2017年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 圖形折疊問題及答案

2017年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圖形折疊問題及答案

2017年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圖形折疊問題及答案圖形折疊問題綜合復(fù)習(xí)一、選擇題：1.如圖，E是矩形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊到△AFE，F(xiàn)在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交DC于G點(diǎn)，若∠AEB=55°，則∠DAF=()答案：B.35°2.如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，則∠AED′等于（）答案：D.65°3.如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點(diǎn)B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，則矩形ABCD的面積是（）答案：A.124.如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，則DE長為（）答案：B.45.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF.若AB=3，則BC的長為（）答案：B.26.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為（）答案：C.87.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC的點(diǎn)F處．若AE=5，BF=3，則CD的長是（）答案：D.108.如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點(diǎn)C落在DP（P為AB中點(diǎn)）所在的直線上，得到經(jīng)過點(diǎn)D的折痕DE．則∠DEC的大小為（）答案：C.60°9.如圖，將邊長為12cm的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)E處，折痕為MN．若CE的長為7cm，則MN的長為（）答案：B.1310.如圖，將矩形紙片ABCD的四個角向內(nèi)翻折，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，則邊AD的長是()答案：C.20厘米11.如圖，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿對角線OB折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，OD與BC交于點(diǎn)E，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）答案：B.（5，8）1.在矩形紙片ABCD中，將紙片沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)F處，且∠AEF=∠CEF，則AB的長是____cm。2.在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一個動點(diǎn)，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1恰好落在∠BCD的平分線上時，CA1的長為____。3.在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)A′、D′處，且A′D′經(jīng)過點(diǎn)B，EF為折痕，當(dāng)D′F⊥CD時，∠CED的度數(shù)為____。21.如圖，矩形ABCD的邊長AB=8，AD=4。將△DCB沿BD所在直線翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，DF與AB交于點(diǎn)E。求cos∠ADE。解析：連接AC，因?yàn)榫匦蜛BCD中AC為對角線，所以AC=√(82+42)=√80。在△ADC中，cos∠ADE=DE/AC。因?yàn)镈F與AB交于點(diǎn)E，所以AB∥DF，因此△ADE與△DCF相似。根據(jù)相似比可得DE/DC=AD/DF=1/2，因此DE=2DC=2AB=16。所以cos∠ADE=DE/AC=16/√80=2/√5。22.如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB=8，AD=6。將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點(diǎn)為F。求△CEF的面積。解析：連接EF，因?yàn)锳E∥BC，所以△AED與△CEB相似。根據(jù)相似比可得CE/ED=CB/AD=4/3，因此CE=4/3×ED=4/3×AB=32/3。因?yàn)锳E=AD=6，所以DE=AE-AE/2=3。