有限元試題及答案1

一、如圖所示的1D桿結(jié)構(gòu)，試用取微單元體的方法建立起全部基本方程和邊界條件，并求出它的所有解答。注意它的彈性模量為E、橫截面積A解：如圖1.1所示的1D桿結(jié)構(gòu)，其基本變量為位移應(yīng)變應(yīng)力取微單元體，其應(yīng)力狀態(tài)如圖1.2，由泰勒展開式知略去2階以上的商階微量知由力的平衡知：即力的平衡方程為：①位移由圖1.3知（泰勒展開，略去商階微量）即幾何方程為：②根據(jù)虎克定律知③由①、②、③知該1D桿的基本方程為在節(jié)點1時位移：在節(jié)點2時應(yīng)力：即其邊界條件為onon由①式知④④代入③解得：⑤、為待定系數(shù)結(jié)合邊界條件知解知得，∴二、設(shè)平面問題中的應(yīng)力問題其中（1、2、………9）為常數(shù)，令所有體積力為零，對下面特殊情況說明平衡是否滿足？為什么？或者之間有什么關(guān)系才滿足平衡。除，，外，其余為零。所有均為非零。解：對于此平面問題，由力的平衡方程（體積力為零）：可以得出當(dāng)除，，外，其余為零時，，平衡方程成立，故此情況下平衡。當(dāng)時，、并不一定為零，此情況下平衡方程并不一定成立，故此情況下不滿足平衡，只有在時，才滿足平衡。當(dāng)時，平衡方程成立，故此情況下滿足平衡。所有均為非零時，只有當(dāng)，時，平衡方程才成立，才能夠滿足平衡，否則不平衡。三、下列應(yīng)力分布是否滿足平衡條件（體積力為零），（2D平面應(yīng)力問題），描述就如圖所示平面結(jié)構(gòu)，該應(yīng)力函數(shù)所表示時得邊界應(yīng)力。解：根據(jù)力得平衡方程（體積力為零時）知上兩個等式成立，即平衡方程成立，即此情況滿足平衡條件。其邊界應(yīng)力，，，作圖如下：故邊界下應(yīng)力如圖2.2所示：其邊界得剪應(yīng)力如圖2.3所示：四、如圖所示已知，，（平面應(yīng)力問題）求：（1）斜面上應(yīng)力，的表達式（2）最大主應(yīng)力，最小主應(yīng)力及此時斜面的方向余弦。解：（1）由力的平衡知（設(shè)厚度為t）..........①..........②又......③由①③知........④由②知.......⑤④+⑤知整理得........⑥④-⑤整理得：.......⑦（2）由⑥知：∴.........⑧⑧式中，為的函數(shù)，對⑧式兩邊進行求導(dǎo)，并令可得：........⑨對⑦式進行化簡可得........⑩⑨代入⑩中可得，即在所在斜面上確定得正應(yīng)力即最大或最小主應(yīng)力。由⑧化簡：.........（11）由⑨知兩邊平面化簡可得.........（12）由⑨還知：........（13）（12）、（13）代入（11）可得時的：∴最大主應(yīng)力最小主應(yīng)力由⑨式知∴∴五、分別就下列情形，寫出所有基本方程（分量形式，指標(biāo)形式），各基本變量（分量形式、指標(biāo)形式及對應(yīng)關(guān)系）。（1）1D情形（2）2D情形（3）3D情形解：1D情形a、基本變量分量形式：；；指標(biāo)形式：；；（）對應(yīng)關(guān)系：；；b、基本方程分量形式：（體積力）指標(biāo)形式（）（2）2D情形a、基本變量分量形式、、、、指標(biāo)形式（1，2）（＝1，2）（＝1，2）對應(yīng)關(guān)系，，，b、基本方程分量形式幾何變形方程材料物理方程或指標(biāo)形式：力平衡方程幾何變形方程材料物理方程或（3）3D情形a、基本變量分量形式指標(biāo)形式對應(yīng)關(guān)系：，，，，，，，，，，，b、基本方程分量形式力平衡方程幾何變形方程材料的物理方程指標(biāo)形式力平衡方程幾何變形方程材料物理方程或（）六、分別給出平面應(yīng)力平面應(yīng)變狀態(tài)下的前提條件及表達式，推導(dǎo)兩種情況下的物理方程，以及它們之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。解：①前提條件:1.平面應(yīng)力：設(shè)有很薄的厚度薄板，所受力在（xoy）平面且不隨之變化，則在板內(nèi)外表面有：，，由于板很?。