波函數(shù)與薛定格方程-1

第二章波函數(shù)與薛定格方程問題:(1)如何描述微觀粒子的狀態(tài)？

(2)微觀粒子的狀態(tài)變化時應(yīng)遵循什么樣的運動規(guī)律？

7/22/20231§1波函數(shù)一.“波動性”與“粒子性”矛盾的分析:1)研究對象-----微觀粒子:既不是經(jīng)典意義上的粒子,也不是經(jīng)典意義上的波.例:通過對光的認(rèn)識過程可知,光就是光--------它既不是粒子也不是波.2)“波動性”與“粒子性”的矛盾與分析:歷史上曾有過的錯誤認(rèn)識:a)波包:夸大了波動性的一面,從而實際上抺殺了粒子性的一面-----有片面性.b)波是大量粒子集體運動的表現(xiàn):這種觀點夸大了粒子性的一面,從而實際上抺殺了波動性的一面而被實踐證明是錯誤的.7/22/202323)分析:現(xiàn)在的研究對象---微觀粒子:具有一定的質(zhì)量,電荷等屬性被稱為物質(zhì)的“原子性”,“整體性”或“粒子性”.但不是經(jīng)典的粒子,拋棄了“軌道”概念.具有干涉,衍射現(xiàn)象----本質(zhì)上是波的相干迭加性.但又不是經(jīng)典的波,具有明確的局域性.結(jié)論:1926年,玻恩(M.Born)把微觀粒子的“原子性”和波的相干迭加性統(tǒng)一起來,提出了“幾率波”的概念.4)電子雙縫衍射實驗:目的:通過分析電子雙縫衍射實驗,尋找正確理解和認(rèn)識象電子這樣的微觀客體的行為特征的途徑.7/22/20233名人名言

Feynman認(rèn)為:

這一實驗設(shè)計的包含了量子力學(xué)的一切秘密之處,它把自然的疑難,特異和神奇性百分之百地擺在你的面前.特點降低所發(fā)射的電子束的強度,使其低到足以分開每一個事件.實驗7/22/20234A)電子是逐個到達(dá)熒光屏上的,所謂逐個的意思就是,對每個事件在屏上只能觀察到一個亮點而且各亮點涉及到的范圍很小,不會出現(xiàn)一大片光斑或光暈.(粒子性的表現(xiàn))實驗結(jié)果B)只要時間足夠長,就可記錄下大量的事件結(jié)果會看到衍射條紋.(波動性的表現(xiàn))C)為說明問題,實驗按以下順序進(jìn)行:①先只打開縫1并遮上縫2.開始對應(yīng)于每個事件的亮點在屏上出現(xiàn)的位置是隨機的.但積累了大量事件后就可看到單縫衍射的圖樣.反之亦然.②當(dāng)兩個縫同時打開時.開始亮點在屏上出現(xiàn)的位置仍是隨機的但積累了大量事件后就可看到的結(jié)果并不是①中兩個單縫衍射的圖樣簡單相加.而是雙縫的衍射的圖樣.結(jié)論:既不是經(jīng)典的粒子;也不是經(jīng)典的波.7/22/20235若以來描述電子衍射花樣的強度分布7/22/20236A)相干迭加的結(jié)果充分顯示了微觀粒子與經(jīng)典粒子的區(qū)別.若是經(jīng)典粒子,如細(xì)沙?；蜃訌?它們一個一個地穿過狹縫,雖然兩個縫都是打開的,但穿過縫2的粒子是無法感知縫1的存在的,反之亦然.所以只能出現(xiàn)經(jīng)典的結(jié)果.B)如何理解相干迭加的這一結(jié)果呢?試想遵循下面的推理:對實驗結(jié)果的解釋μμ某處衍射條紋的強度該處附近出現(xiàn)亮點的次數(shù)打在該處附近的電子的數(shù)目μ一個電子在該處附近出現(xiàn)的幾率結(jié)論:以

描述電子衍射花樣的強度分布,則應(yīng)正比于電子在該處附近出現(xiàn)的幾率.2Y7/22/20237結(jié)論:(1)函數(shù)(r)在雙縫衍射中對電子的狀態(tài)具有重要意義,即可以用(r)來描寫經(jīng)雙縫衍射后電子在到達(dá)屏上時所處的狀態(tài).(2)使用(r)的描述,可以統(tǒng)一“波動性”與“粒子性”的矛盾------“幾率波”二.波函數(shù):1)量子力學(xué)中使用波函數(shù)來描述微觀粒子的運動狀態(tài),一般以(r,t)來表示.①波函數(shù)本身它并不是一個力學(xué)變量------這是與經(jīng)典力學(xué)的一個重要區(qū)別.------從一開始量子力學(xué)就與經(jīng)典力學(xué)完全不同②它可以向我們提供被研究的微觀粒子的各種力學(xué)量的取值及其變化的全部信息.7/22/202382)波函數(shù)的幾率解釋:①dW為微觀粒子t時刻在r處附近r---->r+dr區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的幾率.②歸一化條件:③(r)與C(r)(C為一常數(shù))所描寫的是同一個微觀狀態(tài).A)“幾率波”與經(jīng)典波動有本質(zhì)的不同:y0Cy0X對經(jīng)典波動:波動方程前乘以C,相當(dāng)與波的振幅被放大了C倍,強度被放大了C2倍,因此它們是完全不同的兩個波.7/22/20239B)歸一化系數(shù):設(shè)(r,t)為一個沒被歸一化的波函數(shù),若有常數(shù)C滿足:其中或C被稱為(r,t)的歸一化系數(shù).若有(r,t)=C(r,t)且(r,t)和(r,t)描述的是同一個狀態(tài).C)波函數(shù)位相的不確定性:當(dāng)為實數(shù)時與描述的是同一個狀態(tài)且都是歸一化的現(xiàn)象被稱為波函數(shù)位相的不確定性.7/22/2023103)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件:物理上要求：波函數(shù)滿足單值、連續(xù)和有限的條件.

