期末試卷安大網(wǎng)絡(luò)書店提供電動力學(xué)mk chapter

證明定律在交換下是協(xié)變的方程在變換下不是協(xié)變證明根據(jù)題意不妨取如下兩個參考系并取分別固著于兩參考系的直角坐標(biāo)系且令t0時兩坐標(biāo)系對應(yīng)軸重合 計(jì)時開始后系沿系的x軸以速度v作直線運(yùn)動根 變換xxyztt 定律 v在系 F

Fdt2

vdtvQxxvt,yy,zz,t d2[xvt,y,

md2 F

dt2

v2v dv2可見在系中定律有相同的形式F所以定律在變換下是協(xié)變

v以真空中的麥?zhǔn)戏匠蘀

B為例q位于O點(diǎn)并隨B在中q是靜止的故:v v,v0B

于是方程vBrE將v v寫成直角分量形式;

(x2(x2y2z2)3(x2y2z2)3

v(x2(x2y2z2)3

ex ey由變換關(guān)系有在中

[(xvt)2[(xvt)2y2z2]3E[(x[(xvt)2y2z2)3v

zq

v3

ex

eyvE [(yz)ex(zxvvv

vt)ey(xvt

y)ez可見E 又在系中觀察qvex運(yùn)動J此時

于是E 設(shè)有兩根互相平行的尺在各自靜止的參考系中的長度均為 對于某一參考系運(yùn)動但運(yùn)動方向相反 且平行于尺子求站在一根尺子上測量另一根解根據(jù)相對論速度交 可得 1相對于1v

1vc在1系中測量2系中靜長為l0 1cl1c

1v21v即得l c

c此即是在系中觀測到的相對于v v1 c靜止長度為l0的車廂vs運(yùn)行車廂的后壁以速度u0個小球求地面觀測者看到小球從后壁到前壁的時間解根據(jù)題意取地面為參考系SS1v1vc車 l 車 球速u 0u1cS中觀察小球在此后v l01

uvl(10t

u

u0v1u0c一輛以速度v運(yùn)動的列車上的觀察者在經(jīng)過某一高大建筑物時看見其避雷針上跳起一脈沖電火花電光迅速先后照亮了鐵路沿線上的兩鐵塔求列車上觀察者看到的兩鐵塔被電光照亮的時間差設(shè)建筑物及兩鐵塔都在一直線上與列車前進(jìn)方向一致鐵塔到建筑物的地面距離已知都是解由題意得右示意圖取地面為靜止的參考系 列車為運(yùn)動的參考系xx軸平行同向與列車車速方向一致令t0時刻為列車經(jīng)過建筑物時并令此處為系與的原點(diǎn)如圖在系中光經(jīng)過tl0的時間后同時照亮左右兩 c但在系中

xl0v

(1v)11cvx

xxvxlv

(1v)1vc1vc1 cv2dxo (11 cv2 d

o (1v)1 cv1 cv21 cv2cc1v20tdd 1(1v)(1v) 1 cv2cc1v20有一光源S與R相對靜止距離為lS R裝置浸在均勻無限的液體介質(zhì)靜止折射率n中試對下列三種情況計(jì)算光源發(fā)出訊號到收到訊號所經(jīng)歷的時間SRSRv液體垂直于SR連線方向以速度v運(yùn)動解1 液體介質(zhì)相對于SR裝置靜止時

cSRv取固著于介質(zhì)的參考系 系沿x軸以速度v運(yùn)動在系中測得光速cn由速度變換關(guān)系得在系中cv1v (1vR接收到訊號的時間為t2 vnSRv同2 中取相對于S-R裝置靜止的參考系為系相對于介質(zhì)靜止的系為系如下建立坐標(biāo)可見ux

