數(shù)學(xué)建模差分方程

數(shù)學(xué)建模差分方程第1頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月在本節(jié)我們將介紹差分方程的求解方法以及在實(shí)際中的應(yīng)用。差分方程是處理離散性問題的一種方法，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，它和微分方程是相輔相成的，對(duì)連續(xù)性數(shù)據(jù)的處理也可以采用離散的方法，這時(shí)也可以用差分方程。第2頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月１．差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性設(shè)有未知序列，稱為k階差分方程，若有，滿足：則稱是差分方程的解包含k個(gè)任意常數(shù)的解稱為的通解為已知條件時(shí)，稱其為的初始條件通解中的任意常數(shù)都有初始條件確定的解稱為的特解第3頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月形如：稱為k階線形差分方程，其中為已知的系數(shù)，且若差分方程中的，則稱差分方程為k階齊次線性差分方程，否則，稱為k階非齊次線性差分方程若有常數(shù)a是差分方程的解，即則稱a是差分方程的平衡點(diǎn)第4頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月若已知，則形如的差分方程的解可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，下面給出一些理論上容易求解的特殊差分方程的解及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。一階常系數(shù)線形差分方程：的通解為：第5頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二階常系數(shù)線形差分方程：當(dāng)時(shí)，它有一特解，當(dāng)時(shí)，且時(shí)，它有一特解，不管哪種情形，是方程的平衡點(diǎn)，設(shè)方程的特征方程第6頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月其解為：（1）當(dāng)是兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)，方程的通解為：（2）當(dāng)是兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，方程的通解為：（3）當(dāng)是一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，方程的通解為：易知，當(dāng)且僅當(dāng)特征方程的任意特征根時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的第7頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二階方程的上述結(jié)果可以推廣到k階線形方程，即k階線性方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件是特征方程的根均滿足：（即均在復(fù)平面上的單位圓內(nèi)）差分方程的求解方法和微分方程相似，為什么會(huì)這樣呢？？？第8頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月下面僅簡(jiǎn)單介紹一階非線性差分方程：的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性其平衡點(diǎn)由代數(shù)方程解出，為分析其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，將方程的右端在點(diǎn)作Taylor展開只取一次項(xiàng)近似為：（7）是（6）的近似線性方程，也是的平衡點(diǎn)，關(guān)于線性方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件上面已給出。第9頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月而當(dāng)時(shí)，方程與的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同，于是得到：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)于非線性方程，是穩(wěn)定的。（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于非線性方程，是不穩(wěn)定的。第10頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月1市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)3差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型4按年齡分組的種群增長(zhǎng)差分方程建模舉例第11頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月1市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價(jià)格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量?jī)r(jià)格上漲供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩第12頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0)~平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

第13頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月xy0fgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型第14頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致第15頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月~商品數(shù)量減少1單位,價(jià)格上漲幅度~價(jià)格上漲1單位,(下時(shí)段)供應(yīng)的增量考察,的含義~消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度~生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時(shí)段商品數(shù)量；yk~第k時(shí)段商品價(jià)格經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋第16頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價(jià)格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直第17頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月模型的推廣生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件第18頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了模型的推廣第19頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2減肥計(jì)劃——節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背景多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分析體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起飲食（吸收熱量）引起體重增加代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.第20頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),相當(dāng)于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。第21頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。第22頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收20000千卡w=100千克不變第23頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第一階段:w(k)每周減1千克,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1千克，第10周末體重90千克吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃第24頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃基本模型第25頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75千克第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75千克。第26頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月運(yùn)動(dòng)t=24(每周跳舞8小時(shí)或自行車10小時(shí)),14周即可。2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量(千卡):跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間(小時(shí))基本模型第27頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月3）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變不運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(內(nèi)容同前)第28頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月3差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型連續(xù)形式的阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)t,xN,x=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與r大小無關(guān))離散形式x(t)~某種群t時(shí)刻的數(shù)量(人口)yk~某種群第k代的數(shù)量(人口)若yk=N,則yk+1,yk+2,…=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k,

ykN？y*=N是平衡點(diǎn)第29頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階(非線性)差分方程(1)的平衡點(diǎn)y*=N討論x*的穩(wěn)定性變量代換(2)的平衡點(diǎn)第30頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)的平衡點(diǎn)x*——代數(shù)方程x=f(x)的根穩(wěn)定性判斷(1)的近似線性方程x*也是(2)的平衡點(diǎn)x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)一階非線性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性第31頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月01的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定性x*穩(wěn)定x*

不穩(wěn)定另一平衡點(diǎn)為x=0不穩(wěn)定第32頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月01/2101的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性第33頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月初值x0=0.2數(shù)值計(jì)算結(jié)果b<3,xb=3.3,x兩個(gè)極限點(diǎn)b=3.45,x4個(gè)極限點(diǎn)b=3.55,x8個(gè)極限點(diǎn)0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55第34頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月倍周期收斂——x*不穩(wěn)定情況的進(jìn)一步討論單周期不收斂2倍周期收斂(*)的平衡點(diǎn)x*不穩(wěn)定，研究x1*,x2*的穩(wěn)定性第35頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月倍周期收斂的穩(wěn)定性x1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0第36頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月倍周期收斂的進(jìn)一步討論出現(xiàn)4個(gè)收斂子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性需研究時(shí)有4個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)2n倍周期收斂,n=1,2,…bn~2n倍周期收斂的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,…n,bn3.57x1*,x2*(及x*)不穩(wěn)定b>3.57,不存在任何收斂子序列混沌現(xiàn)象4倍周期收斂第37頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b第38頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月4按年齡分組的種群增長(zhǎng)