有限性它不排除對某些孤立點有:但04)自由粒子平面波的波函數(shù):總體思路由經(jīng)典平面波波動方程的復(fù)數(shù)形式，利用德布羅意關(guān)系式，把經(jīng)典理論中描寫粒子性的物理量E和P揉入其中，形成自由粒子的波函數(shù)的表達(dá)式。再去經(jīng)受實踐的檢驗。7/22/202311其復(fù)數(shù)形式為：)]/(2[),(lnpxtiAetxy--=A）經(jīng)典的沿X方向傳播的平面波的波動方程：)]/(2cos[),(lnpxtAtxy-=波的強度2AIμ波的強度2Aμ取其實部則可還原為其實數(shù)形式。復(fù)數(shù)形式的優(yōu)點：a)方便運算。b)初位相f以的形式出現(xiàn)，因此可以被包含在復(fù)振幅A中。fieB)自由粒子與平面波:自由粒子不受外界作用,其動量為確定值德布羅意關(guān)系式對應(yīng)的波頻率與波矢為恒定平面波7/22/202312C）量子力學(xué)中自由粒子的波函數(shù)：)(0),(xpEtixetx--Y=Yh)]/(2[),(lnpxtiAetxy--=對應(yīng)代換關(guān)系量子力學(xué)經(jīng)典力學(xué)),(txy),(txYn頻率hE/能量l波長xph/動量A振幅0Y復(fù)振幅量子力學(xué)中自由粒子的波函數(shù)7/22/202313一般情況下的表示:特點1)具有波動方程的形式.2)包含經(jīng)典理論中描述粒子特征的物理量E和p在空間各點發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相同。這時粒子的動量是完全確定的，但其位置就完全不確定。常數(shù)=Y2),(trr對自由粒子波函數(shù)統(tǒng)計詮釋涉及對世界本質(zhì)的認(rèn)識爭論至今未息哥本哈根學(xué)派愛因斯坦7/22/202314設(shè)歸一化因子為C，則歸一化的波函數(shù)為(x)=C

exp(-2x2/2)Ｃ２＝／１／２Ｃ＝（／１／２）１／２ｅｉ取＝0，則歸一化的波函數(shù)為(x)=（／１／２）１／２

exp(-2x2/2)例題：將波函數(shù)歸一化解:利用積分公式:得:7/22/202315量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)7/22/202316§2薛定格方程一.自由粒子薛定格方程的建立:自由粒子波函數(shù)1)為討論其隨時間的變化兩邊對t求偏導(dǎo)得:2)它啟發(fā)我們波函數(shù)隨時間的變化與能量有關(guān),而對自由粒子有:7/22/2023173)注意到自由粒子波函數(shù)對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)是與動量有關(guān)的,即有:同理4)再由:同理7/22/2023185)所以有:6)把1)和5)代入2)的兩邊可得:----自由粒子波函數(shù)所滿足的薛定格方程該方程的特點:A)是一個線性微分方程,迭加原理適用.若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)則也是其可能的狀態(tài)B)方程系數(shù)中不包含與微觀粒子狀態(tài)有關(guān)的參量.7/22/2023197/22/202320例：能量、動量和坐標(biāo)算符對沿x方向傳播自由平面波波函數(shù)的作用7/22/202321利用對應(yīng)關(guān)系得“算符關(guān)系等式”把“算符關(guān)系等式”作用在波函數(shù)上得到2)三維情況：二.一般情況下的薛定格方程:1)一維情況：其中：7/22/202322利用對應(yīng)關(guān)系得“算符關(guān)系等式”把“算符關(guān)系等式”作用在波函數(shù)上得到

該方程于1926被Schdinger首次給出,并為此榮獲1933年諾貝爾物理獎.

Schdinger方程是非相對論量子力學(xué)的基本動力學(xué)方程.其在量子力學(xué)中的地位與牛頓定律在經(jīng)典力學(xué)中的地位是相同的.7/22/202323三.定態(tài)薛定格方程:1)定態(tài)薛定格方程A)分離變量:若在所研究的問題中U=U(r)與時間t無關(guān),則可設(shè):(r,t)=(r)f(t)對薛定格方程分離變量可得:其中E為常數(shù).

B)本征值與本征值方程:E為算符或的本征值而上述方程被稱為該算符的本征值方程.7/22/202324C)與時間有關(guān)部分的解:由方程可解出:D)定態(tài):這時

在這種狀態(tài)下微觀粒子在各處出現(xiàn)的幾率與時間無關(guān)-----因此被稱為定態(tài)

被稱為定態(tài)波函數(shù).

E)定態(tài)薛定格方程:方程被稱為定態(tài)薛定格方程.7/22/202325定義:對定態(tài)情況時有:這里被稱為系統(tǒng)的哈密頓量.定態(tài)薛定格方程也可表示為:這時E被稱為H的本征值,而(r)被稱為H的本征函數(shù).2)多粒子系統(tǒng)的定態(tài)薛定格方程:研究對象:總粒子數(shù)=N,粒子的質(zhì)量mi(i=1,2,3…N)7/22/202326粒子間的相互作用勢能為:外場與粒子間的相互作