R Rv

在系中y

uy11 cvc22v

uy1vuy1vcc

c22v2 1c22v2 1cnc2v1 cvc在坐標(biāo)系ux軸運(yùn)動在l不vx軸運(yùn)動他看到這兩個物體的距離是多少解根據(jù)題 系取固著于觀察者上的參考又取固著于 B兩物體的參考系為在中A,B以速度u沿x軸運(yùn)動相距為 在系中 B靜止相距為

l1u1uc1uc又系相對于以速度v沿x軸運(yùn)動系相對于系以速度u沿x軸運(yùn)動 系相對于系以速度vu1c

x在1c1cl

c1c一把直尺相對于系靜止直尺與x軸交角 今有一觀察者以速度v沿x軸運(yùn)動他看到直尺與x軸交角有何變化解取固著于觀察者上的參考系為在系 lxl lyl1v1vcv1c 系 lx ltglllx

l1v1vc

l兩個慣性系和中各放置若干時鐘同一慣性系的諸時鐘同步相對于vx軸運(yùn)動設(shè)兩系原點(diǎn)相遇時

t 問處于系中某點(diǎn) 處的時0與系中何處時鐘相遇時指示的時刻相同讀數(shù)是多少解根據(jù)變換關(guān)系得0x

xvtLy yL(zzLLLL t t

L(z設(shè)P(xyzt處的時鐘與系中Q(x,yzt處時鐘相遇時在 式中有t

解得x

c1c1cvv

)代入 得

vx

)11cv1 vc 相遇時ttv火箭由靜止?fàn)顟B(tài)加速到v

v20m 解1 在靜止系中加速火箭令靜止系為系瞬時慣性系為系且其相對于系的速度為

xvv1c

v是火箭相對于

v,v,在系中

u2 c

(1uv c

a

dt 而系相對于火箭瞬時靜止uv,v v2a

a(1 )2 20

v2)c

a0 t 47.5一平面鏡以速度v自左向右運(yùn)動一束頻率為0 與水平線成0夾角的平面光波自左向右入射到鏡面上求反射光波的頻率及反射角 解1 平面鏡水平放置取相對于平面鏡靜止的參考系為系取靜止系為系并令入射光線在平面xoy內(nèi)在系中入射光線kixkcos0kiyksin0kiz0,i由變換關(guān)系得kk

(k00ksin

vc iz(vkcos 在系中平面鏡靜止由反射定律可得k(kcosv

);kk c

k0;(vkcos0 代入逆變換關(guān)系得

v)c

vc

)]kcoskryksin

vc

0在系中觀察 入射角02

反射角

若垂直入射02

鏡面垂直于運(yùn)動方向放置同 選擇參考系并建立相應(yīng)坐標(biāo)在系中入射光線滿足kixkcos0kiyksin0kiz0,i由變換關(guān)系得kk

(k00ksin

vc iz[v(kcos)](vkcos 在系中平面鏡靜止由反射定律可得k(kcosv

)(k

v

);kk c

c

k0;(vkcos0 代入逆變換關(guān)系得

v)c

vc

kryksin

vc

0v0v其中k .并令 反射光滿 反射 tg

反射光頻率2[(1cos(cos 如果垂直入射0 于是系中會觀察到ir0反射光頻率2(10 變換中若定義快度y為tanhy證明變換矩陣可寫 a

0 0 對應(yīng)的速度合成yy 對應(yīng)的速度合成 證明

a

0 0 其中

(chy)2exex e(chy)2Q(chy)2(shy)2 又thychy a

0 0 速度合

thythythy由定義thy

e2ye2y

,thy

e2ye2y thythy e2(y) 得1thythy e2(yy) th( ythyth(yy),yyy vvP0以速度v作勻速運(yùn)動求它產(chǎn)生得電磁勢和場,AE 解選隨動坐標(biāo)系v

P0

v在系中P產(chǎn)生的電磁勢 P0R,A30R 30R v

v

[3(P0R)R

v

~3],B勢A

vi 由逆變換A A Ax i0A

y

0得A 0iz

~系中電磁勢 P0~ R AAxex exc2exc2v v電磁場 v

r

B

B

0,

(Bc

E

(c

c2由坐標(biāo)變換xaxx ixy 0yz

0z ict xxyzt=0

xRyRz

(x,y,z)(x,y.,v設(shè)在參考系

vv的方向運(yùn)動問 v v解如圖系以

vx軸方向相對于

v vB)

