函數(shù)方程不等式以及它們的圖像-課件

函數(shù)、方程、不等式以及它們的圖像

2023/7/221函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要概念。函數(shù)的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，運用函數(shù)的知識，使問題得到解決。2023/7/222和函數(shù)有必然聯(lián)系的是方程，方程的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，函數(shù)的解就是函數(shù)也可以看作二元方程，通過方程進行研究。2023/7/223，在x軸下方則是的作用還可以使動態(tài)的y=f(x)的圖像上、下、左、右的移動。不等式是函數(shù)與方程關(guān)系的一個更為廣泛的補充。函數(shù)y=f(x)圖像在x軸上方是。不等式2023/7/224函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的。2023/7/225方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在：從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式，或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。2023/7/226圖像將使上述的思想具體化、形象化。它從幾何的角度描述問題的本質(zhì)、變化的規(guī)律，使數(shù)學(xué)問題更具有生命力。2023/7/2272023/7/228許多數(shù)學(xué)問題，不能簡單地歸結(jié)于函數(shù)、方程或是不等式，而是它們的綜合。通過解決這些數(shù)學(xué)問題，不僅是對我們數(shù)學(xué)知識掌握的考查，是對我們邏輯思維能力、形象思維能力、綜合解題能力、探索創(chuàng)新能力的考查，更重要的是讓我們體會到數(shù)學(xué)知識之間是如何相互聯(lián)系、相互滲透的，又是聯(lián)系滲透得那么驚人的深刻，那么意想不到的精彩。2023/7/229二、典型習(xí)題例題1、已知實數(shù)，，，求與的范圍。2023/7/2210解：，且2023/7/2211解：即a,b是一元二次方程的根，且兩根都大于c，令x軸有兩個交點且都在又圖像開口向上的兩個不相等，則圖像與內(nèi)，2023/7/2212解：xyoc2023/7/2213解：2023/7/2214解：,,2023/7/2215例題2、已知，求函數(shù)的最大值和最小值。2023/7/2216解：建立方程組（兩式相乘并相減）由題意x，y不能同時為零，不妨設(shè)2023/7/2217解：即為關(guān)于的一元二次方程，有實根2023/7/2218例題3、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，都有，且（1）求及；（2）證明f(x)是求。其圖像關(guān)于x=1對稱，對任意的周期函數(shù)；（3）已知2023/7/2219解：（1）對任意的，都有類似地，

2023/7/2220解：（2）已知f(x)圖像關(guān)于x=1對稱（，都有）有

2023/7/2221解：又f(x)是R上的偶函數(shù)即f(x)是以2為周期的周期函數(shù)2023/7/2222解：（3）由（2）知2n也是f(x)的周期（把1分為2n個的和）2023/7/2223解：2023/7/2224例題4、已知集合M是滿足下列性質(zhì)的的全體：存在非零常數(shù)T，對任意，有成立。（2）設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像有公共點，證明：；（3）若函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。（1）函數(shù)是否屬于集合M？說明理由；2023/7/2225解：（1）對于非零常數(shù)T，，由于對于任意的，不能恒成立，所以不屬于集合M。2023/7/2226解：（2）由題意可知方程組有解顯然不是方程的解，所以存在非零常數(shù)T，使得2023/7/2227解：對于，有2023/7/2228解：（3）當(dāng)時，，顯然當(dāng)時，已知對于任意恒成立存在非零常數(shù)T，對于任意有成立，即2023/7/2229解：①當(dāng)時，恒成立，②當(dāng)時，恒成立由于x的任意性，則只有當(dāng)?shù)臅r候可能恒成立2023/7/2230解：由①②可知，實數(shù)k的取值范圍是2023/7/2231例題5、函數(shù)在上有定義，且滿足時，有。（1）證明：在上是奇函數(shù)；2023/7/2232（2）對于數(shù)列，若，，試求：（3）求證：。；2023/7/2233證明（1）：令令2023/7/2234證明（1）：在上是奇函數(shù)；2023/7/2235證明（2）：2023/7/2236證明（2）：是以公比的等比數(shù)列為首項，2為2023/7/2237證明（3）：由（2）2023/7/2238證明（3）：證畢。2023/7/2239例題6、已知，設(shè)P：函數(shù)單調(diào)遞減，Q：不等式的解集為R，如果P和Q有且僅有一個正確，在R上求c的取值范圍。2023/7/2240解：P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減Q：不等式的解集為R函數(shù)在R上恒大于12023/7/2241解：又當(dāng)函數(shù)在R上的最小值是2c，，即Q令2023/7/2242解：若P正確且Q不正確若P不正確且Q正確的取值范圍是。2023/7/2243例題7、已知函數(shù)（1）若的定義域為判斷在定義域上的增減性，并用定時，使的值域為的定義區(qū)間請說明理由。。，義證明；（2）當(dāng)是否存在？2023/7/2244解（1）：或，又

