方向?qū)?shù)與梯度課件

三、梯度的概念一、問題的提出二、方向?qū)?shù)的定義§9.7方向?qū)?shù)與梯度四、小結(jié)思考題三、梯度的概念一、問題的提出二、方向?qū)?shù)的定義§9.7方向1一、問題的提出【回顧】一元函數(shù)函數(shù)值在點(diǎn)x0處沿x軸方向增大.二元函數(shù)函數(shù)值在點(diǎn)P(x0,y0)處沿x軸方向增大函數(shù)值在點(diǎn)P(x0,y0)處沿x軸方向減小.函數(shù)值在點(diǎn)x0處沿x軸方向減小.一、問題的提出【回顧】一元函數(shù)函數(shù)值在點(diǎn)x0處沿x軸方向增大2函數(shù)值在點(diǎn)P(x0,y0)處沿y軸方向增大函數(shù)值在點(diǎn)P(x0,y0)處沿y軸方向減小二元函數(shù)【問題】二元函數(shù)在點(diǎn)P(x0,y0)處沿其它射線方向的變化率如何？函數(shù)值在點(diǎn)P(x0,y0)處沿y軸方向增大函數(shù)值在點(diǎn)P(3討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題．二、方向?qū)?shù)的定義（如圖）——l

的參數(shù)方程討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變4記為1.【定義】記為1.【定義】5(2)【說明】(1)對方向?qū)?shù),以下兩種定義方式等價(2)【說明】(1)對方向?qū)?shù),以下兩種定義方式等價6（自己推導(dǎo)）綜上①②可知：若某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，能保證該點(diǎn)沿x、y

軸的四個射線方向的方向?qū)?shù)分別存在.其它方向的方向?qū)?shù)是否存在不能保證.【反例】（自己推導(dǎo)）綜上①②可知：若某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，能保證該點(diǎn)沿x、72.【方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算】方向?qū)?shù)何時存在、以及與偏導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系，有如下定理【證明】由假設(shè)則2.【方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算】方向?qū)?shù)何時存在、以及與偏導(dǎo)數(shù)8(2)【推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義】或同理當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)可微時，函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在且有：(2)【推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義】或同理當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)可9【解】【練習(xí)】求在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，其中的方向角分別為【解】【練習(xí)】求10【補(bǔ)例2】教材習(xí)題9-7P108

第3題

【思考】取正號可否?【解】【補(bǔ)例2】教材習(xí)題9-7P108第3題【思考11方向?qū)?shù)與梯度課件12【解】令故方向余弦為【解】令故方向余弦為13故故14三、梯度的概念【問題】［實(shí)例］一塊長方形的金屬板，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？【問題的實(shí)質(zhì)】應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．三、梯度的概念【問題】［實(shí)例］一塊長方形的金屬板，四個頂點(diǎn)的15【注】梯度是定義域所在空間（坐標(biāo)系）內(nèi)的一個向量.【注】梯度是定義域所在空間（坐標(biāo)系）內(nèi)16其中其中17【結(jié)論】函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是個向量，它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為【結(jié)論】函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是個向量，它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向18曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等值線梯度為等值線上的法向量2.【梯度的幾何意義】在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等值19事實(shí)上，若不同時為零，則等值線可視為則法向量為與梯度方向相同事實(shí)上，若不同時為零，則等值線可視為則法向量為與梯度20等值線的畫法播放等值線的畫法播放21【例如】【例如】22【梯度與等值線的關(guān)系】

（即梯度的幾何意義）【梯度與等值線的關(guān)系】（即梯度的幾何意義）23類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向的方向?qū)?shù)取得最大值，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向的方向?qū)?shù)24方向?qū)?shù)與梯度課件25【解】由梯度計(jì)算公式得故【注】課本P106例3、例4自閱【練習(xí)題】【解】由梯度計(jì)算公式得故【注】課本P106例3、例4自閱【練26【解】【解】271、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個向量）四、小結(jié)即該點(diǎn)方向?qū)?shù)取最大值的方向.1、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注28【思考題】【思考題解答】【思考題】【思考題解答】29方向?qū)?shù)與梯度課件30等值線的畫法等值線的畫法31等值線的畫法等值線的畫法3