BB平 平

(Bc

(Bc

令 則EvBv兩邊同時叉乘B并利用矢量分析EvEvB v (EB,B

vBQv 即若v v

cvv vv vv2 2vB 同理Bv

則B Ec兩邊同時叉乘E并利用矢量分析vBvE c cBvEQv

v (EE Ec

取模v BEv

c

v

c 則當(dāng)v (EB)時 EE做勻速運(yùn)動的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場在運(yùn)動方向發(fā)生壓縮這時在電荷的運(yùn)動方向上電場v與庫侖場相比較會發(fā)生減弱如何理解這一減弱與變換 E 解e以速度vv沿x軸方向運(yùn)動選e在系中 0平 40由變換 得 0 平 40

xyzv v0 E平行(1c2)4r3(1c2 E0為系中庫侖0當(dāng)vc時E平行 壓 有一沿z軸方向螺旋進(jìn)動的靜磁場BB0(coskmzexsinkmzey 其km m為磁場周期長度z軸以速度vc運(yùn)動的慣性系m性系中觀察到的電磁場1時該電磁場類似于一列頻率為ckm的圓偏振解由電磁場變換式在 E平行E平行 E(EvB)vBcezB0(coskmzexsinkmzey B B平 B B E)c2B

sinkze EcB0(sinkmzexcoskmzey rrcB0[cos(kmz2)exsin(kmz2rr BB0(coskmzexsinkmzeyr

vcv當(dāng)1時v B, 矢量k(k,i )的變換關(guān)系得ka k(kv)k,kk0,kk0,(vk) c 該圓偏振電磁波的頻率為有一無限長均勻帶電直線在其靜止參考系中線電荷密度為 該線電荷以速vc沿自身長度勻速移動d點(diǎn)電荷 在直線靜止系中確定力然后用力變換 在直線靜止系中由定理d處的電場強(qiáng)度為

eee veee v磁場v0.e受力v vvv v

B eE

iv 矢 e受到 力矢量為

v

(k, vv

F ckv (Fkx k y

kz

2d

0k kk 0,

v 2d, 2

v1cv1ce受力F K 在直線靜止系中電流密 矢量J

v vJ

(J, 設(shè)不 則SJ

(0,0,0, S

由變換JaJJx Jy J z J J

c,

J

0,SJ

(c,0,0, 在 xyz系中線電荷密度為 電流為I 定理e處場強(qiáng)為E

d 取er 0I 環(huán)路定律得e處磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2de所受 力為v

eevev0I

2d0cv2 0c

r

2)er

rr質(zhì)量為M得靜止粒子衰變?yōu)閮蓚€粒子m1和 解衰變前粒子的動量為v 能量為wMc 衰變后設(shè)兩粒子動量為 pp2c2m2c22量分別為w p2cp2c2m2c22

p1, p1p2p 由

p2c2m2c11p2c2p2c2m2c11p2c2m2c222

Mc c[M2(mc[M2(mm)2][M2(mm)2 m1E1

c2[M2p2c2p2c2m2c11

m22 的兩2粒子解由 p1p2

p2p

p

2pp

pm 1由能量守 代入 m2m2m22 ppcos c p1設(shè)E和v是粒子體系 參考系中的總能量和總動p

px 相對于以速度v沿x軸方向運(yùn)動中的粒子體系總能

E

),E(E

),tg (cosE 證coscos1

sin 考慮在ddcosd的光束證明當(dāng)變換到另一慣性系時證

d v動量矢量p( c

滿 pv p c (p p pxE(Evpx)(Ecpxp在p

vx軸的夾角tgpy p (pcosEc

(cosEv 波矢量k(k, c對沿x軸方向的特 k(kvc ck k3(k 代入 式

kcos

cosc

c1vc

cos11sin1

1v2c2sin1vcosc

在另一個慣性系中ddcosd對沿x軸方向得特 變換 coscos1

中已 d

ddcos

cosd(1

)(12)dcos(1cos

d 考慮一個質(zhì)量為m1 能量為E1的粒子射向另一質(zhì)量為m2的靜止粒子的體系通常在高能物理中選擇質(zhì)心參考系有許多方便之處在該參考系中總動量為零求質(zhì)心系中每個粒子的動量 正負(fù)電子對撞機(jī) 的設(shè)p,pp能量為2 2.2GeV(1GeV=103p,pp解(1)