根據(jù)海倫公式可得△CEF的面積為√(s(s-CE)(s-DE)(s-EC))，其中s為半周長，s=(CE+EF+CF)/2=23/6。代入公式可得△CEF的面積為√(23/6×5/6×5/6×13/6)=25/4。23.將矩形ABCD沿折線EF折疊后點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)H處，且∠CHE=40°。求∠EFB。解析：連接BF，因?yàn)锳BCD是矩形，所以AD∥BC，因此∠ABF=∠HBC。因?yàn)锽恰好落在CD邊上的點(diǎn)H處，所以CH=BD=AB=BC，因此△BCH是等腰三角形，∠BCH=∠CBH=(180°-40°)/2=70°。因?yàn)镋F是折痕，所以EF∥AD，因此∠EFB=∠ABF=∠HBC=70°。24.在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，點(diǎn)P是AC上的一個動點(diǎn)。過點(diǎn)P作EF垂直于AC交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，將△AEF沿EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處。當(dāng)△A'CD是直角三角形時，求AP的長。解析：連接CF，因?yàn)锳BCD是菱形，所以AC是菱形的對角線之一，因此AC垂直于BD。因?yàn)镋F垂直于AC，所以EF∥BD，因此△AEF與△ACD相似。根據(jù)相似比可得AE/AC=EF/CD，因此EF=AE×CD/AC。因?yàn)锳'CD是直角三角形，所以CD=√(AC2-AD2)=√(82-52)=3√21。因?yàn)锳'CD是直角三角形，所以A'D=CD=3√21。因?yàn)锳'是AE的中點(diǎn)，所以AE=2A'D=6√21。因此EF=6√21×3/8=9√21/2。因?yàn)椤鰽EF與△A'CF相似，根據(jù)相似比可得AP/AC=EF/CF，因此AP=AC×EF/CF=8×9√21/(5+8)=72√21/13。25.如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD＝2AB。沿過點(diǎn)D的折痕DE將A角翻折，使點(diǎn)A落在BC上的A1處。求∠EA1B。解析：連接A1B，因?yàn)锳D=2AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠ABD。因?yàn)檎酆跠E是經(jīng)過點(diǎn)D的直線，所以DE∥AB，因此∠ADE=∠BAD。因?yàn)锳1是A在BC上的投影點(diǎn)，所以∠BA1D=90°。因?yàn)锳BCD是矩形，所以∠ABD=90°，因此△ABD與△BA1D相似。根據(jù)相似比可得BD/AB=BA1/BD，因此BA1=BD2/AB=AD2/AB=4。因?yàn)锳1是A在BC上的投影點(diǎn)，所以BA1=BC×sin∠EA1B，因此sin∠EA1B=1/2，∠EA1B=30°。26.如圖，將矩形紙片ABC(D)折疊，使點(diǎn)(D)與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，折痕為EF。求∠BEC的度數(shù)。解析：連接BE、CD，因?yàn)锽與D重合，所以BD=0，因此△BDE退化成一條直線，即DE∥BC。因?yàn)镋F是折痕，所以EF∥AB，因此BE∥CD。因?yàn)榫匦蜛BCD中AD∥BC，所以△BEC與△AED相似。根據(jù)相似比可得BE/ED=BC/AD=2，因此BE=2ED。因?yàn)榫匦蜛BCD中AB=BC，所以∠BAC=∠BCA。因?yàn)椤鰽ED與△BEC相似，所以∠BEC=∠AED。因?yàn)锳E=ED，所以∠AED=2∠BAE。因?yàn)榫匦蜛BCD中AB=BC，所以∠BAC=∠BCA=90°，因此∠BAE=45°，∠AED=90°-45°=45°，∠BEC=2∠AED=90°。27.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點(diǎn)，且。將紙片的一角沿過點(diǎn)B的直線折疊，使A落在MN上，落點(diǎn)記為A′，折痕交AD于點(diǎn)E，若M是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點(diǎn)（n≥2，且n為整數(shù)），求A′N的長度。解析：連接A′N、BD、DE，因?yàn)檎叫蜛BCD中AB=BC=CD=DA=1，所以AC=√2。因?yàn)镸是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點(diǎn)，所以DM/MN=n-1/n。因?yàn)檎酆凼墙?jīng)過點(diǎn)B的直線，所以BD是折痕，因此BD∥A′N。因?yàn)檎叫蜛BCD中AC垂直于BD，所以A′N∥AC。因此A′NBD是平行四邊形，因此A′N=BD=DE。因?yàn)锳E=AD-DE=1-DE，所以DE=1-AE。因?yàn)锳′是A在MN上的投影點(diǎn)，所以A′N=AN-A′A=AC×DM/MN-DE=√2×(n-1)/(n√2)-1+A′E。因?yàn)锳′E=DE=1-AE=1-(1-DE)=DE，所以A′N=√2×(n-1)/(n√2)-DE。因?yàn)镈E=1-AE，所以AE=DM/MN=n-1/n。