數(shù)學(xué)53樣條插值課件

5.3樣條插值

一、樣條函數(shù)

二、三次樣條插值問題三、B樣條四、以B樣條為基底的三次樣條插值函數(shù)（自學(xué)）（自學(xué)）復(fù)習(xí)：分段多項式插值

1、分段線性插值2、分段二次插值分段多項式插值（1）分段線性插值的定義1、分段線性插值（2）分段線性插值的誤差估計2、分段二次插值（1）定義（2）分段二次插值的誤差估計分段多項式插值設(shè)y=f（x）為定義在[a,b]上的實值函數(shù)，已知f（x）在該區(qū)間中n+1個互不相同的點1、分段線性插值（1）分段線性插值的定義.......xyo分段多項式插值1、分段線性插值分段多項式插值設(shè)y=f（x）為定義在[a,b]上的實值函數(shù)，已知f（x）在該區(qū)間中n+1個互不相同的點在子區(qū)間作線性插值1、分段線性插值（1）分段線性插值的定義（2）分段線性插值的誤差估計定理:是[a,b]上以為節(jié)點的分段線性插值函數(shù),則對任意有(1)(2)(1)(2)分段多項式插值（1）分段線性插值的定義1、分段線性插值（2）分段線性插值的誤差估計2、分段二次插值（1）定義（2）分段二次插值的誤差估計2、分段二次插值（1）定義在子區(qū)間作二次插值n為偶數(shù)（2）分段二次插值的誤差估計分段多項式插值（1）分段線性插值的定義1、分段線性插值（2）分段線性插值的誤差估計2、分段二次插值（1）定義（2）分段二次插值的誤差估計分段插值算法簡單，且能保證收斂性，但其光滑性差。不適用于光滑性要求高的外形設(shè)計。為了提高其光滑性，人們提出了三次樣條插值。5.3樣條插值

一、樣條函數(shù)

二、三次樣條插值問題三、B樣條四、以B樣條為基底的三次樣條插值函數(shù)（自學(xué)）（自學(xué)）splinefunction一類分段（片）光滑、并且在各段交接處也有一定光滑性的函數(shù)。簡稱樣條。一、樣條函數(shù)（splinefunction）

樣條一詞來源于工程繪圖人員為了將一些指定點連接成一條光順曲線所使用的工具，即富有彈性的細(xì)木條或薄鋼條。由這樣的樣條形成的曲線在連接點處具有連續(xù)的坡度與曲率。5.3樣條插值

樣條理論已成為函數(shù)逼近的有力工具。它的應(yīng)用范圍也在不斷擴(kuò)大，不僅在數(shù)據(jù)處理、數(shù)值微分、數(shù)值積分、微分方程和積分方程數(shù)值解等數(shù)學(xué)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，而且與最優(yōu)控制、變分問題、統(tǒng)計學(xué)、計算幾何與泛函分析等學(xué)科均有密切的聯(lián)系。樣條函數(shù)的研究始于20世紀(jì)中葉，到了60年代它與計算機輔助設(shè)計相結(jié)合，在外形設(shè)計方面得到成功的應(yīng)用。一、樣條函數(shù)（splinefunction）

5.3樣條插值

在數(shù)值分析中，樣條是一種特殊的函數(shù)，由多項式分段定義。樣條的英語單詞spline來源于可變形的樣條工具，那是一種在造船和工程制圖時用來畫出光滑形狀的工具。在中國大陸，早期曾經(jīng)被稱做“齒函數(shù)”。后來因為工程學(xué)術(shù)語中“放樣”一詞而得名。一、樣條函數(shù)（splinefunction）

在插值問題中，樣條插值通常比多項式插值好用。用低階的樣條插值能產(chǎn)生和高階的多項式插值類似的效果，并且可以避免被稱為龍格現(xiàn)象的數(shù)值不穩(wěn)定的出現(xiàn)。并且低階的樣條插值還具有“保凸”的重要性質(zhì)。在計算機科學(xué)的計算機輔助設(shè)計和計算機圖形學(xué)中，樣條通常是指分段定義的多項式參數(shù)曲線。由于樣條構(gòu)造簡單，使用方便，擬合準(zhǔn)確，并能近似曲線擬合和交互式曲線設(shè)計中復(fù)雜的形狀，樣條是這些領(lǐng)域中曲線的常用表示方法。一、樣條函數(shù)（splinefunction）

