ch1-9閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

連續(xù)的定義定義1

設(shè)在內(nèi)有定義，若

，那末就稱(chēng)在點(diǎn)連續(xù)，稱(chēng)為的連續(xù)點(diǎn)。復(fù)習(xí)定義2

設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,

若則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).

定義3設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義

稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).

(但在點(diǎn)x0的去心領(lǐng)域內(nèi)有定義)第一類(lèi)間斷點(diǎn):跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn).特點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)初等函數(shù)求極限的方法代入法.

第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

性質(zhì)一、最大值和最小值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理新課要掌握證明的技巧！

第一章

一、最大值和最小值定理最值定義:例如,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界并一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界并一定有最大值和最小值.2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.二、零點(diǎn)定理與介值定理定義定理2(零點(diǎn)定理)

設(shè)

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

,且

f(a)與

f(b)異號(hào)(即f(a)

f(b)<0),則至少存在一點(diǎn)

(a,b)使

f()=0.幾何解釋:1.若f(x)在開(kāi)區(qū)間連續(xù),定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.注意一個(gè)主要應(yīng)用：證明方程根的存在性或者證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性.例1另例證由零點(diǎn)定理,例2例3證由零點(diǎn)定理,設(shè)輔助函數(shù)是微積分證明中常用到的技巧之一.另例例4證:

設(shè)實(shí)系數(shù)奇次多項(xiàng)式為：不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則由零點(diǎn)定理，得即方程有實(shí)根.為奇數(shù)幾何解釋:Mf(b)f(a)mab定理3(介值定理)設(shè)

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

,且

f(a)f(b)則對(duì)介于f(a)與

f(b)之間的任意一個(gè)實(shí)數(shù)

,至少存在一點(diǎn)

(a,b)使

f()=.推論1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值

M

與最小值

m

之間的任何值.即推論1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例5即推論1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.推論2在閉區(qū)間上不為常數(shù)的連續(xù)函數(shù)把該區(qū)間映為閉區(qū)間.Mym0baxy=f(x)幾何解釋:如圖，將連續(xù)曲線弧y=f(x)(a≤x≤b)

向y

軸作投影，其投影必然是線段，而不會(huì)是支離破碎的點(diǎn)集三、小結(jié)三個(gè)定理最值定理;介值定理;零點(diǎn)(根的存在性)定理.注意1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點(diǎn)不滿(mǎn)足上述定理不一定成立．解題思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.輔助函數(shù)法:先