《點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式》

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式

對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)此公式適用于P0為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，特別地當(dāng)P0在直線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)P0到直線(xiàn)的距離為零.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

(2)幾種特殊情況下的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：①點(diǎn)P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|;②點(diǎn)P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d=|x0|;③點(diǎn)P(x0,y0)到平行于y軸的直線(xiàn)x=a的距離為d=|x0-a|;④點(diǎn)P(x0,y0)到平行于x軸的直線(xiàn)y=b的距離d=|y0-b|.(3)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離也可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離.

使用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的前提條件是：把直線(xiàn)方程化成一般式.【例1】求點(diǎn)P(1，2)到下列直線(xiàn)的距離：(1)l1:y=x-3;(2)l2：y=-1;(3)y軸.【審題指導(dǎo)】直線(xiàn)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)均明確給出,求解的關(guān)鍵是把直線(xiàn)方程化成一般式,直接代入公式求解,必要時(shí)數(shù)形結(jié)合更方便.【規(guī)范解答】(1)將直線(xiàn)方程化為一般式為：x-y-3=0,由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得(2)方法一：直線(xiàn)方程化為一般式為：y+1=0,由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得方法二：∵y=-1平行于x軸，由圖(1)知，d=|2-(-1)|=3.(3)方法一：y軸的方程為x=0，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得方法二：由圖(2)可知，d=|1-0|=1.【互動(dòng)探究】求點(diǎn)P(1,2)到下列直線(xiàn)的距離：(1)x-y+1=0；(2)x+y-4=0.【解析】(1)∵點(diǎn)P(1,2)在直線(xiàn)x-y+1=0上,∴點(diǎn)P(1,2)到直線(xiàn)x-y+1=0的距離為0.(2)由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得點(diǎn)P(1,2)到直線(xiàn)x+y-4=0的距離為

兩平行線(xiàn)間的距離的求解策略：(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：因?yàn)閮善叫芯€(xiàn)間的公垂線(xiàn)段都相等，故兩平行線(xiàn)間的距離等于平行線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離，即兩平行線(xiàn)間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.兩平行線(xiàn)間的距離(2)公式法：已知兩條直線(xiàn)l1:Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)，則兩條直線(xiàn)間的距離

在利用公式法計(jì)算平行線(xiàn)間的距離時(shí)務(wù)必保證：①方程化成一般式；②x,y的系數(shù)相等.【例2】求直線(xiàn)l1:3x-4y=-1與直線(xiàn)l2:間的距離.【審題指導(dǎo)】已知兩直線(xiàn)的方程,求解本題可考慮利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法和公式法兩種方式.需注意應(yīng)用公式法解答本題時(shí)應(yīng)把直線(xiàn)l1,l2的方程化成一般式，且x,y的系數(shù)相同.【規(guī)范解答】方法一(等價(jià)轉(zhuǎn)化法)：∵l1∥l2，∴兩直線(xiàn)間的距離等于直線(xiàn)l1上任意一點(diǎn)到直線(xiàn)l2的距離.不妨在直線(xiàn)l1上取點(diǎn)P(1,1),則該點(diǎn)到直線(xiàn)l2的距離為方法二(公式法)：把直線(xiàn)l1,l2的方程分別化成一般式得l1:3x-4y+1=0,l2:3x-4y-2=0.由兩平行線(xiàn)間的距離公式得：【互動(dòng)探究】把題設(shè)中“l(fā)1:3x-4y=-1”換成“”求相應(yīng)問(wèn)題.(用兩種方法求解)【解題提示】思路一：在l1上任取點(diǎn)P利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解;思路二：把直線(xiàn)l1,l2的方程化成一般式,代入公式求解.【解析】第一種方法：∵l1∥l2，∴兩直線(xiàn)間的距離等于直線(xiàn)l1上任意一點(diǎn)到直線(xiàn)l2的距離.不妨在直線(xiàn)l1上取點(diǎn)P(0,6),則該點(diǎn)到直線(xiàn)l2的距離為第二種方法：把直線(xiàn)l1,l2的方程分別化成一般式得l1:3x-4y+24=0,l2:3x-4y-2=0.由兩平行線(xiàn)間的距離公式得：1.距離公式的綜合應(yīng)用到目前已學(xué)習(xí)的距離包括兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離及兩平行線(xiàn)間的距離.涉及到距離的問(wèn)題常常結(jié)合以上三個(gè)公式，利用已知條件有效的組合運(yùn)用，需特別注意的是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離及兩平行線(xiàn)間的距離的適用條件，不可錯(cuò)用.距離公式的應(yīng)用2.直線(xiàn)方程的求解策略立足確定直線(xiàn)的幾何要素——點(diǎn)和方向,利用直線(xiàn)方程的各種形式,結(jié)合直線(xiàn)的位置關(guān)系(平行直線(xiàn)系、垂直直線(xiàn)系及過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)系),巧設(shè)直線(xiàn)方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解.

