第6章-窄帶隨機(jī)過程課件

第六章窄帶隨機(jī)過程一、窄帶隨機(jī)過程的定義很多無線電系統(tǒng)的通頻帶是比較窄的，它們遠(yuǎn)小于其中心頻率，這種系統(tǒng)只允許輸入信號靠近附近的頻率分量通過，故稱為窄帶系統(tǒng)。其滿足：,

一般為高頻載波。同理，可定義窄帶隨機(jī)過程，即：若一個(gè)隨機(jī)過程的功率譜密度，只分布在高頻載波ω0

附近的一個(gè)較窄的頻率范圍?ω內(nèi)，且滿足ω0>>?ω時(shí)，則稱該過程為窄帶隨機(jī)過程。記為：Z(t)

。例：圖6.1為以窄帶隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)問題:對應(yīng)于功率譜密度GZ(ω)的窄帶隨機(jī)過程Z(t)的表達(dá)式為何？即。1.由可知:

若Gz(ω)占的頻帶很窄，則│ZT(ω)│也一定占很窄的頻帶。2.由頻移特性(《信號與線性系統(tǒng)》上冊P166-168)可知：

Gz(ω)的譜特征實(shí)際上是一個(gè)具有幅度慢變化(∵?ω窄)

的隨機(jī)過程譜特征經(jīng)移頻變換的結(jié)果。即時(shí)域中的一個(gè)慢變化信號對一高頻(ω0)信號的調(diào)幅變換。因此，任一窄帶隨機(jī)過程Z(t)可用下式表示：表達(dá)式1：引入Ф(t)是為了不失一般性的考慮。式中B(t)與Ф(t)分別稱為窄帶隨機(jī)過程Z(t)的包絡(luò)函數(shù)與相位函數(shù)，且B(t)和Ф(t)都是隨時(shí)間

t慢變化的隨機(jī)過程。Z(t)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)）如圖6.2所示。表達(dá)式2：

其中：

由于與正交，故稱X(t)為Z(t)的同相分量，Y(t)為Z(t)的正交分量。引入表達(dá)式2的目的是將Z(t)分解成兩個(gè)相互正交的分量，以便于分別分析。表達(dá)式1和表達(dá)式2兩者間的幾何關(guān)系：表達(dá)式1：表達(dá)式2：噪聲通過窄帶線性系統(tǒng)形成窄帶隨機(jī)過程的物理現(xiàn)象輸出信號的振蕩頻率等于窄帶系統(tǒng)的諧振頻率ω0；

輸出信號的振幅取決于輸入脈沖信號的面積。由于輸入脈沖信號的面積是隨機(jī)的，故輸出的振幅也是隨機(jī)的；系統(tǒng)是有耗的，故輸出信號是衰減振蕩的。

窄帶系統(tǒng)的總體輸出就是許多個(gè)不同時(shí)刻輸出衰減振蕩隨機(jī)信號的和，即可表示為

其中。表達(dá)式1：

表達(dá)式2：問題的提出：

若已知Z(t)的功率譜密度或統(tǒng)計(jì)特性（討論平穩(wěn)窄帶過程），則其B(t)與Ф(t)

或X(t)和Y(t)

的統(tǒng)計(jì)特性如何確定呢？二、解析信號與希爾伯特變換*

1．解析信號的引入時(shí)域?qū)嵭盘朣(t)

滿足共軛對稱性，即，

由此可知：時(shí)域?qū)嵭盘栒?、?fù)頻域的頻譜可互求。

從有效利用信號的角度出發(fā)，實(shí)信號負(fù)頻域部分是冗余的，所以只要保留正頻域的頻譜，記為，即可。

若只取正頻域頻譜，則，即不滿足共軛對稱性，且時(shí)域復(fù)信號。

復(fù)信號=實(shí)部+虛部，傳送二路信號不經(jīng)濟(jì)。信號傳輸：實(shí)信號；信號處理：復(fù)信號。問題：如何由給定的時(shí)域?qū)嵭盘枠?gòu)造對應(yīng)的時(shí)域復(fù)信號?2．解析信號的構(gòu)造

對給定的時(shí)域?qū)嵭盘杝(t)，設(shè)構(gòu)造的時(shí)域復(fù)信號為

其中，為一由s(t)構(gòu)造的信號，其構(gòu)造方法可為，即，

H(f)的設(shè)計(jì)要求：

1．要滿足使得Z(f)只有正頻域頻譜；

2．要使z(t)信號與s(t)信號的總能量保持不變。由此可得，

。故此，H[s(t)]，稱為Hilbert變換。

H(f)或h(t)稱為Hilbert變換器。它不改變信號的幅頻特性，只改變信號的相頻特性。

由此方法構(gòu)造的復(fù)信號稱為實(shí)信號s(t)的解析信號。寫為H

。

3．Hilbert變換的性質(zhì)

性質(zhì)1.

H[]=。

性質(zhì)2

若，則

H[]

性質(zhì)3

和x(t)的能量及平均功率相等，即

。性質(zhì)4.

平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和其對應(yīng)的Hilbert變換的自相關(guān)函數(shù)滿足：

，

其中，性質(zhì)5.

平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和其對應(yīng)的Hilbert變換的互相關(guān)函數(shù)滿足：

，

且為奇函數(shù)。即由此可知，X(t)與在同一時(shí)刻正交。

性質(zhì)6.

