第5章-1-振動(dòng)課件

振動(dòng)與波動(dòng)VIBRATIONANDWAVE第5章振動(dòng)與波動(dòng)§5.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)任何物理量隨時(shí)間做周期性變化都叫做振動(dòng)。例如，位矢、電流、電壓、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、密度等。物體在某位置附近來回運(yùn)動(dòng)叫機(jī)械振動(dòng)。物理量按余(正)弦規(guī)律隨時(shí)間變化,叫簡(jiǎn)諧振動(dòng)。一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)：OxxkmF彈性力牛二律最簡(jiǎn)單的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何振動(dòng)都可由簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得到。加速度得此即簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程，可用其判斷簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其解為為簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)函數(shù)，其中A,

為待定系數(shù)。式中速度二、特征量：1.振幅

A：表征振動(dòng)的強(qiáng)度。2.角頻率

：表征振動(dòng)的快慢。單位rad/s或s-1。T為周期，單位為sv

為頻率，單位為Hz3.相位t+

，初相：

t=0時(shí)刻的相位。說明1.角頻率是彈簧振子的固有物理特征，稱為固有角頻率。2.振幅A，初相

決定于初始時(shí)刻的選擇，具有任意性，因此不是彈簧振子的固有物理特征。振幅A決定于振動(dòng)的能量(E=kA2/2=m2A2/2)。三、確定特征量的方法：1.2.A,

由初始條件確定，或由任意時(shí)刻的位移、速度確定。已知t=0時(shí)，x=x0,v=v0，得到所以利用第二個(gè)公式求得出兩個(gè)值，而利用兩個(gè)公式則求出唯一正確的值。

TxtOA-A四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述方法：1.振動(dòng)曲線：x–t曲線xtOvaAA2A2.旋轉(zhuǎn)矢量圖：tAωOxxA-A圓周的半徑—振幅A旋轉(zhuǎn)角速度—角頻率旋轉(zhuǎn)矢量與x方向的夾角—相位

t+2通過相位比較振動(dòng)的步調(diào)：t=0t123123質(zhì)點(diǎn)2振動(dòng)落后于質(zhì)點(diǎn)1振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)3振動(dòng)超前于質(zhì)點(diǎn)1振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)可表示為質(zhì)點(diǎn)勻速圓周運(yùn)動(dòng)在某方向(此處為x方向)上的投影。tOOxtAt=0tOtxA-Av超前x相位

/2a超前

v相位

/2a超前

x相位

，或a與x反相xavT相位差：當(dāng)12時(shí)，相位差隨時(shí)間變化，當(dāng)1=2時(shí)，相位差不隨時(shí)間變化例1證明如圖所示系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求角頻率。Oxm2gkm1m2MT3T3T2T1T2解：以彈簧固有長(zhǎng)度的端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為正建立一維坐標(biāo)系。受力分析。由牛二律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律得還有得令得標(biāo)準(zhǔn)形式簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程例2如圖所示簡(jiǎn)諧振動(dòng)，已知周期T，求(1)初相；(2)a,b兩點(diǎn)相位；(3)從t=0開始到a,b兩點(diǎn)的時(shí)間。xA/2TOtAabxab-/3ω解：(1)(2)a點(diǎn)相位b點(diǎn)相位(3)已求出

和

，解得ta=T/6,tb=5T/12五、其它簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例：1.單擺：mgft取逆時(shí)針方向?yàn)榻俏灰?/p>

的正向，則小球做圓周運(yùn)動(dòng)的切向力為

很小由得這就是單擺的角位移滿足的微分方程，因此單擺的擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其角頻率和周期分別為lT2.復(fù)擺：擺動(dòng)的剛體叫做復(fù)擺。mglO

很小取逆時(shí)針方向?yàn)榻俏灰?/p>

的正向，則復(fù)擺受到的對(duì)于轉(zhuǎn)軸O的重力矩為由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得這就是復(fù)擺的角位移滿足的微分方程，因此復(fù)擺的擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其角頻率和周期分別為，,用復(fù)擺可以測(cè)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。C3.電諧振蕩：電容C和電感L組成的電路中，電容器電量q和電路中電流i的振蕩。GC+q－quCLLKi感生電動(dòng)勢(shì)與電容電壓滿足L

+uC

=0由L得這也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)滿足的微分方程。其解為例3單擺鐘擺長(zhǎng)l=0.995m，(1)在某地發(fā)現(xiàn)此鐘每天快1分30秒；(2)在另一地發(fā)現(xiàn)此鐘慢了2分15秒,問分別如何調(diào)整擺長(zhǎng)，才能使鐘正確？解：不能用g=9.8m/s2求標(biāo)準(zhǔn)鐘擺長(zhǎng)，因?yàn)椴煌攸c(diǎn)重力加速度的不同正是造成此鐘忽快忽慢的原因。(1)此鐘，此地標(biāo)準(zhǔn)鐘二式相除(不能相減，為什么？)得調(diào)長(zhǎng)2.07mm(2)此鐘，此地標(biāo)準(zhǔn)鐘調(diào)短3.11mm§5.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量所以機(jī)械能為可見，彈簧振子的總能量不隨時(shí)間改變(機(jī)械能守恒)，而且與振幅的平方成正比。彈簧振子的勢(shì)能和動(dòng)能分別為動(dòng)能與勢(shì)能的大小都發(fā)生振蕩，振動(dòng)周期為T/2。xEEpEkT2TtOtOxA-AEkEpOEpx振子的動(dòng)能與勢(shì)能互相轉(zhuǎn)化。振子不能到達(dá)|x|>A的區(qū)域，因?yàn)閯?shì)能不能超過E，否則動(dòng)能將變?yōu)樨?fù)值。勢(shì)能和動(dòng)能對(duì)時(shí)間的平均值例水平彈簧振子，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)k=24N/m，重物質(zhì)量m=6kg，重物靜止在平衡位置。設(shè)以一水平恒力F=10N向左作用于物體(不計(jì)摩擦),使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了0.05m，此時(shí)撤去力F。當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，求物體的運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為