vv vv 能量為E2p2c2m2c4E2p2c2m2c 系 p20,p1E2p2c2m2c4,E2m2c pc

1112cc2

c

E1

E1c pc2112cc2

c

E2

E2c pc(EE c 得E1E2(E1E2pc(EE c

E Emc

E2m2E2m2c

r v 2

p2p2c2m2c11p2c2p2c2m2c11p2c2m2c22 2

21

EEE(m2m2)c22m

M2c4m2c4m2c42mEc

2 2 v

2[p

E)]

E2 p2,c (p,c2質(zhì)心系中prv E)] [ p2,c 由不變量ppp得2mE1e c E1 11.9104GeVmec2v電荷為 質(zhì)量為m的粒子在均勻電場E內(nèi)運(yùn)動初速度為零試確定粒子的運(yùn)動跡與時間的關(guān)系并研究非相對論情況解1 v

1vcv1vcv分量式為dPx0,dPy0,dPz 由題意PxPy 當(dāng)t0時Pz PzP2cP2c2m2ce2E2c2m2c1vc1vc eEce2E2c2m2e2E2c2m2c 設(shè)粒子從 0運(yùn)動 eEc e2E2ce2E2c2m2ce2E2c2m2c

mc1(eE1(eE dv 力學(xué)方程eE

P,Pmv分量式dPx0,dPy0,dPzeE 由題意PxPy 當(dāng)t0時Pz Pz

eE

eE由 zz

設(shè)粒子從 0運(yùn)動則z

tdt m

Ee Bey解設(shè)系oxyz以uv沿z軸運(yùn)動 0時o,o重QE 當(dāng)u 2E B時在

內(nèi) E平 E平 Eu(EuB)u(Eu B2 u u(Ec2 E)uE(1E2

)c u 即E21題結(jié)果e在xmc2 z iuzx

變換y

y ict zuzcutxyy11ux u

1],y0,zut,其中u B,u 11 cu2已知t 0時點(diǎn)電荷q1位于原點(diǎn)q2靜止于y軸(0,y0,0)上q1以速度v沿x軸勻速運(yùn)動試分別求出q1 q2各自所受的力如何解釋兩力不是等值反向解選參考系q1上在系觀察時粒子靜止只有靜電場 0為E14r3B10在系中觀察q1

vvx , 4 4 4 c24 c24

vE(12

v

Bv v 4[(12)r2 )2 v

E1

01012y0

v1c1v00 qqeq受力F q(E00 v同理q產(chǎn)生場E

q ,B0 0

vv2 qvv2在q處

2

,B 4y000v qqq受力 q(EvB) 12

4y0 兩個靜止電荷q位于y軸上相l(xiāng)2

vx 此屬于靜電場情況兩電荷之間的靜電庫侖0F q04l

由上題求得原點(diǎn)處q在 l處產(chǎn)生的電磁場 v BvE E l處q受力

c c2q1y2v q1y2vFq(EvB)qE vEv

q(12)Eq0 q0F

c

4l頻率為的光子能量為

動量為 碰在靜止的電子上試證電子可以散射這個光子散射后光子頻率比散射前光子頻率小不同于經(jīng)典理論中散射光頻率不變的結(jié)論p證明 設(shè)電子可以吸收這個光子反應(yīng)后它的動量為 反應(yīng)前光子能量 電pm2c4p2cm2c4p2ce

vhkv

hk 能量守恒hmec2 式代入 hmec22hmec2

m2c4m2c4em2c4(hep2)電子可散射這個光子散射后的頻率為 p

hkhkp2(hk)2(hk)22h2kkh()

hmec2mm2c4p2ce

m2c4pm2c4p2ce

Qp h()