范微觀經(jīng)濟學(xué)高級教程第19章時間

國內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂范里安《微觀經(jīng)濟學(xué)高級教程》第19章 時

間主講教師：張冠甲本章要點跨期優(yōu)化問題動態(tài)規(guī)劃貝爾曼方程跨期經(jīng)濟中的一般均衡

OLG模型跨期偏好的描述跨期選擇的效用函數(shù)具有時間上的加性可分性質(zhì)：其中一種常用的形式：各期效用函數(shù)形式相同，乘以貼現(xiàn)因子Tu

t

(

c

t

)t

=

1U

(

c

1

,

...,

c

T

)

=

1TTta

t

u

(

c

)U

(

c

,

...

,

c

)

=

t

=

1動態(tài)規(guī)劃的思想：將多時期的跨期優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成兩時期問題：當(dāng)期和以后各期在當(dāng)期的貼現(xiàn)。兩期模型消費者第一期擁有初始稟賦w1選擇兩個時期的消費組合(c1

,c2)將財富投資到兩種資產(chǎn)上去：固定收益資產(chǎn)：總收益率為R

0隨機收益資產(chǎn)：總收益率為隨機變量R

1消費者在第一期決定消費與投資：投資中x的比例投資到風(fēng)險資產(chǎn)，1-x

投入無風(fēng)險資產(chǎn)。因此在第二期消費者有：(

(1011x

+

R1-

x

]

=

w

-

cRw

2

=

c2

=

(w1

-

c1

[RR

=

R

x

+

R

(1-

x)1

0消費者的效用函數(shù)：U

(c1,

c2

=

u

(c1動態(tài)規(guī)劃的關(guān)鍵術(shù)語+

aEu

(c21狀態(tài)變量：本例中的w控制變量：本例中的

c

1

,

x貝爾曼方程：寫出以狀態(tài)變量為自變量的最值函數(shù)。寫出貝爾曼方程：它本質(zhì)上是關(guān)于第一期財富的間接效用函數(shù)一階條件：跨期最優(yōu)條件：第1期消費的邊際效用等于第2期消費邊際效用的折現(xiàn)；投資組合優(yōu)化條件:改變投資比例無利可圖。c1

,xv1

(w1

=

max

u

(c1+aEu[(w1

-c1

R](

)(

)21

0REu￠cR-R

=

0u￠(c1

=

aEu￠(c2多時期跨期優(yōu)化問題：動態(tài)規(guī)劃解法

擴展到T

個時期，消費者有效用函數(shù)。在第t期，需要決策的問題：將當(dāng)期財富（狀態(tài)變量）分解為當(dāng)期消費（控制變量）與當(dāng)期投資（控制變量）。當(dāng)期消費影響當(dāng)期效用；當(dāng)期投資影響下一期財富（影響到下一期的控制變量）。)(

)1TtTta

Eu

c t

=

0=U

(c

,

...,

c=

(wt

-

ctRw

t

+1R

=

R1

xt

+

R0

(1

-

xt

)一階條件cT

-1

,xT

-1動態(tài)規(guī)劃的思想：第T期全部財富消費掉，無需決策；第T-1期：vT

-1

(wT

-1=

max

u

(cT

-1

)+aEu[(wT

-1

-cT

-1

)R](

)(

)1

0TEucRu￠(cT

-1￠-

R

=

0R=

aEu￠(cT注意這是最值函數(shù)V的迭代形式?；氐絋-2期，消費者選擇(cT

-2

,xT

-2cT

-2

,xT

-2由于wT

-1

=[wT

-2

-cT

-2

]RT-2期消費者的效用最大化問題vT

-2

(wT

-2=

max

u

(cT

-2

)+aEVT

-1[(wT

-2

-cT

-2

)R]一階條件：跨時期最優(yōu)化條件（inter）與時期內(nèi)最優(yōu)條件（intra）u

￠(

cT

-

2

)

-

a

E

V

￠(

w

T

-1

)

R

=

0EV

￠(

w

T

-1

)(

R1

-

R

0

)

