高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第三章-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-32-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-課時3-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題課件-理

§3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課時3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題內(nèi)容索引題型一用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題題型二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題題型三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題審題路線圖系列練出高分思想方法感悟提高題型一用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題題型一用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題命題點1解不等式又φ(2)＝0，∴當(dāng)且僅當(dāng)0<x<2時，φ(x)>0，此時x2f(x)>0.又f(x)為奇函數(shù)，∴h(x)＝x2f(x)也為奇函數(shù).故x2f(x)>0的解集為(－∞，－2)∪(0,2).(－∞，－2)∪(0,2)解析答案命題點2證明不等式解析答案又F(0)＝0，F(xiàn)(1)>0，所以當(dāng)x∈[0,1]時，F(xiàn)(x)≥0，解析答案記H(x)＝sinx－x，則當(dāng)x∈(0,1)時，H′(x)＝cosx－1<0，所以H(x)在[0,1]上是減函數(shù)，則H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.命題點3不等式恒成立問題(1)用a表示b，并求b的最大值；解析答案由題意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，解設(shè)兩曲線的公共點為(x0，y0)，

解析答案當(dāng)t(1－3lnt)<0，

h′(t)<0.于是當(dāng)t(1－3lnt)>0，

h′(t)>0；

(2)求證：f(x)≥g(x)(x>0).故F(x)在(0，a)上為減函數(shù)，在(a，＋∞)上為增函數(shù).于是F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故當(dāng)x>0時，有f(x)－g(x)≥0，即當(dāng)x>0時，f(x)≥g(x).解析答案思維升華思維升華(1)利用導(dǎo)數(shù)解不等式，一般可構(gòu)造函數(shù)，利用已知條件確定函數(shù)單調(diào)性解不等式；(2)證明不等式f(x)<g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，利用導(dǎo)數(shù)求F(x)的值域，得到F(x)<0即可；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練1解析答案返回∵當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0.∴g(x)在(1，＋∞)上也是減函數(shù)，∴g(x)<g(1)＝－1，∴當(dāng)a≥－1時，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立.返回又x>0，∴a>xlnx－x3，令g(x)＝xlnx－x3，則h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，題型二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題題型二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題例4

(2014·課標(biāo)全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲線y＝f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為－2.(1)求a；解

f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲線y＝f(x)在點(0,2)處的切線方程為y＝ax＋2.解析答案(2)證明：當(dāng)k<1時，曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點.解析答案思維升華證明由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.設(shè)g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由題設(shè)知1－k>0.當(dāng)x≤0時，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一實根.當(dāng)x>0時，令h(x)＝x3－3x2＋4，則g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x).解析答案思維升華h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)單調(diào)遞增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)沒有實根.綜上，g(x)＝0在R有唯一實根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點.思維升華思維升華研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).已知函數(shù)f(x)＝x2＋xsinx＋cosx的圖象與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍.解

f′(x)＝x(2＋cosx)，令f′(x)＝0，得x＝0.∴當(dāng)x>0時，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上遞增.當(dāng)x<0時，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上遞減.∴f(x)的最小值為f(0)＝1.∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上均單調(diào)，∴當(dāng)b>1時，曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個不同交點.綜上可知，b的取值范圍是(1，＋∞).跟蹤訓(xùn)練2解析答案返回題型三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題題型三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題(1)求a的值；解

因為x＝5時，y＝11，

解析答案(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解析答案思維升華解由(1)可知，該商品每日的銷售量為從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).于是，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減解析答案思維升華由上表可得，x＝4時，函數(shù)f(x)取得極大值，也是最大值.所以，當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.思維升華思維升華在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合.用導(dǎo)數(shù)求實際問題中的最大(小)值，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義可知該極值點就是最值點.解析由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于0<x<40時，y′<0；x>40時，y′>0.所以當(dāng)x＝40時，y有最小值.40跟蹤訓(xùn)練3解析答案返回審題路線圖系列(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；審題路線圖系列一審條件挖隱含審題路線圖解析答案返回溫馨提醒審題路線圖(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M

↓(正確理解“存在”的含義)[g(x1)－g(x2)]max≥M

↓挖掘[g(x1)－g(x2)]max的隱含實質(zhì)g(x)max－g(x)min≥M

↓求得M的最大整數(shù)值審題路線圖解析答案溫馨提醒(2)對任意s，t∈[，2]都有f(s)≥g(t)

↓(理解“任意”的含義)f(x)min≥g(x)max

↓求得g(x)max＝1

＋xlnx≥1恒成立

↓分離參數(shù)aa≥x－x2lnx恒成立

↓求h(x)＝x－x2lnx的最大值a≥h(x)max＝h(1)＝1

↓a≥1解析答案溫馨提醒規(guī)范解答解

(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等價于[g(x1)－g(x2)]max≥M.[2分]g(x)max＝g(2)＝1.又x∈[0,2]，解析答案溫馨提醒則滿足條件的最大整數(shù)M＝4.[6分]解析答案溫馨提醒所以h(x)max＝h(1)＝1，

[13分]所以a≥1，即實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞).[14分]溫馨提醒溫馨提醒返回(1)“恒成立”、“存在性”問題一定要正確理解問題實質(zhì)，深刻挖掘條件內(nèi)含，進行等價轉(zhuǎn)化.(2)構(gòu)造函數(shù)是求范圍問題中的一種常用方法，解題過程中盡量采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.思想方法