x=Acos(t+)恒外力所做的功等于彈簧獲得的機(jī)械能，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最左端時(shí)，這些能量全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能mkFx–A–sO角頻率物體運(yùn)動(dòng)到–A位置時(shí)計(jì)時(shí)，Acos=–A，初相=

所以物體的運(yùn)動(dòng)方程為x=0.204cos(2

t+

)(m)mkFx–A–sO思考：物體運(yùn)動(dòng)到–s位置時(shí)計(jì)時(shí)，情況怎樣?§5.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)任意方向、強(qiáng)度的簡(jiǎn)諧振動(dòng)都可合成，一般情況比較復(fù)雜。下面是4種較簡(jiǎn)單的情形。一、同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成：k1k2m合運(yùn)動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中A1A2A12x1x2Ox1.兩分振動(dòng)同相，即則A=A1+A2，相互加強(qiáng)；2.兩分振動(dòng)反相，即則A=|A1-

A2|，相互減弱。討論3.當(dāng)相位差2–1

為其它值時(shí)，合振幅A界于A1+A2和|A1-

A2|之間。A1A2A12x1x2Ox例兩振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)函數(shù)分別為求合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)函數(shù)。解：同頻同向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。xA1A2Aφ1φ2應(yīng)取，○同一直線上n個(gè)同頻率、同振幅、恒定相位差的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成nxOCRR矢量的外接圓半徑為R，PMOCP中OCM中合振動(dòng)為討論1.若各分振動(dòng)同相，即nxO則2.若各分振動(dòng)相位差其中k'不取n的整數(shù)倍，則各分振幅矢量構(gòu)成閉合正多邊形，

A=0，x=0。例如n=612345k'=nxO

/OAna21-134-2二、同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成：兩矢量和在參考圓中旋轉(zhuǎn)過程中,夾角和合矢量隨時(shí)間改變，合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。為簡(jiǎn)單起見，設(shè)振幅相等，初相相同。所以合振動(dòng)可以看成是“振幅隨時(shí)間改變的諧振動(dòng)”。合振動(dòng)的振幅矢量仍是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但半徑周期性變化。當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的頻率都較大而其差較小時(shí)，合振動(dòng)具有特殊的周期性。x1x2xttt因?yàn)?，所以“振幅的變化”比“相位的變化”慢得多。頻率都較大但差別很小的兩個(gè)同方向振動(dòng)合成時(shí)，合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象叫做拍。單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻應(yīng)用準(zhǔn)確測(cè)頻率，用音叉調(diào)鋼琴三、相互垂直的同頻率振動(dòng)的合成：消去t，得質(zhì)點(diǎn)軌道方程討論1.兩振動(dòng)同相或反相則軌跡為直線，合運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2.兩振動(dòng)相位差為/2，則軌跡為橢圓xyA1A2OxyA1A2OxyA1A2xyA1A2OO3.兩振動(dòng)相位差為/4,3/4，則運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，半長(zhǎng)軸和半短軸不在坐標(biāo)軸上。xyA1A2xyA1A2OOxyA1A2xyA1A2OO2–1=

/4–/43/4–3/44.兩振動(dòng)相位差為其他值時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡仍為橢圓。四、相互垂直的不同頻率振動(dòng)的合成：1.如果頻率差別很小，則近似看成同頻率振動(dòng)合成，但相差緩慢變化，合運(yùn)動(dòng)軌跡按下面順序變化。2.如果頻率差別較大，但有簡(jiǎn)單的整數(shù)比，則合運(yùn)動(dòng)具有穩(wěn)定閉合軌跡，即李薩如圖。該圖與矩形框的

x邊和y邊的切點(diǎn)數(shù)的比值等于兩方向振動(dòng)周期比。Tx:Ty=1:22:33:4應(yīng)用測(cè)頻率§5.4阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)一、阻尼振動(dòng)：由于阻力作用而不斷損失能量的振動(dòng)叫阻尼振動(dòng)。當(dāng)振子速度較小時(shí)，介質(zhì)阻力為所以振動(dòng)方程為即固有角頻率阻尼系數(shù)1.當(dāng)阻尼較小時(shí)，

<0，阻尼使振動(dòng)頻率小于固有頻率0，xA0-A0A0e-ttO使振幅不斷減小。欠阻尼過阻尼臨界阻尼xtOA02.當(dāng)阻尼過大時(shí)，

>

0，振子以非周期運(yùn)動(dòng)回到平衡位置。3.當(dāng)阻尼使

=0時(shí)，振子剛好能做非周期運(yùn)動(dòng)，回到平衡位置時(shí)間最短。電流表指針止振需要這種阻尼?！鸷娮桦娭C振蕩：電能逐漸被電阻