一、樣條函數(shù)

1、k次半截單項式

2、k次樣條函數(shù)3、線性無關(guān)函數(shù)系5、k次樣條函數(shù)與k次多項式的區(qū)別4、K次樣條函數(shù)的表示:5.3樣條插值

一、樣條函數(shù)

1、k次半截單項式

定義：稱為k次半截單項式，并規(guī)定

半截單項式

的性質(zhì)一、樣條函數(shù)

1、k次半截單項式

定義：稱為k次半截單項式，并規(guī)定

2、k次樣條函數(shù)定義中的[a,b]可以看作是(分段多項式的光滑連接)2、k次樣條函數(shù)(分段多項式的光滑連接)思考：2、k次半截單項式

是否為樣條函數(shù)？1、k次多項式是否為樣條函數(shù)？是否為樣條函數(shù)？3、思考：2、k次半截單項式

是否為樣條函數(shù)？1、k次多項式是否為樣條函數(shù)？約束條件有哪些?的自由度為多少?是否為中的基?待定參數(shù):n(k+1)個確定一個k次樣條函數(shù)有幾個待定參數(shù)?待定參數(shù):n(k+1)個約束條件:的自由度:是否為中的基?3、線性無關(guān)函數(shù)系3、線性無關(guān)函數(shù)系的一組基:5、k次樣條函數(shù)與k次多項式的區(qū)別4、K次樣條函數(shù)的表示:課堂練習(xí)：寫出4個節(jié)點的3次樣條函數(shù)。二、三次樣條插值問題3、三次樣條插值問題的解存在且唯一1、定義2、三種邊界條件4、誤差估計5、如何構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)二、三次樣條插值問題(5.30)二、三次樣條插值問題當(dāng)k=1時為分段線性插值.確定一個三次樣條插值函數(shù)s(x)需要幾個條件?n+3個現(xiàn)在有幾個條件?還需幾個條件?n+1個2個(5.30)被插函數(shù)f(x)是以為周期的周期函數(shù).

S(x)稱為周期樣條函數(shù).第一種和第二種還可以互相搭配產(chǎn)生新的邊界條件.壓緊樣條自然樣條由已知確定周期端點樣條任玉杰436頁例1已知f(x)的三個點處的值為在區(qū)間[-1,1]上,求f(x)在自然邊界條件下的三次樣條插值多項式.利用待定系數(shù)法求解令解方程求系數(shù)3、三次樣條插值問題的解存在且唯一(定理5.4)。設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù),記稱為函數(shù)f(x)的--范數(shù).定義：f(x)的--范數(shù).5、如何構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)(1)待定系數(shù)法:解方程組求(2)三彎矩法:(3)B樣條法:(任意分劃)(等間距分劃)解法一：設(shè)令解方程求系數(shù)待定系數(shù)法解法二：三彎矩法令（1）以為結(jié)點作線性插值：（5.45）其中（2）連續(xù)積分兩次：（5.46）解法二：三彎矩法令（5.45）（5.46）(3)利用插值條件確定（5.47）（5.47）(4)利用在內(nèi)結(jié)點連續(xù)的條件求.(4)利用在內(nèi)結(jié)點連續(xù)的條件求.(4)利用在內(nèi)結(jié)點連續(xù)的條件求.令得(4)利用在內(nèi)結(jié)點連續(xù)的條件求.(4)利用在內(nèi)結(jié)點連續(xù)的條件求.(5.49)解法二：三彎矩法（5.45）（5.46）(3)利用插值條件確定（5.47）（1）（2）(4)利用在內(nèi)結(jié)點連續(xù)的條件求.(5.49)……………..(5)由邊界條件再找兩個方程：第一種邊界條件

