貴州省貴陽市新世紀(jì)外國語學(xué)校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

貴州省貴陽市新世紀(jì)外國語學(xué)校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知A，B，C，D四點(diǎn)均在以點(diǎn)為球心的球面上，且，.若球在內(nèi)且與平面BCD相切，則球直徑的最大值為（

）A.1 B.2 C.4 D.8參考答案：D如圖所示:取CD的中點(diǎn)O,連接AO,BO,如圖，因?yàn)锽C=BD=，,所以因?yàn)椋訟O⊥CD,且AO=2，又因?yàn)镺D=4，BO=4，所以故AO⊥OB，又BO∩CD=O,所以AO⊥平面BCD,所以在AO上，連接,設(shè)則即解之得R=5，球的直徑最大時(shí)，球與平面BCD相切且與球內(nèi)切，A,O,四點(diǎn)共線，此時(shí)球的直徑為R+=8.故選D.點(diǎn)睛：本題是一個(gè)難題，只有通過計(jì)算，認(rèn)清以A,B,C,D為頂點(diǎn)的三棱錐的圖形特征，正確判斷球心的位置，借助方程求出球的半徑，直觀判斷球心的位置，才能迎刃而解.2.已知函數(shù)，（m，a為實(shí)數(shù)），若存在實(shí)數(shù)a，使得對任意恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．參考答案：A，則，若，可得，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不滿足對任意恒成立；若，由，得，則，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，若對任意恒成立，則恒成立，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則，∴，令，則．∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則．∴．則實(shí)數(shù)的取值范圍是．3.若復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A．1 B．2 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則、虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，求出z，可得|z|．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=2i（i為虛數(shù)單位），∴z===1+i，∴|z|==，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，求復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．4.為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像(

)A.向左平移個(gè)長度單位

B.向右平移個(gè)長度單位C.向左平移個(gè)長度單位

D.向右平移個(gè)長度單位參考答案：B5.已知函數(shù)，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：C6.已知圓，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn).（

）A. B. C. D.參考答案：B對于點(diǎn)，根據(jù)題意得到四點(diǎn)共圓，從而以為直徑的圓的方程為，將該圓與圓聯(lián)立，兩式相減得到相交弦所在直線方程.解答：設(shè)是圓的切線，是圓與以為直徑的兩圓的公共弦，可得以為直徑的圓的方程為，

①又，②

①-②得，可得滿足上式，即過定點(diǎn)，故選B.說明：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，如直線與圓相切，以及兩個(gè)圓相交的相交弦方程.7.若f（x）=x3﹣ax2+1在（1，3）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的范圍是（）A．[，+∞） B．（﹣∞，3] C．（3，） D．（0，3）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+1在（0，3）內(nèi)單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化成f'（x）≤0在（0，3）內(nèi)恒成立，利用參數(shù)分離法即可求出a的范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+1在（0，3）內(nèi)單調(diào)遞減，∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，3）內(nèi)恒成立．即a≥x在（0，3）內(nèi)恒成立．∵g（x）=x在（0，3]上的最大值為×3=，故a≥∴故選：A．8.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=x+3y的最小值為(

) A．﹣3 B．0 C．3 D．12參考答案：C考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最小值．解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=x+3y得y=﹣，平移直線y=﹣，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=﹣的截距最小，此時(shí)z最小．由，解得，即A（﹣6，3），代入目標(biāo)函數(shù)得z=﹣6+3×3=﹣6+9=3．即z=x+3y的最小值為3．故選：C．點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．9.已知以橢圓的右焦點(diǎn)F為圓心，a為半徑的圓與橢圓的右準(zhǔn)線交于不同的兩點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C10.若不等式組，所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則=A． B． C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

設(shè)為銳角，若，則的值為

▲

．參考答案：12.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線，將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后，對其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個(gè)圖形，如圖.現(xiàn)在上述圖(3)中隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為

.參考答案：設(shè)圖（3）中最小黑色三角形面積為，由圖可知圖（3）中最大三角形面積為，圖（3）中，陰影部分的面積為，根據(jù)幾何概型概率公式可得，圖(3)中隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為,故答案為.

