規(guī)律來(lái)代替，這類問(wèn)題稱為平面問(wèn)題。平面應(yīng)變問(wèn)題平面問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題設(shè)有很薄的等厚薄板（某一方向的尺寸較另外兩個(gè)方向尺寸小很多），只在板邊上受到平行于板面并且不沿厚度變化的面力，體力也平行于板面且不沿厚度變化。

即：當(dāng)結(jié)構(gòu)滿足以下兩個(gè)條件時(shí)，則認(rèn)為是平面應(yīng)力問(wèn)題。(1)幾何條件：厚度尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于截面尺寸，即結(jié)構(gòu)形狀呈薄板形。(2)載荷條件：載荷平行于板平面且沿厚度方向均勻分布，板平面不受任何外力作用。16設(shè)板的厚度為t，在板面上：由于平板很薄，外力不沿厚度變化，因此在整塊板上有，

工程中的許多結(jié)構(gòu)都可作為平面應(yīng)力問(wèn)題來(lái)處理，如鏈傳動(dòng)中的鏈片、發(fā)動(dòng)機(jī)中的連桿、內(nèi)燃機(jī)的飛輪、軋機(jī)的機(jī)架和齒寬較小的直齒圓柱齒輪等。17182）平面應(yīng)變問(wèn)題設(shè)有很長(zhǎng)的柱形體（長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于它的橫向尺寸），支承情況不沿長(zhǎng)度變化，在柱面上受到平行于橫截面（⊥z軸）而且不沿長(zhǎng)度變化的面力，體力也如此分布。

凡滿足以下兩個(gè)條件的結(jié)構(gòu)可視為平面應(yīng)變問(wèn)題。(1)幾何條件:沿厚度方向的截面形狀和大小相同且厚度尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于截面尺寸，即結(jié)構(gòu)呈等截面的細(xì)長(zhǎng)形。

(2)載荷條件:載荷垂直于厚度方向(平行橫截面)且沿厚度均勻分布，兩個(gè)端面不受力。19以柱體的任一橫截面為XY平面，任一縱線為Z軸。假定該柱體為無(wú)限長(zhǎng)，則任一截面都可以看作對(duì)稱面。由對(duì)稱性，

工程中滾針軸承的滾針、軋鋼機(jī)的軋輥、水壩、受內(nèi)壓管道、齒寬較大的直齒輪等都可按平面應(yīng)變問(wèn)題來(lái)處理。位移分量都不沿z方向變化。201、平面應(yīng)力問(wèn)題中（Z軸垂直于該平面），諸應(yīng)力分量中為零的是（

）。2、在平面應(yīng)力問(wèn)題中，沿板厚方向（）。A應(yīng)變?yōu)榱悖珣?yīng)力不為零B應(yīng)力為零，但應(yīng)變不為零C應(yīng)力、應(yīng)變都為零D應(yīng)變、應(yīng)力都不為零3、從作圖的結(jié)構(gòu)體中取出單元體進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)分析，正確的是()A.σx=σy=0,τxy≠0B.τxy=τyz=0,σx=σy≠0C.τyz=τxz=0,σz=0D.σx=σy≠0,τxy=0A

σx,σy，σz

B

τxy,τxz,τyz

C

σx,σy,τxy

D

σz,τyz,τxz

21彈性力學(xué)平面問(wèn)題的物理方程由廣義虎克定律得到。1）平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程22令：[D]=[C]-1[D]稱為彈性矩陣。對(duì)稱矩陣，與材料性能參數(shù)E、μ有關(guān)。由應(yīng)變求應(yīng)力的彈性方程。232）平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程24在平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程中，將E替換為，，替換為可以得到平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程；

在平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程中，將E替換為、替換，可以得到平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程。

25平面問(wèn)題的基本解法平面問(wèn)題的未知變量平衡方程幾何方程物理方程平面應(yīng)力平面應(yīng)變26一、應(yīng)力法：應(yīng)力作為基本未知量位移應(yīng)變應(yīng)力幾何方程物理方程應(yīng)力應(yīng)變位移物理方程幾何方程求解二、位移法：位移分量作為基本未知量求解彈性力學(xué)問(wèn)題的基本解法外力平衡微分方程力平衡微分方程279.2單元位移函數(shù)9.2.1平面問(wèn)題的3節(jié)點(diǎn)三角形單元3結(jié)點(diǎn)三角形單元節(jié)點(diǎn)i、j、m的坐標(biāo)分別為

