教師用書配套課件高中數(shù)學(xué)84

第四節(jié)

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【教材基礎(chǔ)回顧】1.直線與圓的位置關(guān)系(1)代數(shù)特征:?ax2+bx+c=0,Δ=0時(shí),直線與圓相切;Δ>0時(shí),直線與圓相交;Δ<0時(shí),直線與圓相離.(2)幾何特征:設(shè)圓半徑為r,圓心到直線距離為d,d<r時(shí),直線與圓相交;d>r時(shí),直線與圓相離;d=r時(shí),直線與圓相切.2.圓與圓的位置關(guān)系(1)代數(shù)特征:?ax2+bx+c=0,Δ>0時(shí),兩圓相交;Δ<0時(shí),兩圓相離或內(nèi)含;Δ=0時(shí);兩圓外切或內(nèi)切.(2)幾何特征:設(shè)兩圓半徑分別為R,r(R>r),圓心距為d,d>R+r時(shí),兩圓相離;d=R+r時(shí),兩圓外切;d=R-r時(shí),兩圓內(nèi)切;d<R-r時(shí),兩圓內(nèi)含;R-r<d<R+r時(shí),兩圓相交.

【金榜狀元筆記】1.一個(gè)關(guān)注點(diǎn):對于直線、圓的有關(guān)問題,首先考慮應(yīng)用直線、圓的有關(guān)幾何性質(zhì),可以簡化解題過程.2.圓的方程兩種設(shè)法技巧:(1)經(jīng)過直線l:Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點(diǎn)的圓的方程表示為(x2+y2+Dx+Ey+F)+λ(Ax+By+C)=0.(2)經(jīng)過圓x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓x2+y2+D2x+E2y+F2=0的兩個(gè)交點(diǎn)的圓的方程表示為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

【教材母題變式】1.圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為 (

)A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離【解析】選B.因?yàn)閮蓤A心距離d=R+r=2+3=5,所以R-r<d<R+r,所以兩圓相交.2.已知直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相切,則三條邊長分別為|a|,|b|,|c|的三角形 (

)A.是銳角三角形 B.是直角三角形C.是鈍角三角形 D.不存在【解析】選B.因?yàn)橹本€ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相切,所以=1,即a2+b2=c2,所以三條邊長分別為|a|,|b|,|c|的三角形是直角三角形.3.(2015·全國卷Ⅱ)過三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|= (

)A.2

B.8

C.4

D.10【解題指南】利用三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)求出圓的方程,令x=0,求出y的值,從而求出|MN|的值.【解析】選C.由已知得kAB=kCB==3,所以kAB·kCB=-1,所以AB⊥CB,即△ABC為直角三角形,其外接圓圓心為(1,-2),半徑r=5,所以外接圓方程為(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得y=±2-2,所以|MN|=4.4.已知圓O:x2+y2=5和點(diǎn)A(1,2),則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于________.

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A(1,2)在圓O:x2+y2=5上,所以過A且與圓O相切的直線方程為y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,所以在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和,所以所求面積為

答案:

【母題變式溯源】題號知識點(diǎn)源自教材1圓與圓的位置關(guān)系P130·練習(xí)2直線與圓相切P128·練習(xí)T23直線與圓相交求弦長P132·A組T54直線與圓的位置關(guān)系P133·B組T4考向一直線和圓的位置關(guān)系問題【典例1】(1)過原點(diǎn)的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切,若切點(diǎn)在第三象限,則該直線的方程是 (

)

(2)已知直線l:mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=2,則|CD|=________.

(3)經(jīng)過直線l:x-y-1=0與圓x2+y2-2x-4y+1=0的交點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)的圓的方程為________________.