嚎梢越普J為在整個板內(nèi)外有：，＝0，＝0所有力學(xué)變量都是，函數(shù)，不隨變化即，，（）基本變量為、，、、，、、2.平面應(yīng)變：設(shè)有一根無限長等截面柱形體，所承受外載不隨變化，任一截面都為對稱面，則有：，＝0，，所有變量都是、的函數(shù)，不隨變化。則，，（）基本變量為：、，、、，、、②表達式平面應(yīng)力和平面應(yīng)變的平衡方程和幾何方程一樣，均為：平衡方程幾何方程物理方程：（a）平面應(yīng)力：由已知條件知，由3D物理方程組知解得（b）平面應(yīng)變由已知條件已知，由3D物理方程組知同理即（c）兩者之間的關(guān)系比較平面應(yīng)力和平面應(yīng)變的物理方程可以看出，若將平面應(yīng)力問題物理方程中的換成，換成，則可得到平面應(yīng)變問題的物理方程。七、一立方塊放在同樣大小的剛性盒內(nèi)，上面用剛性蓋密封后均勻壓力為q，方塊與盒蓋之間無摩擦力，設(shè)施力方向為z軸，盒的側(cè)面方向為x軸和y軸，求方塊的應(yīng)力，，和應(yīng)變。設(shè)立方塊的彈性模量為，泊松比為。由已知條件知立方塊在剛性的盒內(nèi)，在x,y兩方向不會產(chǎn)生位移。即應(yīng)變。由物理方程知：BC(p)：解以上關(guān)系可得八、證明1、受純剪單元體應(yīng)變能為證明2、指標(biāo)形式下與分量形式下應(yīng)變能計算公式的對用關(guān)系為證明3、純彎梁應(yīng)變能的表達式為：證明1：對于受純剪單元體情形下的應(yīng)力分量如圖8.1所示。此狀態(tài)的力學(xué)基本變量為：我們首先研究一對剪應(yīng)力與剪應(yīng)變，如圖8.2所示，設(shè)上只作用和。同理可得所以由與作用下，在微體上產(chǎn)生能量為：證明2：若證明等式成立，必須首先證明又因分解后見下表?！嘤忠蜃C明3、如圖所示純彎梁梁的厚度很薄，外載沿厚度方向無變化，其中性層為y層，梁長為，彈性模量為E，基本變量為：位移（對中性層）應(yīng)力（為主應(yīng)力，其方向很小，不考慮）應(yīng)變（為主要應(yīng)變，中性層取微段萊推導(dǎo)三大方程）如圖所示8.4所示力的平衡：幾何方程：由變形后的幾何關(guān)系可知其中y為距中性層坐標(biāo)，為撓度曲率。即由虎克定律知物理方程為：整理上述方程得知下基本方程組故純彎梁的應(yīng)變能：九、如圖所示為1個1D拉壓問題（1）寫出描寫該問題的所有基本變量（2）寫出所有基本方程，包括BC（3）寫出應(yīng)變能，外力功（4）寫出最小勢能原理的一般表達式（1D問題）（5）證明（4）（即該原理與原基本方程的關(guān)系）解（1）基本變量位移應(yīng)力應(yīng)變（2）基本方程平衡方程幾何方程物理方程BC()：BC(p)：由平衡方程得知（待定）由幾何方程得知（待定）由BC（）知由BC（p）知∴（3）應(yīng)變能外力功（4）最小勢能一般表達式（1D問題）（5）證明對于拉壓桿的問題，其體積力，外力∴將物理方程代入，將化成，的函數(shù)…①將幾何方程代入，并利用Gauss-Green公式有又因總的邊界條件，考慮許可位移場的性質(zhì)（它滿足位移邊界條件，其邊界微分增量為0，即，所以根據(jù)最小勢能原理，對系統(tǒng)勢能取極值，令，則在Sp和上，其有任一性，故若使則必須即為力的平衡方程和力的邊界條件。對①式進一步求導(dǎo)，則，故由確定的使勢能取極值。由以上推導(dǎo)可知，滿足位移邊界條件的試函數(shù)，在滿足幾何方程和物理方程前提下，當(dāng)勢能取最小時，其結(jié)果可精確滿足剩下的平衡方程和力的邊界條件。十、就1D桿單元節(jié)點位移（局部坐標(biāo)下）節(jié)點位移（整體坐標(biāo)下）寫出和之間的關(guān)系將該單元的位移場、應(yīng)力場、應(yīng)變場用整體坐標(biāo)系下的節(jié)點位移q來表示。推導(dǎo)出基于整體坐標(biāo)下的剛度矩陣。