感悟提高1.用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)>g(x)時，找到函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點是解題的突破口.2.在討論方程的根的個數(shù)、研究函數(shù)圖象與x軸(或某直線)的交點個數(shù)、不等式恒成立等問題時，常常需要求出其中參數(shù)的取值范圍，這類問題的實質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極(最)值的應(yīng)用.3.在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較.方法與技巧1.利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題時，若分離參數(shù)后得到“a<f(x)恒成立”，要根據(jù)f(x)的值確定a的范圍中端點能否取到.2.利用導(dǎo)數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題，要注意問題的實際意義.失誤與防范返回練出高分123456789101112131415解析答案123456789101112131415①由(1)得x(x－2)≥ax在區(qū)間(－∞，0]上恒成立.當(dāng)x＝0時，a∈R；當(dāng)x<0時，有x－2≤a恒成立，所以a≥－2.故a≥－2.②由(2)得ln(x＋1)－ax≥0在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立，設(shè)h(x)＝ln(x＋1)－ax(x>0)，

解析答案當(dāng)a≤0時，h′(x)>0，故h(x)為增函數(shù)，所以h(x)>h(0)＝0恒成立；故h(x)為減函數(shù)，所以h(x)<h(0)＝0恒成立，顯然不符合題意；

123456789101112131415解析答案當(dāng)0<a<1時，對于給定的一個確定值a，總可以至少找到一個x0>0，滿足h(x0)＝ln(x0＋1)－ax0<0成立.則h(x0)＝ln5－2<0成立，可知0<a<1時，不符合題意.故a≤0.由①②可知a的取值范圍是[－2,0].答案

[－2,0]1234567891011121314152.若0<x1<x2<1，則下列關(guān)系正確的是___.123456789101112131415解析答案由0<x1<x2<1知，f(x1)>f(x2)，答案

③當(dāng)0<x<1時，f′(x)<0，1234567891011121314153.若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為____百萬件.解析

y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，當(dāng)0<x<3時，y′>0；當(dāng)x>3時，y′<0.故當(dāng)x＝3時，該商品的年利潤最大.3123456789101112131415解析答案4.若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值為___.解析由題意得f′(x)＝12x2－2ax－2b.∵f(x)在x＝1處有極值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.∵a>0，b>0，9當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時取等號，易知此時f(x)在x＝1處有極小值，滿足題意，∴ab的最大值為9.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案所以2x＋2b>0，于x2－2a<0在x∈(a，b)上恒成立.x2－2a<0的解集為解析由題意知f′(x)＝x2－2a，g′(x)＝2x＋2b，函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)性相反，則有(x2－2a)·(2x＋2b)<0在x∈(a，b)上恒成立，又0<a<b，123456789101112131415解析

∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b>0.2123456789101112131415解析答案7.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，則不等式(x＋2014)2f(x＋2014)－4f(－2)>0的解集為________.123456789101112131415解析答案解析由2f(x)＋xf′(x)>x2，x<0得2xf(x)＋x2f′(x)<x3，所以[x2f(x)]′<x3<0.令F(x)＝x2f(x)(x<0)，則F′(x)<0(x<0)，即F(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，因為F(x＋2014)＝(x＋2014)2f(x＋2014)，F(xiàn)(－2)＝4f(－2)，所以不等式(x＋2014)2f(x＋2014)－4f(－2)>0，即為F(x＋2014)－F(－2)>0，即F(x＋2014)>F(－2)，又因為F(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，所以x＋2014<－2，所以x<－2016.答案

(－∞，－2016)1234567891011121314158.若對于任意實數(shù)x≥0，函數(shù)f(x)＝ex＋ax恒大于零，則實數(shù)a的取值范圍是________.123456789101112131415解析答案解析

∵當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex＋ax>0恒成立.∴若x＝0，a為任意實數(shù)，f(x)＝ex＋ax>0恒成立.若x>0，f(x)＝ex＋ax>0恒成立，當(dāng)x∈(0,1)時，Q′(x)>0，則Q(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，Q′(x)<0，則Q(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.∴當(dāng)x＝1時，Q(x)取得最大值.Q(x)max＝Q(1)＝－e，∴要使x≥0時，f(x)>0恒成立，a的取值范圍為(－e，＋∞).答案

(－e，＋∞)1234567891011121314159.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；123456789101112131415解析答案解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘2－2ln2＋2a↗故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a.123456789101112131415(2)求證：當(dāng)a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.證明設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知當(dāng)a>ln2－1時，g′(x)取最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是對任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.于是當(dāng)a>ln2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0).而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故當(dāng)a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.

123456789101112131415解析答案10.某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；123456789101112131415解析答案解因為蓄水池側(cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元.又根據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12000π，

123456789101112131415(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因為r＝－5不在定義域內(nèi)，舍去).當(dāng)r∈(0,5)時，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8.即當(dāng)r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大.123456789101112131415解析答案11.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R).若x＝－1為函數(shù)g(x)＝f(x)ex的一個極值點，則下列圖象不可能為y＝f(x)的圖象的是____.(填序號)123456789101112131415解析答案∴c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有兩根x1，x2，

答案

④解析設(shè)h(x)＝f(x)ex，則h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點.12345678910111213141512.已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1對x∈(0,1]總有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.123456789101112131415解析答案g′(x)與g(x)隨x的變化情況