【解析】(1)選C.如圖,

圓x2+y2+4x+3=0的圓心為(-2,0),半徑為1,由題意可知k=tan∠DOE=,所以所求直線的方程為y=x.(2)如圖,取AB的中點(diǎn)E,連接OE,過點(diǎn)C作BD的垂線,垂足為F,圓心到直線的距離為d=,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d=，得m=-,又在△CDF中,∠FCD=30°,所以CD==4.答案:4(3)設(shè)圓方程為x2+y2-2x-4y+1+λ(x-y-1)=0,因?yàn)檫^點(diǎn)(4,0),代入得λ=-3,所以圓的方程為x2+y2-5x-y+4=0.答案:x2+y2-5x-y+4=0【一題多變】(1)改為“過原點(diǎn)的直線與圓x2+y2+4x+3=0有公共點(diǎn),則該直線的斜率的取值范圍是____________”.

【解析】畫出圖形,可知當(dāng)直線的斜率為±時(shí),直線與圓相切,所以直線的斜率為.答案:

【技法點(diǎn)撥】1.求直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何法:用圓的幾何性質(zhì)求解,運(yùn)用弦心距、半徑及弦的一半構(gòu)成的直角三角形,計(jì)算弦長|AB|=(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程得方程組,消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式求解,其公式為|AB|=|x1-x2|.提醒:涉及圓的弦長問題時(shí),多用幾何法.2.圓的切線方程的求法(當(dāng)切線斜率存在時(shí))(1)幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程,然后令判別式Δ=0進(jìn)而求得k.提醒:若點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=r2上,則過M點(diǎn)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.【拓展】求過已知直線與圓的交點(diǎn)的圓的方程時(shí)或過兩圓交點(diǎn)的圓的方程,可以應(yīng)用圓系解題設(shè)法見狀元筆記.【同源異考·金榜原創(chuàng)】1.已知直線L:x+y-9=0和圓M:2x2+2y2-8x-8y-1=0,點(diǎn)A在直線L上,點(diǎn)B,C都在圓M上,在△ABC中,∠BAC=45°,AB過圓心M,則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的范圍為__________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號37680263

【解析】圓M:2x2+2y2-8x-8y-1=0的圓心為M(2,2),半徑為.設(shè)A(a,9-a),因?yàn)锳B過圓心M,則圓心M到直線AC的距離d=|AM|sin45°,由直線AC與圓M有公共點(diǎn),得d≤.所以解得3≤a≤6.答案:[3,6]2.設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則圓C的面積為________.

【解析】圓C:x2+y2-2ay-2=0的圓心坐標(biāo)為(0,a),半徑為,因?yàn)橹本€y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,所以圓心(0,a)到直線y=x+2a的距離d=,即

解得a2=2,故圓的半徑r=2.故圓的面積S=4π.答案:4π考向二圓與圓的位置關(guān)系【典例2】(1)若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0相切,則m= (

)A.-11 B.9C.19 D.9或-11(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是________.

【解析】(1)選D.依題意可得C1(0,0),C2(3,4),則|C1C2|==5.又r1=1,r2=,25-m>0,當(dāng)兩圓外切時(shí),r1+r2=+1=5,解得m=9.當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),|r2-r1|=5,即|-1|=5,得=6,解得m=-11.(2)因?yàn)閳AC的方程可化為:(x-4)2+y2=1,所以圓C的圓心為(4,0),半徑為1.由題意,直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)A(x0,kx0-2),以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),所以存在x0∈R,使得|AC|≤1+1成立,即|AC|min≤2.因?yàn)閨AC|min即為點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離

所以≤2,解得0≤k≤.所以k的最大值是.答案:

【答題模板微課】本例(1)的求解過程可模板化為:建模板:選D.兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)分別為C1(0,0),C2(3,4),半徑為r1=1,r2=,………………求得圓心與半徑則|C1C2|==5, ………………求出圓心距當(dāng)兩圓外切時(shí),r1+r2=+1=5,解得m=9,當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),|r1-r2|=5,解得m=-11.………………根據(jù)位置關(guān)系,列出方程求參數(shù)套模板:已知兩個(gè)圓C1:x2+y2+2x+4y+4=0,C2:x2+y2-4x-2y+1=0,則兩個(gè)圓的位置關(guān)系為 (