13.定義在R上偶函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x3﹣3x；奇函數(shù)g（x）當(dāng)x＞0時(shí)g（x）=|1﹣x|﹣1，若方程：f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0，g（f（x））=0的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為a，b，c，d則a+b+c+d=

．參考答案：26【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】結(jié)合函數(shù)圖象把方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可分別求得a，b，c，d，進(jìn)而可得答案．【解答】解：由題意，f（x）=0的根為0，±，由f（f（x））=0知f（x）=0或±，∴a=3+2+4=9．同理，由f（g（x））=0，得g（x）=0或±，∴b=3+2=5；g（x）=0的根為0，±2，由g（g（x））=0，知g（x）=0或±2，∴c=3+2=5，由g（f（x））=0，知f（x）=0或±2，0時(shí)對應(yīng)有三個(gè)根，2時(shí)有2個(gè)，﹣2時(shí)2兩個(gè)，∴d=7，∴a+b+c+d=26，故答案為：26【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用，考查方程根的個(gè)數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．14.我們可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度來檢驗(yàn)函數(shù)的單調(diào)性．從“形”的角度：在區(qū)間I上，若函數(shù)y=f（x）的圖象從左到右看總是上升的，則稱y=f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)．那么從“數(shù)”的角度：，則稱y=f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)．參考答案：對任意的x1、x2∈I，若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）略15.已知（l+ax）（1+x）5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a=

。參考答案：略16.在一個(gè)袋內(nèi)裝有同樣大小、質(zhì)地的五個(gè)球，編號分別為1、2、3、4、5，若從袋中任意取兩個(gè)，則編號的和是奇數(shù)的概率為

（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.參考答案：從袋中任意取兩個(gè)球，共有種。若編號為奇數(shù)，則有種，所以編號的和是奇數(shù)的概率為。17.已知α為鈍角，sin（+α）=，則sin（﹣α）=﹣．參考答案：-【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．【專題】計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．【分析】運(yùn)用的誘導(dǎo)公式求出cos（）的值，根據(jù)α為鈍角，求出的取值范圍，確定sin（）的符號，運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得到結(jié)果．【解答】解：∵sin（+α）=，∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=，∵α為鈍角，即＜α＜π，∴＜﹣，∴sin（﹣α）＜0，∴sin（﹣α）=﹣=﹣=﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題考查運(yùn)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，注意不同角之間的關(guān)系，正確選擇公式，運(yùn)用平方關(guān)系時(shí)，必須注意角的范圍，以確定函數(shù)值的符號．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，長方體中，為中點(diǎn).（1）求證：；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由.（3）若二面角的大小為，求的長.參考答案：略19.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由條件利用正弦定理、兩角和差的正弦公式可得sinC（2cosB﹣1）=0，故有cosB=，由此求得B的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA+sin（C﹣）=2sin（A+），根據(jù)A∈（0，），利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得sinA+sin（C﹣）的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0，∴2sinCcosB﹣sinAcosB﹣sinBcosA=0，即2sinCcosB﹣sin（A+B）=0，即sinC（2cosB﹣1）=0，∴cosB=，∴B=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA+sin（C﹣）=sinA+cosA=2sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，），sin（A+）∈（，1]，∴2sin（A+）∈（1，2]，即sinA+sin（C﹣）的取值范圍是（1，2]．20.（本小題共13分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為．（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值．參考答案：解析：（I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），

則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，解得，其定義域?yàn)椋↖I）記，則．令，得．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的最大值．因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為．即梯形面積的最大值為．21.已知平面內(nèi)一動點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離．（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程;（Ⅱ）若直線與曲線交于兩點(diǎn),且,又點(diǎn),求的最小值．參考答案：（Ⅰ）依題知動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),以直線為準(zhǔn)線的拋物線,……1分

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為…………4分（Ⅱ）設(shè),則因?yàn)?所以即（※）…