集合的基本運算(課件)-課件

1.1.3集合的基本運算2020/10/151思考：類比引入

兩個實數(shù)除了可以比較大小外，還可以進行加法運算，類比實數(shù)的加法運算，兩個集合是否也可以“相加”呢？2020/10/152精品資料思考：類比引入

考察下列各個集合，你能說出集合C與集合A、B之間的關(guān)系嗎？（1）A=｛1，3，5｝，B=｛2，4，6｝，

C=｛1，2，3，4，5，6｝．（2）A=｛x|x是有理數(shù)｝，B=｛x|x是無理數(shù)｝，C=｛x|x是實數(shù)｝．

集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆贐的元素組成的．2020/10/154

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（Unionset）．記作：A∪B（讀作：“A并B”）即：A∪B={x|x∈A

，()x∈B}Venn圖表示：

A∪BAB

說明：兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合（重復(fù)元素只看成一個元素）．并集概念A(yù)∪BABA∪BAB或2020/10/155例1．設(shè)A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AUB．解：例2．設(shè)集合A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}，求AUB．并集例題解：可以在數(shù)軸上表示例2中的并集，如下圖：集合運算常用數(shù)軸畫圖觀察2020/10/156例4：若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，則集合AUB等于(

)A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}[答案]

A[解析]

將集合A、B表示在數(shù)軸上，由數(shù)軸可得AUB＝{x|x≤3或x>4}，故選A2020/10/157例5．(09·上海)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍是________．[答案]

a≤1[解析]

將集合A、B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．要使A∪B＝R，則a≤1.2020/10/1586．已知：A＝{x||x－a|＜4}，B＝{x|x＜－1或x≥5}，且A∪B＝R，求實數(shù)a的范圍．2020/10/159并集性質(zhì)①A∪A＝

；②A∪＝

；③A∪B＝AB____A2020/10/1510并集的交換律并集的結(jié)合律并集的相關(guān)性質(zhì)：2020/10/1511思考：類比引入

考察下面的問題，集合C與集合A、B之間有什么關(guān)系嗎？（1）A=｛2，4，6，8，10｝，B=｛3，5，8，12｝，C=｛8｝．（2）A=｛x|x是新華中學(xué)2004年9月入學(xué)的女同學(xué)｝，

B=｛x|x是新華中學(xué)2004年9月入學(xué)的高一年級同學(xué)｝，

C=｛x|x是新華中學(xué)2004年9月入學(xué)的高一年級女同學(xué)｝．

集合C是由那些既屬于集合A且又屬于集合B的所有元素組成的．2020/10/1512

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集（intersectionset）．記作：A∩B（讀作：“A交B”）即：A∩B={x|x∈A（）x∈B}Venn圖表示：

說明：兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合．交集概念A(yù)BA∩B=A∩BABA∩BB且2020/10/1513交集性質(zhì)①AA＝

；②A＝

；③AB＝AA____B2020/10/1514(1)設(shè)A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，則A∩B＝

．(2)設(shè)A＝{x|x<1}，B＝{x|x>2}，則A∩B＝

.{2}?2020/10/1515D

2020/10/1516(2010·湖南文，9)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，m，4}，A∩B＝{2，3}，則m＝________.[解析]

由題意知m＝3.[答案]

32020/10/1517[例]

(09·全國Ⅱ)設(shè)集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，則M∩N＝(

)A．{0,1}

B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}[解析]

∵M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}，故選B.B2020/10/15187．你會求解下列問題嗎？集合A＝{x|－2≤x<1}．

(1)若B＝{x|x>m}，A?B，則m的取值范圍是

.(2)若B＝{x|x<m}，A?B，則m的取值范圍是

.(3)若B＝{x|x<m－5或x≥2m－1}，A∩B＝

?，則m的取值范圍是

.m<－2m≥11≤m≤32020/10/1519[例3]

已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，則A∩B＝________.2020/10/1520類比并集的相關(guān)性質(zhì)2020/10/1521一些性質(zhì)（補充）：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；

A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．2020/10/15222．利用數(shù)形結(jié)合的思想，將滿足條件的集合用韋恩圖或數(shù)軸一一表示出來，從而求集合的交集、并集，這是既簡單又直觀且是最基本、最常見的方法，要注意靈活運用．3．集合元素的互異性在解決集合的相等關(guān)系、子集關(guān)系、交集等時常遇到，忽視它很多時候會造成結(jié)果失誤，解題時要多留意．解決集合問題時，常常要分類討論，要注意劃分標準的掌握，做到不重、不漏，注意檢驗．2020/10/1523若已知x∈A∪B，那么它包含三種情形：①x∈A且x?B；②x∈B且x?A；③x∈A且x∈B，這在解決與并集有關(guān)問題時應(yīng)引起注意．2020/10/1524在求A∩B時，只要搞清兩集合的公共元素是什么或公共元素具有怎樣的性質(zhì)即可．反之，若已知a∈A∩B，那么就可以斷定a∈A且a∈B；若A∩B＝?，說明集合A與B沒有公共元素．2020/10/15252020/10/1526[例5]已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分別求適合下列條件的a值．

(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.[分析]

9∈A∩B與{9}＝A∩B意義不同，9∈A∩B說明9是A與B的一個公共元素，但A與B中允許有其它公共元素．{9}＝A∩B，說明A與B的公共元素有且只有一個9.2020/10/1527[解析]

(1)∵9∈A∩B，∴9∈A∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.