的定義域為則，2023/7/2245解（1）：2023/7/2246解（1）：當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，時，，上是增函數(shù)當(dāng)函數(shù)在2023/7/2247解（2）：由(1)可知，當(dāng)時，為減函數(shù)，則由其值域為2023/7/2248解（2）：2023/7/2249解（2）：則為方程的兩個根2023/7/2250解（2）：方程有兩個大于3的不等實根，令2023/7/2251解（2）：xyo32023/7/2252解（2）：當(dāng)時，存在這樣的區(qū)間；時，不存在這樣的區(qū)間。當(dāng)2023/7/2253

例題8、設(shè)函數(shù)和，已知時，，求實數(shù)a的取值范圍。恒有2023/7/2254

解：，對于恒成立，，令2023/7/2255

解：表示以圓為的上半部分；，表示斜率為，截距為的平行直線系（a為參變量）；圓心，2為半徑的2023/7/2256

解：xyo-2時，恒有的幾何意義為半圓恒在直線下方（如圖）2023/7/2257

解：直線與半圓相切時，有（截距）2023/7/2258

解：由圖可知，當(dāng)截距，即時，恒有，即恒有。2023/7/2259例題9、已知拋物線和兩點直線交曲線C于第一象限內(nèi)的M、N兩點，設(shè)點P是弦MN的中點，若直線BP與x軸交于點Q，且點Q在A的左側(cè)，求直線MN的斜率k的取值范圍。，過點A作斜率為k的2023/7/2260

解：（設(shè)直線MN的方程為由）2023/7/2261

解：設(shè)由（1）式直線方程為，令2023/7/2262

解：已知點Q在點左側(cè)即直線MN的斜率k的取值范圍是2023/7/2263

例題10、已知對于任意的總過定點，求拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)的取值范圍。，拋物線2023/7/2264

解：已知拋物線總過定點該方程對于任意的均成立2023/7/2265

解：拋物線方程為2023/7/2266

解：設(shè)拋物線與x軸的另一交點令y=02023/7/2267

解：當(dāng)時，由2023/7/2268

解：當(dāng)時，由當(dāng)時，2023/7/2269

解：。綜上所述，對于任意的，而點P的橫坐標(biāo)x軸的交點的橫坐標(biāo)的取值范圍是,所以拋物線與2023/7/2270是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，。(1)求在上的解析式；(2)證明在上是減函數(shù)；(3)當(dāng)時，求關(guān)于x的不等式在內(nèi)的解集。例題11、2023/7/2271（1）解：，有則已知當(dāng)時，，2023/7/2272（1）解：2023/7/2273（2）證：2023/7/2274（2）證：即，在上是減函數(shù)。2023/7/2275（3）解：由(2)可知時，當(dāng)時，由于在上是減函數(shù)只有一個實數(shù)根2023/7/2276（3）解：(不合題意，舍去）2023/7/2277（3）解：2023/7/2278例題12、已知函數(shù)的圖像上有兩點、，且滿足，。2023/7/2279（1）求證：（2）求證：的線段長的取值范圍是（3）問能否得出，中至少有一個為正數(shù)？請證明你的結(jié)論。；的圖像被x軸所截得；2023/7/2280證明（1）：或為方程即的實根2023/7/2281證明（1）：2023/7/2282證明（1）：，且2023/7/2283證明（2）：設(shè)的兩根為，則一個根為1（另一根為），2023/7/2284證明（2）：且由上知2023/7/2285證明（3）：由（2），設(shè)由（1），不妨設(shè)已知（如圖）2023/7/2286證明（3）：xyo12023/7/2287證明（3）：