注意直線(xiàn)方程的特殊情形,如斜率不存在的情形，截距為零的情形等等.【例3】已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，1)且被兩平行直線(xiàn)l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為5，求直線(xiàn)l的方程.【審題指導(dǎo)】本題求直線(xiàn)l的方程，現(xiàn)知兩個(gè)條件：①過(guò)定點(diǎn)(3，1)，②被平行線(xiàn)l1,l2截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為5.可畫(huà)出它們的圖形，利用平面幾何知識(shí)求斜率；也可設(shè)出斜率，利用距離公式求出k.【規(guī)范解答】方法一：設(shè)兩平行線(xiàn)x+y+1=0和x+y+6=0的距離為d,則如圖，設(shè)∠PBB′=θ=∠PB′B,則∴θ=45°,因?yàn)閮善叫兄本€(xiàn)的斜率為-1，故所求直線(xiàn)的斜率不存在或?yàn)榱悖捎谥本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(3，1)，故所求直線(xiàn)l的方程為x＝3或y=1.方法二：若直線(xiàn)l的斜率不存在，則直線(xiàn)l的方程為x=3,此時(shí)與l1,l2的交點(diǎn)分別為A′(3,-4)和B′(3,-9)，截得的線(xiàn)段長(zhǎng)|A′B′|=|-4+9|=5，符合題意.若直線(xiàn)l的斜率存在，則設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-3)+1.解方程組得解方程組得由｜AB｜=5,得解得k=0,即所求的直線(xiàn)方程為y=1,綜上可知，所求直線(xiàn)l的方程為x=3或y=1.【變式訓(xùn)練】求過(guò)點(diǎn)A(2，1)且與原點(diǎn)距離為2的直線(xiàn)方程.【解題提示】分直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情形討論.【解析】若直線(xiàn)與x軸垂直，則直線(xiàn)為x=2，∴d=｜2-0｜=2.故x=2符合題意.當(dāng)直線(xiàn)不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)為y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0.∴原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離∴直線(xiàn)方程為3x+4y-10=0.綜上，所求直線(xiàn)為x=2或3x+4y-10=0.【例】若實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a+b+1=0,求的最小值.【審題指導(dǎo)】

可變形為看成點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)(1,1)的距離，又a+b+1=0,可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(1,1)到直線(xiàn)a+b+1=0上的點(diǎn)的距離的最小值.【規(guī)范解答】設(shè)點(diǎn)M(1，1)，P(a,b)，則上式表示點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離.又點(diǎn)P在直線(xiàn)a+b+1=0上運(yùn)動(dòng)，故即為點(diǎn)M與直線(xiàn)a+b+1=0上任意一點(diǎn)連線(xiàn)的距離，∴|PM|的最小值應(yīng)為點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離.【變式備選】已知A(1,3),B(3，1)，點(diǎn)C在3x-y+3=0上，且△ABC的面積為10，求點(diǎn)C的坐標(biāo).【解析】由題意知設(shè)點(diǎn)C(x0,y0),又直線(xiàn)AB的方程為x+y-4=0,