節(jié)點(diǎn)位移分別為

逆時(shí)針?lè)较蚓幋a為正

uvP28節(jié)點(diǎn)位移單元內(nèi)位移分量應(yīng)變應(yīng)力節(jié)點(diǎn)力幾何方程物理方程平衡方程[K]?怎樣描述位移的變化規(guī)律？位移模式29uvP9.2.1位移模式—由節(jié)點(diǎn)位移求內(nèi)部任一點(diǎn)位移彈性體內(nèi)實(shí)際的位移分布可以用單元內(nèi)的位移分布函數(shù)來(lái)分塊近似地表示。在單元內(nèi)的位移變化可以假定一個(gè)函數(shù)來(lái)表示，這個(gè)函數(shù)稱為單元位移函數(shù)、或單元位移模式。（單元位移和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系）假設(shè)單元內(nèi)任一點(diǎn)P(x,y)的位移u,v為坐標(biāo)的某種函數(shù)u(x,y)、v(x,y)將3個(gè)結(jié)點(diǎn)上的坐標(biāo)和位移分量代入公式，就可以將六個(gè)待定系數(shù)用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和位移分量表示出來(lái)。30將水平位移分量和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)公式中的第一式，（下標(biāo)i，j，m輪換）其中:31同理:令（下標(biāo)i，j，m輪換）Ni

稱為形態(tài)函數(shù)[N]稱為形態(tài)矩陣32

單元內(nèi)的位移函數(shù)用節(jié)點(diǎn)位移表示，可以簡(jiǎn)寫成，單元的結(jié)點(diǎn)位移記為單元內(nèi)的位移記為33選擇單元位移函數(shù)應(yīng)滿足以下條件：

1）位移模式必須反映單元的剛體位移：常數(shù)項(xiàng)2）位移模式必須反映單元的常量應(yīng)變：線性3）相鄰單元在公共邊界上的位移連續(xù)，單元之間不能重疊，也不能脫離。即位移函數(shù)在單元之間連續(xù)，稱為協(xié)調(diào)性條件。滿足1）、2）條原則的稱為完備性單元。同時(shí)滿足三條原則的稱為完備協(xié)調(diào)單元。34形態(tài)函數(shù)N(x,y)具有以下性質(zhì)：

1）形態(tài)函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)上形態(tài)函數(shù)的值，具有“本點(diǎn)為1，它點(diǎn)為0”。2）形態(tài)函數(shù)在單元中任一點(diǎn)，三個(gè)形態(tài)函數(shù)之和為1。353）三角形單元任意一邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，而與其他節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)。例如：在ij邊上（即i，j節(jié)點(diǎn)），有36例題1：如圖所示等腰三角形單元，求其形態(tài)矩陣[N]。37三角形積為

形態(tài)函數(shù)為形態(tài)矩陣為38例2、證明：對(duì)平面三角形單元形函數(shù)存在下列關(guān)系39節(jié)點(diǎn)位移單元內(nèi)位移分量應(yīng)變應(yīng)力節(jié)點(diǎn)力幾何方程物理方程平衡方程[K]位移模式[N]409.3單元?jiǎng)偠染仃囉霉?jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)部各點(diǎn)位移：1由節(jié)點(diǎn)位移求應(yīng)變

41記為，[B]矩陣稱為幾何矩陣。

[B]矩陣可以表示為分塊矩陣的形式由幾何方程可以得到單元的應(yīng)變表達(dá)式

42關(guān)于幾何矩陣

1)幾何矩陣中每一元素bi的物理意義：?jiǎn)卧骋还?jié)點(diǎn)有單位位移且其它節(jié)點(diǎn)位移皆為0時(shí)，所引起單元內(nèi)部的應(yīng)變分布。

2)幾何矩陣中各元素為常數(shù)（單元位移確定后，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值為定值），因而應(yīng)變分量為常量，平面三角形單元為常應(yīng)變單元。（這是由于采用線性位移函數(shù)的結(jié)果）。

1、推導(dǎo)桿單元的形態(tài)函數(shù)、形態(tài)矩陣、幾何矩陣。練習(xí)：EAl12x43442、已知三角形單元的形態(tài)矩陣為根據(jù)形態(tài)矩陣求三角形單元的幾何矩陣452由應(yīng)變求應(yīng)力

