第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念教學(xué)課件

預(yù)備知識(shí)多元函數(shù)的極限第九章多元函數(shù)微分法

多元函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)上頁下頁返回結(jié)束多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的概念1.鄰域一、預(yù)備知識(shí)設(shè)P0(

x0，y0)

是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)，δ是某一正數(shù)，與點(diǎn)P0(x0，y0)的距離小于δ的點(diǎn)P（x，y）的全體，稱為點(diǎn)P0（x0，y0）的鄰域，記為U(P0,δ)，即上頁下頁返回結(jié)束2.區(qū)域（1）內(nèi)點(diǎn)和開集設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)。如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P)?E，則稱P為E的內(nèi)點(diǎn).E的內(nèi)點(diǎn)屬于E.如果屬于點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集.上頁下頁返回結(jié)束（2）邊界點(diǎn)和邊界如果點(diǎn)P的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，也有不屬于E的點(diǎn)（點(diǎn)P本身可以屬于E，也可以不屬于E），則稱P為E的邊界點(diǎn).E的邊界點(diǎn)的全體為E的邊界.上頁下頁返回結(jié)束說明：E的邊界點(diǎn)可能屬于E，也可能不屬于E.例如,對(duì)于集合E的邊界為其中邊界點(diǎn)都不屬于E，而邊界點(diǎn)都屬于E.上頁下頁返回結(jié)束D（3）連通設(shè)D是點(diǎn)集，如果對(duì)于D內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折線連接起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于D，則稱點(diǎn)集D是連通的。（4）開區(qū)域和閉區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域．上頁下頁返回結(jié)束例如，開區(qū)域閉區(qū)域上頁下頁返回結(jié)束

整個(gè)平面

點(diǎn)集

是開集，

是最大的開區(qū)域,

也是最大的閉區(qū)域；但非區(qū)域.oE?U（O，r），其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱E為有界集.否則稱E為無界集.（5）有界集與無界集對(duì)于平面點(diǎn)集E

,若存在某一正數(shù)

r,使得上頁下頁返回結(jié)束是有界閉區(qū)域；是無界開區(qū)域．例如，上頁下頁返回結(jié)束（6）聚點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：邊界點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)P的任何一個(gè)鄰域內(nèi)總有無限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集E，則稱P為E的聚點(diǎn)。點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．上頁下頁返回結(jié)束3.n維空間設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們用Rn表示n元有序數(shù)組的全體所構(gòu)成的集合，稱其為n維空間，即上頁下頁返回結(jié)束從而可定義n維空間中的領(lǐng)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念．下面給出n維空間中兩點(diǎn)間距離公式的定義.特殊地當(dāng)時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．設(shè)為n維空間中兩點(diǎn)，定義這兩點(diǎn)的距離公式為定義：上頁下頁返回結(jié)束二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積

長方體的質(zhì)量

三角形面積的海倫公式記密度為d上頁下頁返回結(jié)束設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集，若存在對(duì)應(yīng)法則f，點(diǎn)集

D

稱為函數(shù)的定義域

;

數(shù)集稱為函數(shù)的值域.則稱f為定義在

D上的

二元函數(shù),記作上頁下頁返回結(jié)束對(duì)任意的,總有唯一確定的z值與之對(duì)應(yīng)，定義x,y稱為自變量,z稱為因變量;例如，二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域2.二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形一般為空間曲面

.上頁下頁返回結(jié)束注：1.類似可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù).二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).例1求的定義域．解所求定義域?yàn)樯享撓马摲祷亟Y(jié)束三、二元函數(shù)的極限定義：

為D的聚點(diǎn)，若D中的點(diǎn)P(x,y)按任意方式趨于P0時(shí)，上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)f(x,y)總趨向于某個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)，則稱A為函數(shù)時(shí)的極限（二重極限），f(x,y)當(dāng)或或設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0

(x0,y0)定義(略)記作上頁下頁返回結(jié)束注：1.上述二重極限存在與否與f(x,y)在P0

(x0,y0)是否有定義無關(guān).表示點(diǎn)P

以任何方式趨向于時(shí)函數(shù)的極限值都等于A.選擇一條路徑，使得極限不存在；故驗(yàn)證二重極限不存在，方法有二：選擇不同路徑，使得極限不相等.

2.解

沿曲線不存在.取極限故原極限不存在.例1.

驗(yàn)證極限上頁下頁返回結(jié)束取P(x,y)沿直線y=kx3趨于點(diǎn)(0,0),則有在點(diǎn)(0,0)的極限.k值不同，極限值不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.例2.

討論函數(shù)上頁下頁返回結(jié)束解：二元函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則、夾逼準(zhǔn)則等均與一元函數(shù)類似，可借助一元函數(shù)求極限的方法求一些簡單的二元函數(shù)的極限.例4.求極限：解：原式上頁下頁返回結(jié)束例3.求極限：解：（注：不能用取特殊路徑來求極限值?。┙?/p>

原式例5.求極限上頁下頁返回結(jié)束有理化注：

二元函數(shù)求極限不能用洛比達(dá)法則.例6.函數(shù)解：由夾逼準(zhǔn)則，得，求四、二元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)?/p>

D,如果則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0

(x0,y0)連續(xù).若f(x,y)在點(diǎn)上頁下頁返回結(jié)束定義：P0

(x0,y0)不連續(xù),則稱P(x0,y0)為函數(shù)的間斷點(diǎn).例如,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周上頁下頁返回結(jié)束見例2注：二元函數(shù)的間斷點(diǎn)可能為孤立點(diǎn)或一條曲線.上頁下頁返回結(jié)束區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的圖形是一張沒有點(diǎn)洞，也沒有裂縫的連續(xù)曲面.如果函數(shù)在D上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在D上連續(xù).定理

一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).性質(zhì)1（有界性與最大最小值定理）閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):上頁下頁返回結(jié)束在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.性質(zhì)2（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值.多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）多元函數(shù)的定義內(nèi)容小結(jié)思考題若點(diǎn)（x,y）沿著無數(shù)多條平面曲線