=

0貝爾曼方程的解法1．猜解法guess

and

verify2．利用最值函數(shù)V迭代能有顯式解的貝爾曼方程的類型：目標(biāo)函數(shù)與約束方程形式：二次、線性、對數(shù)、柯布道格拉斯。例子：對數(shù)效用形式從最后一期開始，解出T-1期的消費：u

(

c

)

=

lo

g

c1

01acT

-1T

-1[wT

-1

T

-1T

-1-c

]E

0

=[wT

-1

-cT

-1]R

c=

wT

-11+

aR=

aE

=[w

-cT

-1]RR

-

R

前向迭代，解出T-2期的決策結(jié)論：每一期消費者都選擇相同的投資組合;在T-1期，消費者的選擇與該期的財富成比例。1VT

-1

(wT

-1cT

-21+

a

1+

aa

(1+

a)

=[wT

-2

-

cT

-2

]0

=

E[wT

-2

-

cT

-2

]R

)

=

ln

wT

-1

+

aE

ln

awT

-1RR

-

R1

0

采用迭代法完整的解出此動態(tài)規(guī)劃的解習(xí)題19.1

解出任意時期的消費從兩期模型開始，T=21w

1c

=1

+

ac

2

=

w

2在三期模型中12w

1c

=1

+

a

+

a

2w

2c

=1

+

ac

3

=

w

3繼續(xù)迭代，知是在時點0對在時刻t

的消費品支付的價格。ttwtc

==

1-

a

w1+

a

+

a2

+...

+

aT

-t1-

aT

-t

+1t跨時期一般均衡消費者對消費流有所偏好，并且存在市場對不同時點的消費進行交換。阿羅-德布魯證券：證券t在t時刻支付1美元，其他時刻沒有支付；阿羅-德布魯證券的均衡價格：市場出清價p

格引入利率后，依據(jù)無套利條件，均衡價格應(yīng)該滿足：使用此均衡價格，寫成消費者的預(yù)算約束:消費的折現(xiàn)值必然等于稟賦的折現(xiàn)值1tp1

+

rt

=TTttctt

=1=1+

r1+

rt

=1ct時間無限長時，一般采用OLG模型（1）每個人生存兩期，第一期年輕，第二期年老；（2）年輕時擁有稟賦，可以當(dāng)期消費掉，也可以儲蓄到下一期；（3）每一期，經(jīng)濟體中都有一半的年輕人和一半的老年人；（4）允許交換的存在:借貸與儲蓄,均衡價格驗證：每個人消費其稟賦是一個均衡；但此時均衡不再是帕累托有效。原因：時間無限引起了無窮維度的商品。習(xí)題19.2考慮下述“租金穩(wěn)定化”計劃。每年地主被允許按通貨膨脹率的3/4來提高租金。新建造公寓的所有者能夠按其意愿的價格來設(shè)定初始租金。此計劃的支持者聲稱，因為新公寓的初始價格可以設(shè)定于任何水平，所以新公寓的供給不會被抑制。讓我們在一個簡單模型中分析這種說法。假設(shè)公寓持續(xù)兩個時期。令r為名義利息率，p

為通貨膨脹率。假定沒有租金穩(wěn)定化計劃時，第1期租金為p，第2期租金為

(1+p

p

。令c為新公寓建造的恒定邊際成本且令每期對公寓的需求由

D

(p

給出。最后，令k為租金受到控制的公寓供給。（a）在沒有租金穩(wěn)定化時，在第1期的租價p和新公寓建造邊際成本間的均衡關(guān)系是么?（b）若采用了租金穩(wěn)定化計劃，這一關(guān)系將變怎樣？（c）畫出簡單的供給一需求曲線并圖示沒有租金穩(wěn)定化時新公寓的數(shù)量。（d）租金穩(wěn)定計劃將導(dǎo)致更多還是更少新公寓建造？（e）在租金穩(wěn)定化計劃之下，新公寓的均衡價格將較高還是較低?（a）公寓出租的收益貼現(xiàn)到當(dāng)期的凈值必須高于新公寓建造成本，才會有新公寓建造：（b）p

+

1

+

pp

=