由物理方程，可以得到單元的應(yīng)力表達(dá)式

[D]稱為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題

對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題463由節(jié)點(diǎn)位移求應(yīng)力

定義為應(yīng)力矩陣。

將應(yīng)力矩陣分塊表示為關(guān)于應(yīng)力矩陣

1)應(yīng)力矩陣中每一元素的物理意義：?jiǎn)卧骋还?jié)點(diǎn)有單位位移且其它節(jié)點(diǎn)位移皆為0時(shí)，所引起單元內(nèi)部的應(yīng)力分布。

2)應(yīng)力矩陣中各元素為常數(shù)，因而應(yīng)力分量為常量，平面三角形單元為常應(yīng)力單元。474由應(yīng)力求節(jié)點(diǎn)力——根據(jù)虛位移原理485由節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力單元?jiǎng)偠染仃?9例題2：如圖所示等腰三角形單元，求其剛度矩陣[K]，設(shè)μ=0。解：1）求[B]502）求[D]3）求[S]514）求[K]529.4單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)與物理意義

（一）單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x

假設(shè)單元的節(jié)點(diǎn)位移如下：由，得到節(jié)點(diǎn)力如下：Kix,ix表示i節(jié)點(diǎn)在水平方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i的水平方向上需要施加的節(jié)點(diǎn)力。

Kiy,ix表示i節(jié)點(diǎn)在水平方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i的垂直方向上需要施加的節(jié)點(diǎn)力。因此單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素都可以理解為剛度系數(shù)，即在結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移時(shí)需要施加的力。53（二）單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)1)對(duì)稱性2)奇異性3)分塊性549.5整體剛度矩陣的形成基本方法是剛度集成法，由單元?jiǎng)偠染仃囍械脑乩奂拥玫秸w剛度矩陣中的元素，即整體剛度矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚨募?。如何得到整體剛度矩陣？剛度集成法即結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)力是相關(guān)單元節(jié)點(diǎn)力的疊加，整體剛度矩陣的元素是相關(guān)單元的單元?jiǎng)偠染仃囋氐募?。?jié)點(diǎn)3在整體剛度矩陣的對(duì)應(yīng)系數(shù)，應(yīng)該是單元（1）、（3）、（4）中對(duì)應(yīng)系數(shù)的集成。55iijijjmjmmim單元(1):i，j，m單元的局部碼與整體的總碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系：1，2，3單元(2):i，j，m2，4，5單元(3):i，j，m2，5，3單元(4):i，j，m3，5，6ijmijm1231234564565612312345645612312323245245532535635657[kii]1[kij]1[kij]1[kji]1[kjj]1+[kii]2+[kii]3[kjm]1+[kim]3[kij]2[kim]2+[kij]3[kmi]1[kmj]1+[kmi]3[kmm]1+[kmm]3+[kii]4[kij]1+[kmj]3+[kij]4[kij]1+[kim]4[kji]2[kjj]2[kjm]2[kmi]2+[kji]3[kij]1+[kjm]3+[kji]4[kmj]2[kmm]2+[kjj]3+[kjj]4[kij]1+[kjm]4[kij]1+[kmi]4[kij]1+[kmj]4[kij]1+[kmm]4123456123456整體剛度矩陣如下所示：

總碼58剛度矩陣集成的規(guī)則

⑴確定整體結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)數(shù)n，整體剛度矩陣為2nx2n階矩陣，整體剛度矩陣分塊矩陣為nxn階矩陣。⑵確定局部碼與總碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系，i、j、m——總碼位置。⑶將各單元?jiǎng)偠染仃囍械拿總€(gè)子矩陣[Kij]e放到整體剛度矩陣的對(duì)應(yīng)位置。⑷出現(xiàn)在同一位置上的分塊矩陣，迭加成整體剛度矩陣中的一個(gè)子矩陣。599.6整體剛度矩陣的特點(diǎn)與存儲(chǔ)方法

1、整體剛度矩陣的特點(diǎn)：對(duì)稱性稀疏性非零系數(shù)帶形分布對(duì)稱性：利用對(duì)稱性，只保存整體矩陣上三角部分的系數(shù)即可。

60稀疏性:在整體剛度矩陣中，存在大量的零元素，非零元素的個(gè)數(shù)只占較小的部分。這是由結(jié)構(gòu)體存在大量互不相關(guān)的節(jié)點(diǎn)造成的。