設(shè)具有有限帶寬的信號的傅氏變換，假定，則有H[]H[]三、窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì)問題：若已知Z(t)的功率譜密度或統(tǒng)計(jì)特性（討論平穩(wěn)窄帶過程），則其和或和的統(tǒng)計(jì)特性如何確定呢？

若Z(t)是任意的窄帶、寬平穩(wěn)、實(shí)隨機(jī)過程，零均且功率譜密度滿足：

則X(t)和Y(t)具有下列性質(zhì)：

性質(zhì)1．

X(t)和Y(t)各自寬平穩(wěn)且聯(lián)合寬平穩(wěn)。性質(zhì)2．

性質(zhì)3．

性質(zhì)4．

性質(zhì)5．

性質(zhì)6．

性質(zhì)7．

性質(zhì)8．

性質(zhì)9．

性質(zhì)10．

性質(zhì)11．

性質(zhì)12．

其中，Lp[·]為求等效低通運(yùn)算。即，令ω0=0

窄帶隨機(jī)過程性質(zhì)的證明，p.165~168。

窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì)的證明與討論：1.均值∵

∴由的條件，可知：2.相關(guān)函數(shù)

由Z(t)的平穩(wěn)性：可知，Z(t)的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)該與時(shí)間t無關(guān)，而僅與有關(guān)。即t可為任何值，而不影響。故，(1)令t=0，可得：（2）令t=π/2ω0，可得：

結(jié)論一:若Z(t)是寬平穩(wěn)的,則X(t)與Y(t)也是寬平穩(wěn)的。

、以及、的性質(zhì)：性質(zhì)1.

窄帶隨機(jī)過程的同相和正交分量的自相關(guān)函數(shù)相等。

由上述關(guān)系式（2）-（1），可得性質(zhì)2.

同相和正交分量的互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)。由式（3）同理可得：由互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：，可得：

性質(zhì)3.

同一時(shí)刻的X(t)與Y(t)互不相關(guān)。

和為奇函數(shù)

性質(zhì)3.

零均窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程Z(t)、X(t)、Y(t)的方差相同。

由（1）和(2)式,令,可得:

若窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值為零，則可得：四.窄帶高斯隨機(jī)過程Z(t)1.Z(t)的同相分量X(t)和正交分量Y(t)的概率分布由，可得：由Z(t)為高斯的可知：X(t1)和Y(t2)也是高斯隨機(jī)變量。又因?yàn)楦咚惯^程若是寬平穩(wěn)的，則一定是嚴(yán)平穩(wěn)的，而嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，即有：，t的任意性。，t的任意性。故，其中，可替換為或。結(jié)論二、零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程Z(t)，其同相分量X(t)和正交分量Y(t)同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，且具有一般窄帶平穩(wěn)過程的性質(zhì)。同時(shí)由可知：同時(shí)刻的X(t)與Y(t)互不相關(guān)，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。2．Z(t)的包絡(luò)B(t)和相位Ф(t)的概率分布若Z(t)為零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，則。設(shè)B(t)和Ф(t)的二維概率密度函數(shù)為：

其中：則，。，。由邊緣分布可得

(B(t)的包絡(luò))，相位Ф(t)在[0，2π]上取值。結(jié)論三、零均窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程：其包絡(luò)B(t)服從瑞利分布，相位Ф(t)服從均勻分布。且B(t)與Ф(t)在同一時(shí)刻t是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

有窄帶過程，則必存在非窄帶過程。因此，相對于窄帶過程我們可以給非窄帶過程下一個(gè)粗略的定義，即：功率譜分布的頻率范圍可與其所在的中心頻率比擬的（或不滿足?f<<fo條件的）隨機(jī)過程，稱為非窄帶過程。例：求窄帶高斯隨機(jī)過程包絡(luò)平方的概率分布。設(shè)包絡(luò)的平方為：，

已知：。求。解：五、余弦波加窄帶高斯過程

通信系統(tǒng)接收機(jī)前端模型其中：θ

是[0，2π]上均勻分布的隨機(jī)變量。S(t)為隨相余弦信號；。

由此可見，研究余弦信號加窄帶高斯過程的重要性。Z(t)為零均窄帶高斯過程，其其中，設(shè)合成信號：其中：為確知量，θ

是[0，2π]上均勻分布的隨機(jī)變量。令：則（4）式可改寫為：其中：。，B(t)為R(t)的包絡(luò)函數(shù)，Ф(t)為R(t)的相位函數(shù)。則B(t)與Ф(t)在同一時(shí)刻t的包絡(luò)和相位分別為問題：余弦信號加窄帶高斯過程之和R(t)的包絡(luò)函數(shù)B(t)和相位函數(shù)Ф(t)的統(tǒng)計(jì)特征如何？1.包絡(luò)函數(shù)B(t)的統(tǒng)計(jì)特征若θ給定（即θ為一確定值），則同理，

在給定θ的條件下，X(t)和Y(t)在任意時(shí)刻t，隨機(jī)變量Xt和Yt的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：利用（5）式可得由此可求出的表達(dá)式如下：

包絡(luò)的條件概率：上式與θ無關(guān)，故可得：上式稱為：廣義瑞利分布或萊斯密度函數(shù)。

若a=0，則退化為瑞利分布。其中，是零階修正貝塞爾函數(shù)。其級數(shù)形式為。

當(dāng)x<<1時(shí)，有。因此當(dāng)信噪比（信號平均功率與噪聲平均功率之比）很小，即時(shí)，則，故包絡(luò)的概率密度退化為瑞利分布。b)

當(dāng)x>>1時(shí)，有因此當(dāng)信噪比很大時(shí)，包絡(luò)的概率密度為其將趨于高斯分布。2.相位函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征代入，

并求積分可得：

，故，相位分布積分較復(fù)雜。小結(jié)：Z(t)為零均窄帶高斯過程，其。1.由可知，X(t)和Y(t)分別與XN(t)和YN(t)呈線性關(guān)系，而且二者分別是均值為和窄帶高斯過程；2．由可知，B(t)和Ф(t)與X(t)和Y(t)為非線性關(guān)系，令