解得或∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為或【典例】(12分)已知點(diǎn)P到兩定點(diǎn)M(-1,0),N(1,0)距離的比為點(diǎn)N到直線(xiàn)PM的距離為1,求直線(xiàn)PN的方程.【審題指導(dǎo)】已知及點(diǎn)N到直線(xiàn)PM的距離,求解的關(guān)鍵利用上述條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)進(jìn)而寫(xiě)出直線(xiàn)PN的方程.規(guī)范提升【規(guī)范解答】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題設(shè)有即整理得x2+y2-6x+1=0.①……………3分因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1,｜MN｜=2,所以∠PMN=30°,直線(xiàn)PM的斜率為直線(xiàn)PM的方程為②……………6分將②式代入①式整理得x2-4x+1=0.解得代入②式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為或……………………10分直線(xiàn)PN的方程為y=x-1或y=-x+1.………………12分【誤區(qū)警示】對(duì)解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下：【即時(shí)訓(xùn)練】(2011·溫州高二檢測(cè))已知直線(xiàn)l過(guò)兩直線(xiàn)3x-y-10=0和x+y-2=0的交點(diǎn)，且直線(xiàn)l與點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(5，2)的距離相等，求直線(xiàn)l的方程.【解析】由得設(shè)所求l的方程為y+1=k(x-3),則解得∴l(xiāng)的方程為x+4y+1=0,又當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=3,也滿(mǎn)足題意.故所求直線(xiàn)的方程為x+4y+1=0或x=3.1.原點(diǎn)到直線(xiàn)x+2y-5=0的距離為()(A)1(B)(C)2(D)【解析】選D.自主練習(xí)2.兩條平行線(xiàn)y=2x+3與y=2x-4之間的距離是()(A)1(B)7【解析】選C.由題意可知兩平行線(xiàn)可化為2x-y+3=0與2x-y-4=0，∴兩平行線(xiàn)間的距離3.已知點(diǎn)(4,m)到直線(xiàn)x+y-4=0的距離等于1,則m的值為_(kāi)__________.【解析】由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得解得答案：4.已知直線(xiàn)l1與l2:x+y-1=0平行,且l1與l2的距離為則直線(xiàn)l1的方程是___________.【解析】設(shè)直線(xiàn)l1的方程為x+y+c=0.由兩平行線(xiàn)間的距離公式得解得c=1或c=-3.∴直線(xiàn)l1的方程是x+y+1=0或x+y-3=0.答案：x+y+1=0或x+y-3=05.已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，5)，且斜率為(1)求直線(xiàn)l的方程；(2)若直線(xiàn)m與l平行，且點(diǎn)P到直線(xiàn)m的距離為3，求直線(xiàn)m的方程.【解析】(1)由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，得整理得所求直線(xiàn)方程為3x+4y-14=0.(2)由直線(xiàn)m與直線(xiàn)l平行，可設(shè)直線(xiàn)m的方程為3x+4y+c=0，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得即解得c=1或c=-29，故所求直線(xiàn)方程為3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.一、選擇題(每題4分，共16分)1.(2011·嘉興高二檢測(cè))點(diǎn)(1,-1)到直線(xiàn)x-y+1=0的距離是()【解析】選D.由題意可知課后作業(yè)2.過(guò)點(diǎn)P(0,1)且與原點(diǎn)距離為1的直線(xiàn)方程為()(A)x=1(B)y=1(C)x+y=1(D)x-y=1【解析】選B.∵點(diǎn)P(0,1)到原點(diǎn)的距離為1，∴過(guò)點(diǎn)P(0,1)且與原點(diǎn)距離為1的直線(xiàn)方程有且只有一條,為y=1.3.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)B在直線(xiàn)y=-x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線(xiàn)段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為()【解析】選B.由題意可知當(dāng)AB垂直于直線(xiàn)x+y=0時(shí)線(xiàn)段AB最短,此時(shí)kAB=1，設(shè)B(a,-a),則4.(2011·海口高二檢測(cè))兩直線(xiàn)3x+y-3=0與6x+my+1=0平行，則它們之間的距離為()【解題提示】解答本題可先利用兩直線(xiàn)平行求出m的值,進(jìn)而求出兩直線(xiàn)的距離.【解析】選D.由題意知解得m=2.∴直線(xiàn)6x+my+1=0可化為由兩平行線(xiàn)間的距離公式得二、填空題(每題4分，共8分)5.(2011·徐州高二檢測(cè))兩平行直線(xiàn)x+3y-4=0與2x+6y-9=0的距離為_(kāi)_________.【解析】直線(xiàn)2x+6y-9=0可化為由兩平行線(xiàn)間的距離公式得答案：

6.(2011·蚌埠高二檢測(cè))與直線(xiàn)7x+24y=5平行，并且與該直線(xiàn)之間的距離等于3的直線(xiàn)