檢驗知：a＝5或a＝－3滿足題意．(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B，∴a＝5或a＝±3.

檢驗知：a＝5時，A∩B＝{－4，9}不合題意，∴a＝－3.2020/10/1528已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋(a＋2)x＋5＋b＝0}，且A∩B＝{}，求A∪B.2020/10/15292020/10/1530[例6]高一(3)班的學(xué)生中，參加語文課外小組的有20人，參加數(shù)學(xué)課外小組的有22人，既參加語文又參加數(shù)學(xué)小組的有10人，既未參加語文又未參加數(shù)學(xué)小組的有15人，問高一(3)班共有學(xué)生幾人？[分析]

借助Venn圖可直觀地得出有限集元素的個數(shù)．用card(A)表示集合A中所含元素的個數(shù)，則計數(shù)公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－Card(A∩B)2020/10/1531[解析]

設(shè)U＝{高一(3)班學(xué)生}，A＝{高一(3)班參加語文小組的學(xué)生}，B＝{高一(3)班參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生}，則A∩B＝{高一(3)班既參加語文小組又參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生}．有card(U)＝15＋card(A∪B)＝15＋card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝15＋20＋22－10＝47(人)．故高一(3)班有47名學(xué)生．2020/10/1532[例7]

設(shè)集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，則A∩B＝(

)A．{(0,1)，(1,2)}

B．{(0,1)}C．{(1,2)} D．{y∈R|y≥1}2020/10/1533[辨析]

以上解法不對．集合A，B應(yīng)該結(jié)合代表元素從整體意義上把握，它們是當(dāng)x取一切實數(shù)時所得的y的值的集合，在審題時必須首先弄清集合的本質(zhì)含義．[正解]

A＝{y∈R|y≥1}，B＝R，故A∩B＝{y∈R|y≥1}，正確答案為D.2020/10/15344．(09·廣東理)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的關(guān)系的韋恩(Venn)圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有(

)A．3個 B．2個

C．1個 D．無窮多個B2020/10/1535[答案]

B[解析]

M＝{x|－1≤x≤3}，N為正奇數(shù)集，∴M∩N＝{1,3}．2020/10/1536實例引入請看下例：A={班上所有參加足球隊同學(xué)}B={班上沒有參加足球隊同學(xué)}U={全班同學(xué)}那么S、A、B三個集合之間有什么關(guān)系？2020/10/1537

一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集（Universeset）．通常記作U．全集概念U2020/10/1538實例引入請看下例：A={班上所有參加足球隊同學(xué)}B={班上沒有參加足球隊同學(xué)}U={全班同學(xué)}那么U、A、B三個集合之間有什么關(guān)系？A={1,2,3,4}B={5,6,7,8}U={1,2,3,4,5,6,7,8}那么U、A、B三個集合之間有什么關(guān)系？全集1,2,5,63,47,8U1,23,42020/10/1539

對于一個集合A

，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集（complementaryset）,簡稱為集合A的補集．補集概念記作：A

即：A={x|x∈U

且x

A}2020/10/1540UAA

說明：補集是與全集同時存在的。補集的概念必須要有全集的限制．2020/10/1541Venn圖表示：

AUA補集的性質(zhì)

(1)、A∪(A)=.(2)、A∩(A)=

2020/10/1542問題：

在下面的范圍內(nèi)求方程的解集：（1）有理數(shù)范圍；（2）實數(shù)范圍．

并回答不同的范圍對問題結(jié)果有什么影響？

解：（1）在有理數(shù)范圍內(nèi)只有一個解2，即：（2）在實數(shù)范圍內(nèi)有三個解2，，，即：2020/10/1543補集例題

例．設(shè)U={x|x是小于9的正整數(shù)}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求A，B．

解：根據(jù)題意可知：

U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以：A={4，5，6，7，8}，

B={1，2，7，8}．說明：可以結(jié)合Venn圖來解決此問題．2020/10/1544補集例題

例6．設(shè)全集U={x|x是三角形}，A={x|x是銳角三角形}，B={x|x是鈍角三角形}.

求A∩B，（A∪B）

解：根據(jù)三角形的分類可知A∩B＝，A∪B＝{x|x是銳角三角形或鈍角三角形}，（A∪B）＝{x|x是直角三角形}．2020/10/1545例.設(shè)全集為R,求A,B解：A5AAA2020/10/1546例設(shè)U={x|x是小于9的正整數(shù)},A={1,2,3}B={3,4,5,6},求CUA,CUB.解:根據(jù)題意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CUA={4,5,6,7,8}CUB={1,2,7,8}.2020/10/1547例.設(shè)全集為R,求A,B解：B3BB小結(jié)說明:(1)涉及不等式,常用數(shù)軸法.注意標明實心,空心2020/10/15481.已知x∈R，集合A={-3,x2,x＋1},B={x－3,2x－1,x2＋1}如果A∩B={-3}，求A∪B。

2020/10/15492.

