數(shù)學(xué)大觀03凌波微步課件

數(shù)學(xué)大觀3

凌波微步微積分

李尚志北京航空航天大學(xué)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):微積分基礎(chǔ)

函數(shù)圖象：sin(x)及其Tylor逼近。sin(x)+sin(3x)/3+…sin(1/x)在x=0附近的性狀。sin(x)

及其Tylor

逼近

球面鏡的反射2023/7/24球面鏡的反射

正確的聚光鏡

形狀2023/7/242023/7/24

sin(1/x)在x=0附近

[-1,1][-0.01,0.01]2023/7/24的計(jì)算

想一想：怎樣算

？當(dāng)一回祖沖之！

圓的面積2023/7/24無窮級(jí)數(shù)法

arctanx=x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-...

/4=arctan1=1-1/3+1/5-1/7+1/9-…

收斂太慢！

|x|應(yīng)當(dāng)比1小很多，級(jí)數(shù)收斂才快。

/4=arctan1/2+arctan1/3

/4=4arctan1/5-arctan1/239

蒙特卡羅法2023/7/24

調(diào)和級(jí)數(shù)

H（n）=1+1/2+…+1/n

的圖象與lnx相比較

c=limn

(H(n)-lnn)

稱為歐拉常數(shù)

2023/7/24最佳分?jǐn)?shù)近似值祖沖之的圓周率:約率與密率最佳近似值：誤差小，分母小。

準(zhǔn)確值z(mì)=,分?jǐn)?shù)近似值u/v，誤差d=|z-u/v|。選法1：遞增選v，使d遞減。選法2：遞增選v，使vd

遞減。選法3：以v2d小為佳，選十佳。2023/7/24快速尋佳2023/7/24尋優(yōu)光的折射定律光在同一種介質(zhì)中走最短路線（直線），聰明！從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)發(fā)生折射，傻了？2023/7/24光的反射2023/7/24光的折射2023/7/24設(shè)光在兩種介質(zhì)中的速度比為u，兩介質(zhì)分界線為直線。從第一介質(zhì)的A點(diǎn)到第二介質(zhì)的B點(diǎn)，走怎樣的路線時(shí)間最短？問題：2023/7/24光的折射:

舍近求遠(yuǎn)大智慧2023/7/24

天不均勻地不平風(fēng)云變幻大江東入水光線改方向

露珠圓圓看晶瑩

不等式2023/7/24最速降線重力場(chǎng)中高度不同的兩點(diǎn)A，B。在A靜止的質(zhì)點(diǎn)沿怎樣的路徑下滑到B點(diǎn)，時(shí)間最少？2023/7/24尋找最速降線求T=f(y1,y2,…,yn-1)的最小值點(diǎn)(y1,y2,…,yn-1)。用光滑曲線連接點(diǎn)Pi等時(shí)曲線2023/7/24

最速降線的形狀2023/7/24

之一微分

凌波能信步苦海豈無邊函數(shù)千千萬萬一次最簡(jiǎn)單微積分詩四首2023/7/24

隱函數(shù)存在定理

F(x,y)在某點(diǎn)P0可微何時(shí)由

F(x,y)=0確定

y=f(x)?線性化:

y=f(x)在

x0可微,導(dǎo)數(shù)為

2023/7/24

可微函數(shù)n個(gè)方程=0,線性化即當(dāng)detB時(shí)有唯一解隱映射定理2023/7/24一元微積分物理：以勻速代替非勻速幾何：以直代曲（只能看不能算）代數(shù)：以線性代替非線性例.自由落體x=4.9t2.求t秒末的速度.解：

x(t+Dt)=4.9(t+Dt)2=4.9t2+9.8t(Dt)+4.9(Dt)2線性化：

x(t+Dt)≈4.9t2+9.8t(Dt)誤差4.9(Dt)2:

