數(shù)理邏輯歸結法原理

數(shù)理邏輯歸結法原理第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月主要內容機械證明簡介命題邏輯歸結法謂詞邏輯歸結法第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月自動推理早期的工作主要集中在機器定理證明。機械定理證明的中心問題是尋找判定公式是否是有效的通用程序。對命題邏輯公式，由于解釋的個數(shù)是有限的，總可以建立一個通用判定程序，使得在有限時間內判定出一個公式是有效的或是無效的。對一階邏輯公式，其解釋的個數(shù)通常是任意多個，丘奇（A.Church）和圖靈（A.M.Turing）在1936年證明了不存在判定公式是否有效的通用程序。如果一階邏輯公式是有效的，則存在通用程序可以驗證它是有效的對于無效的公式這種通用程序一般不能終止。第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月1930年希爾伯特（Herbrand）為定理證明建立了一種重要方法，他的方法奠定了機械定理證明的基礎。開創(chuàng)性的工作是赫伯特·西蒙（H.A.Simon）和艾倫·紐威爾（A.Newel）的LogicTheorist。機械定理證明的主要突破是1965年由魯賓遜（J.A.Robinson）做出的，他建立了所謂歸結原理，使機械定理證明達到了應用階段。歸結法推理規(guī)則簡單,而且在邏輯上是完備的,因而成為邏輯式程序設計語言Prolog的計算模型。第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月主要內容機械證明簡介命題邏輯歸結法謂詞邏輯歸結法第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月基本原理Q1,…,Qn|=R，當且僅當Q1…QnR不可滿足證明Q1,…,Qn|=R(1).Q1…QnR化為合取范式；(2).構建Ω子句集合，Ω為Q1…QnR合取范式的所有簡單析取范式組成集合；(3).若Ω不可滿足，則Q1,…,Qn|=R。第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月機械式方法若證明Q1,…,Qn|=R，只要證明Q1…QnR不可滿足。機械式證明：公式Q1…QnR的合取范式；合取范式的所有簡單析取范式，即Ω；證明Ω不可滿足則有Q1,…,Qn|=R。機械式地證明Ω不可滿足是關鍵問題第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月子句與空子句定義：原子公式及其否定稱為文字(literals)；文字的簡單析取范式稱為子句，不包含文字的子句稱為空子句，記為□。例如p、q、r和s都是文字簡單析取式pqrs是子句字p、q、r和s因為pqrs不是簡單析取范式，所以pqrs不是子句。第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：設Q是簡單析取范式，q是Q的文字，在Q中去掉文字q，記為Q-q。例如，Q是子句pqrs，Q-q是簡單析取范式prs。第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月歸結子句定義：設Q1,Q2是子句，q1和q2是相反文字，并且在子句Q1和Q2中出現(xiàn)，稱子句(Q1-q1)(Q2-q2)為Q1和Q2的歸結子句。例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pqws，q和q是相反文字，子句prws是Q1和Q2的歸結子句。例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字，子句□是Q1和Q2的歸結子句。例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1和Q2中沒有相反文字出現(xiàn)，子句Q1Q2，即pqrws不是Q1和Q2的歸結子句。第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：如果子句Q是Q1,Q2的歸結子句，則Q1,Q2|=Q證明：設Q1=pq1…qn，Q2=pr1…rm。