)A.相交 B.相切 C.外離 D.內(nèi)含【解析】選C.兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)分別為C1(-1,-2),C2(2,1),半徑為r1=1,r2=2,…………求得圓心與半徑則|C1C2|=…………求出圓心距因?yàn)閞1+r2=3<3,所以兩個(gè)圓外離.…………判斷位置關(guān)系【技法點(diǎn)撥】1.判斷兩圓位置關(guān)系常選幾何法用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關(guān)系,一般不用代數(shù)法.2.兩圓公共弦長的求法由兩個(gè)圓的方程相減,得出公共弦所在直線的方程,在其中一圓中,由弦心距d,半弦長,半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形,利用勾股定理求解.【同源異考·金榜原創(chuàng)】1.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是 (

)世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號37680264A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【解題指南】根據(jù)弦長求出圓M的圓心與半徑,再根據(jù)圓心距與半徑的和差關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系.【解析】選B.因?yàn)閳AM:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2,所以

解得a=2,所以圓M的圓心為(0,2),半徑為2,所以圓心距|MN|=

因?yàn)?<<3,所以兩個(gè)圓相交.2.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的長為2,則a=______.

【解析】由已知得x2+y2+2ay-6=0的半徑為,所以如圖:6+a2-(-a-1)2=()2,解得a=1.答案:1考向三直線、圓的綜合問題?高頻考點(diǎn)【典例3】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4).世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號37680265(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且|BC|=|OA|,求直線l的方程.(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)N(6,n),因?yàn)榕cx軸相切,則圓N為(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,又圓N與圓M外切,圓M:(x-6)2+(y-7)2=25,則|7-n|=|n|+5,解得n=1,所以圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-1)2=1.(2)由題意得|OA|=2,kOA=2,設(shè)l:y=2x+b,則圓心M到直線l的距離d=則

即

?b=5或b=-15,所以l:y=2x+5或y=2x-15.(3)因?yàn)?/p>

根據(jù)||≤10,即≤10,所以t∈[2-2,2+2],所以t的取值范圍為[2-2,2+2].對于任意t∈[2-2,2+2],欲使此時(shí)||≤10,只需要作直線TA的平行線,使圓心到直線的距離為

必然與圓交于P,Q兩點(diǎn),此時(shí)因此對于任意t∈[2-2,2+2],均滿足題意,綜上所述,所求的實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2-2,2+2].【技法點(diǎn)撥】(1)依位置關(guān)系定直線、圓的方程,關(guān)鍵是利用位置關(guān)系中的幾何量建立與圓心、半徑,及直線的斜率、定點(diǎn)等有關(guān)的等量關(guān)系.(2)對稱問題:圓為中心對稱圖形,充分利用對稱性結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式,光的反射理論建立關(guān)系式.(3)范圍最值問題:利用位置關(guān)系建立不等式求范圍,構(gòu)造函數(shù)關(guān)系求最值.【同源異考·金榜原創(chuàng)】命題點(diǎn)1由直線、圓的位置關(guān)系確定直線、圓的方程1.已知圓C過點(diǎn)(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l:y=x-1被圓C所截得的弦長為2,則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為__________.

世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號37680266【解析】由題意,設(shè)所求的直線方程為x+y+m=0,設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0),則由題意知:=(a-1)2,解得a=3或-1,又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上,所以a=3,故圓心坐標(biāo)為(3,0),因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上,所以有3+0+m=0,即m=-3,所以所求的直線方程為x+y-3=0.答案:x+y-3=0命題點(diǎn)2與直線、圓的位置關(guān)系有關(guān)的對稱問題2.自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線L射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線L所在直線的方程. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號37680267【解析】已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它關(guān)于x軸的對稱圓的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.設(shè)光線L所在直線的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由題設(shè)知對稱圓的圓心C′到這條直線的距離等于1,即d==1.整理得12k2+25k+12=0,解得k=-,或k=-.所以所求的直線方程是y-3=-(x+3),或y-3=-(x+3),所以3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.命題點(diǎn)3與直線、圓的位置關(guān)系有關(guān)的最值、范圍、弦長問題3.設(shè)m,n∈R,若直線l:mx+ny-1=0與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B,且l與圓x2