Dt

的無窮小倍=o(Dt).速度vt=一次項(xiàng)系數(shù)9.8=導(dǎo)數(shù)幾何:以直代曲拋物線x=4.9(t+Dt)2

在點(diǎn)(t,4.9t2)附近被切線x=4.9t2+9.8Dt

近似代替速度v1=切線斜率此幾何意義與x,t

的物理意義無關(guān)可以推廣到別的函數(shù)y=f(x)DtDxtx微分與導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)在x=a附近線性化。

函數(shù)增量Dy=f(x)-f(a),自變量增量Dx=x-a

Dy

≈kDx

，誤差:Dy–kDx=o(Dx)

微分:

dy=kDx導(dǎo)數(shù):=k,記為f’(a)=變化率=切線斜率.

一次函數(shù)代替f(x):y=f(x)≈f(a)+f’(a)DxxDxDyy假作真時(shí)貌似真極限：

f(x)A即:f(x)=A+q,q無窮小(0).

若f(x)A,g(x)B

f(x)g(x)=(A+q1)(B+q2)=AB+q1B+Aq2+q1q2AB無窮小的代數(shù)性質(zhì)

(同濟(jì).用e-d語言證明.)可以將q1,q2看成0，略去不寫寫f(x)≡A,g(x)≡B,像等式一樣加、減、乘得到f(x)±g(x)≡A±B,f(x)g(x)≡AB即f(x)±g(x)A±B,f(x)g(x)AB.被忽略的元素集合={無窮小}=O(Dx)微分：Dy≡dy

（modo(Dx))

f(x)≡f(a)+f

’(a)Dx（modo(Dx))多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù).多項(xiàng)式f(x)=anxn

+…+a1x+a0

的導(dǎo)數(shù):差分Df(x)=f(x+t)–f(x)=(nanxn-1+…+a1)t+(…)t2

是t的多項(xiàng)式,其中t的一次項(xiàng)系數(shù)即f’(x)

=nanxn-1+…+a1

和差積商的導(dǎo)數(shù)公式f(x)

≡

f(a)+f’(a)Dx

g(x)≡

g(a)+g’(a)Dx

兩式相加減和差的導(dǎo)數(shù)相乘乘積的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx倒數(shù)的導(dǎo)數(shù):

指數(shù)函數(shù)的微分ax+Dx

≡ax+kDx(modo(Dx)),aDx

≡1+lDx,l=k/ax(a1/l)

lDx

≡1+lDxbt

≡1+t,b=a1/l,t=lDx，取

t=1/n,b1/n

≡1+1/n(o)b≡(1+1/n)n(O)?b1/n

=(1+1/n)(1+q/n),b=(1+1/n)n(1+q/n)n

1+q

<(1+q/n)n

<1/(1-q/n)n

<1/(1-q)n∞,

q0,b=e,a=el,l=lna,(ax)’=k=axlna.

對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)k=lim(loga(x+Dx)

–logax)/Dx,=lim

loga(1+Dx/x)1/Dx,t=Dx/x

=(1/x)lim

loga(1+t)1/t=(1/x)logae當(dāng)a=e時(shí)k=1/x.

之二泰樂展開漫天休問價(jià)就地可還錢我有乘除加減翱翔天地間微積分詩四首2023/7/24

羅必達(dá)法則例.求極限

(1)(2)分子分母都是多項(xiàng)式:享受幸運(yùn)約分.Else,創(chuàng)造幸運(yùn)化成多項(xiàng)式再約分.

之三定積分一帆難逢風(fēng)順一路高低不平平平淡淡分秒編織百味人生微積分詩四首2023/7/24微積分基本概念（二）

----定積分

速度v(t)

路程s(t)

路程=速度*時(shí)間

速度變化怎么辦?

分段計(jì)算:Dsi=v(ti)*Dti

各段相加：s=Si

Dsi,Dti0微積分基本概念（三）

----微積分基本定理

飛檐走壁