已知集合A={x|－2≤x≤4},B={x|x＞a}①若A∩B=φ,求實數(shù)a的取值范圍;②若A∩B=A,求實數(shù)a的取值范圍．3，A＝{x|－2≤x≤5},B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求m的取值范圍.2020/10/1550練習(xí)：1.判斷正誤（1）若U={四邊形}，A={梯形}，則CUA={平行四邊形}（2）若U是全集，且AB，則CUACUB（3）若U={1，2，3}，A=U，則CUA=錯錯如圖利用數(shù)軸

對2020/10/15512.如果全集U＝N，那么N*的補集?UN*＝

．{0}3．已知U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，則?UA＝________.{2，4，6}2020/10/15524．已知U＝R，A＝{x|x>15}，則?UA＝

．{x|x≤15}2020/10/15535．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，則?U(A∩B)＝(

)A．{2,3}

B．{1,4,5}C．{4,5} D．{1,5}[答案]

B[解析]

∵A∩B＝{2,3}，∴?U(A∩B)＝{1,4,5}．2020/10/15546．(09·浙江理)設(shè)U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，則A∩?UB＝(

)A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}[答案]

B[解析]

∵B＝{x|x>1}，∴?UB＝{x|x≤1}，∴A∩?UB＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0<x≤1}．故選B.2020/10/15552.設(shè)集合A={|2a－1|，2}，B={2，3，a2+2a－3}且CBA={5}，求實數(shù)a的值。解：易得集合A中沒有5，集合B中一定有5.∴a2+2a－3＝5.∴a＝2or－4.接下來驗證是否滿足題意要求。此步驟一般不可少！當(dāng)a＝2時，|2a－1|＝3.此時，滿足CBA＝{5}.當(dāng)a＝－4時，|2a－1|＝9.此時，顯然不滿足.綜上所述，a＝2.2020/10/1556幾點說明（1）補集是相對全集而言，離開全集談補集沒有意義；（2）若B＝?

UA，則A＝?

UB，即?

U(?UA)＝A；（3）?

UU＝，?

U＝U．

(4)?

U(A∪B)=(?

UA)∩(?

UB)

?

U(A∩B)=(?

UA)∪(?

UB)2020/10/1557[例2]設(shè)全集U≠?，已知集合M、P、S之間滿足關(guān)系：M＝?UP，P＝?US，則集合M與S之間的正確關(guān)系是(

)A．M＝?US

B．M＝SC．S

M D．M

S2020/10/1558[分析]

研究抽象集合的關(guān)系問題，可以利用集合的Venn圖去分析，在作圖的時候要設(shè)法將所有可能的情況都考慮進去，以防因思慮不全面和由局部圖形的先入為主而導(dǎo)致解題的失誤．[解析]

由圖形可得正確選項為B.2020/10/1559[例3]已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}(1)若A?B，問?RB??RA是否成立？(2)若?RA??RB，求a的取值范圍．[解析]

(1)∵A?B，如圖(1)．∴a≥3，而?RB＝{x|x≥a}，?RA＝{x|x≥3}∴?RB??RA.即?RB??RA成立．2020/10/1560(2)如圖(2)，∵?RA＝{x|x≥3}，?RB＝{x|x≥a}∵?RA??RB，∴a≤3.故所求a的取值范圍為

{a|a≤3}．

總結(jié)評述：解決這類問題一要注意數(shù)形結(jié)合，以形定數(shù)，才能相得益彰，二要注意驗證端點值，做到準確無誤，不然功虧一簣．2020/10/1561已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且?UP＝{－1}，則實數(shù)a＝________.[答案]

2[解析]

由P∪?UP＝U知，2020/10/1562已知全集U={1，2，3，4，5}，非空集

A={xU|x2－5x+q=0}，求CUA及q的值。解：集合A非空，則x2－5x+q=0一定有解.由根及韋達定理知：x1＋x2＝5，25－4q≥0，q＝x1·x2.∴x1，x2的組合可以是：1和4，2和3.即A＝{1，4}，{2，3}.∴CUA＝{2，3，5}，q＝4；or

CUA＝{1，4，5}，q＝6.2020/10/15632020/10/15642020/10/15652020/10/1566解：不等關(guān)系一般都會借助于數(shù)軸。前面幾個例題都是等式關(guān)系，接下來我們來思考不等關(guān)系。在數(shù)軸上畫出集合A的區(qū)域如下所示：2020/10/1567

[例]

已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠?，求實數(shù)m的取值范圍．[分析]

集合A是由方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的實根組成的集合，A∩B≠?說明方程①的根可能為：(1)兩負根；(2)一負根一零根；(3)一負根一正根三種情況，分別求解十分麻煩，這時我們從求解問題的反面考慮，采用“正難則反”的解題策略，先由Δ≥0求出全集