解：（1）如圖所示：∴其中（2）在局部坐標(biāo)下，設(shè)位移場模式（有兩個節(jié)點）為：（，待定）由邊界位移知解之，知：，∴其中∴其中在整體坐標(biāo)系下有（3）系統(tǒng)的勢能為：＝其中，K為剛度矩陣十一、就2D純彎梁單元，節(jié)點位移（局部），節(jié)點位移（整體），寫出和之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。解：由圖可知∴其中，十二、簡述有限元分析的基本步驟和相對應(yīng)的基本表達式解：（1）物體幾何離散化，為具有特征的單元。（2）單元研究，（所有力學(xué)信息均用節(jié)點位移來表達）單元節(jié)點描述單元的位移場模式（唯一確定性原則，完備性原則）所有物理量表達（所有力學(xué)量都用節(jié)點位移來表達）其中，單元的平衡關(guān)系（3）裝配集成整體平衡關(guān)系其中，，，(4)處理BC并解節(jié)點位移其中，為未知節(jié)點位移，為已知節(jié)點位移，為未知節(jié)點力，為已知節(jié)點力由上式寫成兩個方程：直接求出未知節(jié)點位移（5）求支反力在求出后，即可求出支反力（6）其它力學(xué)計算計算單元＆整體的應(yīng)變及應(yīng)力，即：十三、就線性彈性平面問題，寫出一下表達式三大類型基本方程（分量或指標(biāo)形式）并指明自變量。兩類邊界條件（分量或指標(biāo)形式）對離散單元，寫出用單元節(jié)點位移表示位移場的表達式對于離散單元，寫出用單元節(jié)點位移表示單元應(yīng)變場的表達式對于離散單元，寫出用單元節(jié)點位移表示單元應(yīng)力場的表達式對于離散單元，寫出用單元節(jié)點位移表示單元應(yīng)變能的表達式對于離散單元，寫出用單元節(jié)點位移表示單元外力功的表達式對于離散單元，寫出用單元節(jié)點位移表示單元勢能的表達式對于離散單元，寫出用總體節(jié)點位移表示單元總勢能的表達式對于離散單元，寫出用總體節(jié)點位移表示的剛度矩陣解：（1）平衡方程幾何方程物理方程其中，，，，，，，為自變量（2）位移邊界條件on力的邊界條件on外法線的方向余弦（3）（4）（5）（6）其中（7）（8）（9）（10）其中十四、推導(dǎo)桿單元的形狀函數(shù)、幾何矩陣、應(yīng)力矩陣、及剛度矩陣解：如圖所示的桿單元已知其彈性模量，面積，桿長為設(shè)有兩個端點，其端點位移，節(jié)點力由于兩個節(jié)點，故設(shè)其位移場待定由于位移邊界條件知解之知所以：所以，其形態(tài)函數(shù)矩陣又因所以幾何矩陣又所以其應(yīng)力矩陣單元的勢能為：其剛度矩陣為：十五、如圖所示，為一由兩根桿組成的結(jié)構(gòu)（二桿分別沿X,Y）方向，結(jié)構(gòu)參數(shù)試寫成下列FEM分析寫出各單元的剛度矩陣寫出總剛度矩陣求出節(jié)點2的位移求各單元應(yīng)力解：（1）由題意知，該系統(tǒng)分為單元①和桿單元②，其節(jié)點為由桿單元的剛度矩陣可知，對于桿單元①：，剛度矩陣為對于單元②，（2）總的（3）由剛度矩陣方程其中：而，，∴∴∴（4）對于單元①對于單元②十六、設(shè)有一彈性平面問題，厚度為，彈性模量為，泊松比，對于如圖所示的三節(jié)點單元。已知幾何矩陣為物理（彈性）矩陣為試求出（推導(dǎo)）該三節(jié)點的剛度矩陣。解：該三節(jié)點的剛度矩陣為十七、對于不考慮體積力的平面彈性問題，試證明由位移表達的平衡方程為：其中分別為方向位移，為泊松比。證明：對于平面應(yīng)力彈性問題，在不考慮體積力時，其力的平衡方程為：幾何方程為：物理方程為：把（3）、（4）、（5）代入（6）、（7）（8）可得：把（9）、（11）代入（1）中可得：把（10）、（11）代入（2）中可得:即：十八、說明單元剛度矩陣中每個元素的特殊意義。解：以1D節(jié)點單元為例，其剛度方程為令，則即表示要使單元第點產(chǎn)生位移（＝1），而且它點固定時，需要在第點所施加的力。如圖18。2所示十九、在處理位移約束前，為什么整體剛度矩陣時奇異的。解：設(shè)一個單元在受現(xiàn)同外載時存在著兩種剛體位移，即（）則(1)——（2）可得因，要使（3）式由非零解的條件是所以在處理位移約束前單元剛度矩陣是奇異的。即二十、用最下勢能原理推導(dǎo)彈性問題的平衡方程：式中