2022-2023學(xué)年廣東省湛江市雅塘中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省湛江市雅塘中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若非零向量，滿足|，則與的夾角為(

)A．30°

B．60°

C．120°

D．150°參考答案：C略2.已知，則等于（

）． A． B． C． D．參考答案：A∵，∴，故選．3.設(shè)U為全集，集合M，N，P都是其子集，則圖中的陰影部分表示的集合為(

)．A．M∩(N∪P)

B．M∩(P∩CUN)C．P∩(CUN∩CUM)

D．(M∩N)∪(M∩P)參考答案：B由已知中的Venn圖可得：陰影部分的元素屬于M，屬于P，但不屬于N，故陰影部分表示的集合為M∩（P∩CUN），

4.在△ABC中，A=60°，b=1，面積為，則的值為（）A．1 B．2 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由條件可得=bc?sinA，由此求得c的值，再由余弦定理求得a=．再由正弦定理可求得=2R=的值．【解答】解：在△ABC中，A=60°，b=1，面積為，則有=bc?sinA=×1×c×，∴c=2．再由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc?cosA=1+4﹣4×=3，∴a=．再由正弦定理可得=2R===2，故選B．5.若函數(shù)是冪函數(shù)，則的值為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.在正四棱柱中，，，則與BC所成角的余弦值為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】連結(jié)，結(jié)合幾何體的特征，直接求解與所成角的余弦值即可．【詳解】如圖所示：在正四棱柱中，＝1，＝2，連結(jié)，則與所成角就是中的，所以與所成角的余弦值為：＝＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正四棱柱的性質(zhì)，直線與直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知向量，則的值為（

）．

A．

B．3

C．1

D．參考答案：C略8.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A．若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是，那么sinα的值是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinα的值．【解答】解：由題意可得，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是，那么sinα的值是，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．9.下列式子中，正確的是（

）A．

B．C．空集是任何集合的真子集

D．參考答案：D10.設(shè)，那么數(shù)列是（

）

A．是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

B．是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列C．既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列

D．既不是等比數(shù)列又不是等差數(shù)列參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.化簡(jiǎn)的結(jié)果為

．參考答案：sin40°【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可．【解答】解：原式====sin40°．故答案為：sin40°．12.若經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（﹣1，0）、B（0，2）的直線l與圓（x﹣1）2+（y﹣a）2=1相切，則a=．參考答案：4±【考點(diǎn)】J7：圓的切線方程；ID：直線的兩點(diǎn)式方程．【分析】由直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（﹣1，0）、B（0，2）可得直線l方程，又由直線l與圓（x﹣1）2+（y﹣a）2=1相切，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，可得關(guān)于a的方程，進(jìn)而得到答案．【解答】解：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（﹣1，0）、B（0，2）的直線l方程為：即2x﹣y+2=0∵圓（x﹣1）2+（y﹣a）2=1的圓心坐標(biāo)為（1，a），半徑為1直線l與圓（x﹣1）2+（y﹣a）2=1相切，則圓心（1，a）到直線l的距離等于半徑即1=解得a=4±故答案為：4±13.如圖是從上下底面處在水平狀態(tài)下的棱長(zhǎng)為的正方體中分離出來(lái)的.有如下結(jié)論：①在圖中的度數(shù)和它表示的角的真實(shí)度數(shù)都是；②；③與所成的角是；④若，則用圖示中這樣一個(gè)裝置盛水，最多能盛的水.其中正確的結(jié)論是

（請(qǐng)?zhí)钌夏闼姓J(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)）.參考答案：①④略14.我艦在敵島A處南偏西50°的B處，且A，B距離為12海里，發(fā)現(xiàn)敵艦正離開島沿北偏西10°的方向以每小時(shí)10海里的速度航行．若我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則其速度大小為海里/小時(shí)．參考答案：14【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】由題意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出我艦的速度．【解答】解：依題意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．解得BC=28．所以漁船甲的速度為=14海里/小時(shí)．故我艦要用2小時(shí)追上敵艦速度大小為：14海里/小時(shí)．故答案為：14．15.平面上滿足約束條件的點(diǎn)(x,y)形成的區(qū)域D的面積為.參考答案：1略16.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則b=_______.參考答案：1試題分析：，由得考點(diǎn)：正弦定理解三角形17.已知且,則__________．

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知：

、、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中＝（1，2）．(1)若||，且，求的坐標(biāo)；(2)若||=且與垂直，求與的夾角θ.參考答案：

19.某個(gè)公園有個(gè)池塘，其形狀為直角三角形ABC,米，BC=100米；（1）現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得EF∥AB，EF⊥ED,在△DEF內(nèi)喂魚，求△DEF面積的最大值；（2）現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個(gè)荷塘，分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，建造△DEF走廊（不考慮寬度）供游客休息，且使得△DEF為正三角形，求△DEF邊長(zhǎng)的最小值。參考答案：(1)解：在直角三角形ABC,米，BC=100米；,EF∥AB，EF⊥ED,∠CFE=30°，設(shè)EF=x,0<x<200，CE=，BE=100-，EF⊥ED,EF⊥AB,DE=，，當(dāng)x=100時(shí)，;(2)設(shè)邊長(zhǎng)為a,∠BFE=,,BE=asin,EC=100-asin,∠DEC=,∠EDC=,在三角形DEC中，，a的最小值為。略20.已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x＜0時(shí)．f（x）=1+2x（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象；（3）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及值域；（4）求使f（x）＞a恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】（1）根據(jù)已知中y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若x＜0時(shí)，f（x）=1+2x，我們易根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，我們易求出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)分段函數(shù)圖象分段畫的原則，即可得到函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域；（4）根據(jù)圖象求出函數(shù)的下確界，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＜0則f（﹣x）=1+2﹣x=﹣f（x）又∵x＜0時(shí)，f（x）=1+2x，∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣1﹣2﹣x∴f（x）=（2）函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：（3）由圖可得：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（0，+∞），函無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ī?，1）∪{0}∪（1，2）；（4）若f（x）＞a恒成立，則a≤﹣2．21.已知等比數(shù)列{an}中，，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.參考答案：（1）（2）【分析】（1）用等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別表示出已知條件，解方程組即可求得公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；（2）把（1）中求得的結(jié)果代入bn＝an?log2an，求出bn，利用錯(cuò)位相減法求出Tn．【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知：，∴