61整體剛度矩陣的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，這種矩陣稱為帶形矩陣。

在包括對(duì)角線元素的半個(gè)帶形區(qū)域內(nèi)，每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬。

622D連續(xù)體問(wèn)題總體剛度矩陣的半帶寬:639.7約束條件的處理位移邊界條件在大多數(shù)情形下有兩類:第一類:零位移邊界第二類:給定具體數(shù)值的位移邊界64第一類:零位移邊界方法:對(duì)角元素置“1”法不變不變不變不變65第二類:給定具體數(shù)值的位移邊界方法:對(duì)角元素乘大數(shù)法669.8單元等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣1、體積分布力672、分布面力xqmjiyαs68xqmjiys69xqmjiys703、集中力xqmjiyslilj71節(jié)點(diǎn)載荷列陣的集成單元(1)123456單元(2)123456單元(3)123456單元(4)123456P72結(jié)構(gòu)的平衡方程739.9應(yīng)用iijijjmjmmimP＝1KN/m1、如圖所示結(jié)構(gòu)為一平面應(yīng)力問(wèn)題離散化后的結(jié)構(gòu)圖，用有限元法計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)變、單元應(yīng)力。（μ=0,t=1）解：載荷P作用在節(jié)點(diǎn)1上，邊界條件：u1=u2=u4=v4=v5=v6=01)單元分析：74由于μ=0752)整體分析：對(duì)稱76對(duì)稱773)單元應(yīng)變計(jì)算：784)單元應(yīng)力計(jì)算：795)單元節(jié)點(diǎn)力計(jì)算：802、等腰直角三角形單元ABC，AC=BC=10mm，厚度為5mm，已知材料彈性模量E＝2x105N/mm2，μ=0。如A點(diǎn)沿x方向位移為uA=2x10-5mm，B點(diǎn)沿y方向位移為vB=10-5mm，而C點(diǎn)的位移為0。試計(jì)算此單元3個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力。ijm81

3、如圖所示一厚度為t的等厚度矩形薄板。該矩形薄板一端固定，一端承受均勻拉力q(噸/米)，長(zhǎng)為2米，寬為1米，材料彈性常數(shù)為E和μ(=1/3)。在不計(jì)自重的情況下，試用有限元法求其應(yīng)力分量。8283844、如圖所示二桿平面桁架，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，彈性模量為E，桿截面積為A，試求（1）整體剛度矩陣；（2）在1、2節(jié)點(diǎn)處引入支承條件，寫出總體平衡方程。。①②123Pxy450855、三角形單元的面積為1，厚度為1，已知三角形單元的形態(tài)矩陣為利用單元的形態(tài)矩陣求三角形單元的剛度矩陣。

861、在一平面桁架中，已知節(jié)點(diǎn)3處鉛直方向位移為零。若用劃行劃列法引入支承條件，則應(yīng)劃去總體剛度矩陣中的（

）

①第3行和第3列

②第6行和第6列

③第3行和第6列

④第6行和第3列

2、對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有三個(gè)位移分量的桿單元，兩節(jié)點(diǎn)局部碼為1，2，總碼為4和1。其單元?jiǎng)偠染仃囍械脑豮32應(yīng)放入總體剛度矩陣[K]的（

）

①第3行第2列上

②第4行第1列上

③第9行第6列上

④第12行第11列上3、在一平面剛架中共有9個(gè)桿單元，12個(gè)節(jié)點(diǎn)，則其總體剛度矩陣[K]是（

）

①9階方陣

②12階方陣

③36階方陣

④9×12階矩陣4、若把平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性矩陣改為平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性矩陣只需將（）①

E換成E/(1-μ2),μ換成μ/(1-μ2)②

E換成E/(1-μ2),μ換成μ/(1-μ)③E換成E/(1-μ),μ換成μ/(1-μ2)④

E換成E/(1-μ),μ換成μ/(1-μ)875、剛架桿單元與平面三角形單元（）①單元?jiǎng)偠染仃囯A數(shù)不同②局部坐標(biāo)系的維數(shù)不同③無(wú)任何不同④節(jié)點(diǎn)載荷和位移分量數(shù)不同6、圖示平面結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣［Ｋ］和豎帶矩陣［K*］的元素總數(shù)分別是（）。

①400和200②400和160③484和