賦值函數(shù)σ(Q1)=1，即σ(pq1…qn)=1，σ(p)σ(q1…qn)=1.賦值函數(shù)σ(Q2)=1，即σ(pr1…rm)=1，σ(p)σ(r1…rm)=1.有σ(q1…qnr1…rm)=1，即σ(Q)=1。證畢第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月反駁定義：設Ω是子句集合，如果子句序列Q1,…,Qn滿足如下條件，則稱子句序列Q1,…,Qn為子句集合Ω的一個反駁。(1).對于每個1≤k<n，QkΩQk是Qi和Qj的歸結子句，i<k，j<k。(2).Qn是□。第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：(QR)Q├Q皮爾斯律證明：因為((QR)Q)Q的合取范式Q(RQ)Q，所以子句集合Ω={Q,RQ,Q}Q1=QQ1ΩQ2=QQ2ΩQ3=□Q3=(Q1-Q)(Q2-Q)第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：子句集合Ω是不可滿足的當且僅當存在Ω的反駁。證明：設為Q1,…,Qn是反駁。(1).若QkΩ，Ω|=Qk.(2).若Ω|=Qi，Ω|=Qj并且Qk是Qi,Qj的歸結子句，則Qi,Qj|=Qk。因此，Ω|=Qk。(3).因為Qn=□，所以有Qn-1和Qk是相反文字，不妨設是q和q。因此，Ω|=q，Ω|=q。Ω|=qq，Ω不可滿足。第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月又證：設子句集合Ω是不可滿足的。(1).不妨設子句集合Ω不含永真式。因為從Ω中去掉永真式不改變Ω的不可滿足性。(2).若Ω含有相反文字，不妨設是q，則Q1=qQ1ΩQ2=qQ2ΩQ3=□因此，Q1,Q2,Q3是反駁.第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月(3).根據(jù)命題邏輯緊致性定理，若子句集合Ω不可滿足，則有有窮子句集合Ω0，Ω0Ω，使得Ω0是不可滿足的。第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月若有窮子句集合Ω0是不可滿足的，則Ω0中的子句必出現(xiàn)相反文字。假設有窮子句集合Ω0是不可滿足的，且Ω0中的子句不出現(xiàn)相反文字，那么，對于Ω0中子句的每個文字qk，有賦值函數(shù)σ使得σ(qk)=1，因此，σ(Ω0)=1，Ω0是可滿足的，這樣與Ω0是不可滿足的相矛盾。第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月設Ω0有n種相反文字，有相反文字q和q，Ω0中的子句分為三類，一類是有文字q的子句，另一類是有文字q的子句，再一類是沒有文字q和q的子句第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月Ωq={qPk|qPkΩ}，Ωq={qQk|qQkΩ}，ΩC=Ω-Ωq-Ωq|Ωq|=m1，|Ωq|=m2，|ΩC|=m3。ΩR={Pi

Qj|qPiΩq,qQjΩq}Ω1=ΩCΩRΩ1有n-1個命題變元。若有rΩ1并且rΩ1，則存在反駁。第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月若Ωq

Ωq

ΩC

不可滿足，則Ω1=ΩCΩR不可滿足。若Ω1是可滿足的，則有賦值函數(shù)σ，使得σ(Ω1)=1。如果σ(Pi)=1，i=1,...,m1，那么有σ'(q)=0，而其他命題變元r有σ'(r)=σ(r)。σ'(qPi)=1，其中，qPiΩqσ'(qQj)=1，其中，qQjΩqσ'(Rk)=1，其中，RkΩC因此，若Ω1是可滿足的，則有σ'，使得σ'(Ω0)=1，這樣就產(chǎn)生了矛盾，所以，Ω1是不可滿足的。第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月如果σ(Pi)=0，i≤m1，則有PiQjΩ1，j=1,…,m2。因為σ(Ω1)=1，所以有σ(PiQj)=1，即σ(Qj)=1，j=1,…,m2。設σ'(q)=1，而其他命題變元r有σ'(r)=σ(r)。σ'(qPi)=1，其中，qPiΩqσ'(qQj)=1，其中，qQiΩqσ'(Rk)=1，其中，RkΩC若Ω1是可滿足的，則有σ'，使得σ'(Ω0)=1，這樣就產(chǎn)生了矛盾，所以，Ω1是不可滿足的。第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，Ω1有n-1個命題變元并且Ω1是不可滿足的。對于所有的n進行處理獲得Ωn，必有反駁，否則必有Ωn可滿足，進而有Ω0可滿足。證畢第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：P(QR)├(PQ)(PR)分配律(P(QR))((PQ)(PR))(P(QR))((PQ)(PR))(PQ)(PR))(P(PR))(Q(PR))(PQ)(PR)P(P

R)(QP)(QR)因為(P(QR))((PQ)(PR))的合取范式(PQ)(PR)P(P

R)(QP)(QR)所以子句集合 Ω={P,PQ,PQ,PR,PR,QR}。第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月Q1=PQQ1ΩQ2=PQQ2ΩQ3=□Q3=(Q1-P-Q)(Q2-P-Q)P(QR)├(PQ)(PR)分配律第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例題：PQR├(PR)(QR)證明：(PQR)((PR)(QR))((PQ)R)(PRQR)(PQR)PQR因為(PQR)((PR)(QR))的合取范式(PQR)PQR所以子句集合 Ω={P,Q,R,PQR}第25頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月Q1=PQRQ1ΩQ2=PQ2ΩQ3=QR