……………..第一種邊界條件：(5)由邊界條件再找兩個方程：（5.52）系數(shù)矩陣是主對角線嚴(yán)格占優(yōu)陣,故有唯一解.……………..第二種邊界條件:第二種邊界條件:第二種邊界條件:方程組仍為(5.52)式的形式第三種邊界條件：----------第三種邊界條件：（5.54）7、三彎矩法的計算步驟：P176例5用三彎矩法解例4。P177三、B樣條（基本樣條函數(shù)）（1）定義（2）B樣條的性質(zhì)（3）步長為h，結(jié)點等距的B樣條在節(jié)點等間距的情況下，根據(jù)B樣條函數(shù)構(gòu)造另一種基函數(shù)，用待定系數(shù)法求插值函數(shù)S（x）本段目的：三、B樣條（基本樣條函數(shù)）(1)定義由式表示的函數(shù)稱為步長為1，內(nèi)結(jié)點等距的B樣條。內(nèi)結(jié)點：也稱為k+1階標(biāo)準(zhǔn)B樣條函數(shù)三、B樣條例當(dāng)k=0,1,2,3時的B樣條三、B樣條01/211/20三、B樣條例當(dāng)k=0,1,2,3時的B樣條..。。0±0.5±1±1.5±2111/200023/41/21/80032/323/481/61/480kx的數(shù)值表0±0.5±1±1.5±21002000300kx的數(shù)值表0±0.5±1±1.5±210002-2103-2-1/211/20kx的數(shù)值表（2）B樣條的性質(zhì)遞推關(guān)系b.奇偶性:c、正性與局部支撐性d、求導(dǎo)與求積公式e、歸一性（2）B樣條的性質(zhì)a、遞推關(guān)系b、奇偶性:c、正性與局部支撐性(3)步長為h，結(jié)點等距的B樣條設(shè)[a,b]的分劃為四、以B樣條為基底的三次樣條插值函數(shù)（均勻分劃的三次樣條插值函數(shù)）1、第一種邊界條件的三次樣條插值問題2、第二種邊界條件的三次樣條插值問題3、第三種邊界條件的三次樣條插值問題四、以B樣條為基底的三次樣條插值函數(shù)（均勻分劃的三次樣條插值函數(shù)）設(shè)[a,b]的分劃為 則對應(yīng)分劃的三次樣條插值函數(shù)可表示為:1、第一種邊界條件的三次樣條插值問題1、第一種邊界條件的三次樣條插值問題1、第一種邊界條件的三次樣條插值問題1、第一種邊界條件的三次樣條插值問題1、第一種邊界條件的三次樣條插值問題1、第一種邊界條件的三次樣條插值問題(5.35)1、第一種邊界條件的三次樣條插值問題(5.35)P164(5.35)(5.36)(5.36)寫出方程組的系數(shù)矩陣不是三對角陣，使其系數(shù)矩陣變?yōu)槿龑顷?5.36)矩陣形式:矩陣形式:2、第二種邊界條件的三次樣條插值問題（5.41）3、第三種邊界條件的三次樣條插值問題(5.43)(5.42)P171=0.920570=14.7836=0.920570=14.7836例.給定函數(shù)將區(qū)間N等分,針對第二種邊界條件,試用三次樣條函數(shù)作插值.N=10,20,40解:插值條件:小結(jié)5.3樣條插值

一、樣條函數(shù)

二、三次樣條插值問題三、B樣條四、以B樣條為基底的三次樣條插值函數(shù)理解樣條函數(shù)的概念，了解樣條函數(shù)的優(yōu)點；重點掌握三彎矩法、等距節(jié)點的B樣條法的思想及其運用；課本作業(yè):P21917,18,19,20思考：設(shè)[a,b]的分劃為 找二次插值函數(shù)使：邊界條件：證明問題的解存在唯一三、B樣條..。。復(fù)習(xí):1、k次半截單項式

2、k次樣條函數(shù)(分段k次多項式的光滑連接)第三節(jié)樣條插值

并且線性無關(guān)，因此構(gòu)成了的一組基。3、樣條函數(shù)的表示4、樣條插值問題固支條件5、如何構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)(1)待定系數(shù)法:解方程組求(2)三彎矩法。(3)B樣條法.(任意分劃)(等間距分劃)解法一：設(shè)令解方程求系數(shù)待定系數(shù)法解法二：三彎矩法令（1）以為結(jié)點作線性插值：（5.45）其中（2）連續(xù)積分兩次：（5.46）解法二：三彎矩法令（5.45）（5.46）(3)利用插值條件確定（5.47）（1）（2）(4)利用在內(nèi)結(jié)點連續(xù)的條件求.(4)利用在內(nèi)結(jié)點連續(xù)的條件求.令得(4)利用在內(nèi)結(jié)點連續(xù)的條件求.(5.49)解法二：三彎矩法（5.45）（5.46）(3)利用插值條件確定（5.47）（1）（2）(4)利用在內(nèi)結(jié)點連續(xù)的條件求