代入可得A′N=√2/n。28.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處。（1）求矩形ABCD的面積；（2）當(dāng)△CEB′為直角三角形時，求BE的長度。解析：連接BB′，因?yàn)椤鰽BE與△BB′E相似，所以BE/AB=BB′/AE，因此BB′=BE×AE/AB=4BE/3。因?yàn)锽落在B′處，所以BB′=BC=8，因此BE=6。因?yàn)锳BCD是矩形，所以面積為AB×BC=6×8=48。29.如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3。求AB的長度。解析：連接BF，因?yàn)锳BCD是矩形，所以AC是對角線，所以AC=√(82+62)=√100=10。因?yàn)锳B邊與對角線AC重合，所以AB=AC=10。因?yàn)锽落在F處，所以BF=0，因此△ABF退化成一條直線，即AE∥CD。因?yàn)镋F是折痕，所以EF∥AD，因此AEFD是平行四邊形。因?yàn)锳E=AD-EF=8-3=5，所以CD=5。因?yàn)锳BCD是矩形，所以AB∥CD，因此△BFC與△ADE相似。根據(jù)相似比可得BF/AD=BC/AE，因此BC=BF×AE/AD=0×5/8=0。因?yàn)锽C=0，所以ABCD退化成一條線段，即AB=CD=8-3=5。30.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部。將AF延長交邊BC于點(diǎn)G。若AG=kAB，求CG的長度。解析：連接EG、AF、CG，因?yàn)锳E=ED，所以△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED。因?yàn)檎酆跘E是經(jīng)過點(diǎn)A的直線，所以AE∥BC，因此∠AFE=∠ACB。因?yàn)榫匦蜛BCD中AD∥BC，所以△AFE與△ACB相似。根據(jù)相似比可得AF/AC=AE/AB=1/2，因此AF=AC/2=4。因?yàn)锳G=kAB，所以AG+GB=AB，因此GB=AB-AG=(1-k)AB。因?yàn)椤鰽CB與△CGE相似，所以CG/AC=GE/BC=1/2，因此CG=AC/2=4。因?yàn)锳F=4，所以AG=4k。因?yàn)镚B=(1-k)AB，所以GB=(1-k)6，因此AG/GB=4k/(6-6k)=2/3，解得k=3/5。因此CG=4/2=2。31.如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1恰落在∠ADC的平分線上時，求DA1的長度。解析：連接A1C，因?yàn)锳BCD是矩形，所以AC是對角線，所以AC=√(52+62)=√61。因?yàn)檎酆跙E是經(jīng)過點(diǎn)B的直線，所以BE∥AD，因此AE=ED。因?yàn)辄c(diǎn)A1恰落在∠ADC的平分線上，所以∠AA1C=∠DA1C，因此△AA1C與△DA1C相似。根據(jù)相似比可得DA1/AC=AA1/AC=AA1/AB，因此DA1=AB×AA132.小明試圖將矩形紙片ABCD（如圖1，AD>CD）沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖2）；再沿過D點(diǎn)的直線折疊，使得C點(diǎn)落在DA邊上的點(diǎn)N處，E點(diǎn)落在AE邊上的點(diǎn)M處，折痕為DG（如圖3）。如果第二次折疊后，M點(diǎn)恰好在∠NDG的平分線上，那么矩形ABCD長與寬的比值為多少？33.如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點(diǎn)E為DC邊上的一個動點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形ABCD的對稱軸上時，則DE的長為多少？34.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，點(diǎn)E、F在矩形ABCD的邊AB、AD上運(yùn)動，將△AEF沿EF折疊，使點(diǎn)A′在BC邊上，當(dāng)折痕EF移動時，點(diǎn)A′在BC邊上也隨之移動。則A′C的取值范圍為多少？35.長為1，寬為a的矩形紙片（＜a＜1），如圖所示折疊。先剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作），再折疊剩下的矩形并剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作），如此反復(fù)操作下去。若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止。（I）第二次操作時，剪下的正方形的邊長為多少？（Ⅱ）當(dāng)n=3時，a的值為多少？（用含a的式子表示）36.問題情境：如圖將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在AD邊的中點(diǎn)F處，折痕EG分別交AB、CD于點(diǎn)E、G，F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M，連接BF交EG于點(diǎn)P。獨(dú)立思考：（1）AE=多少厘米，△FDM的周長為多少厘米？（2）猜想EG與BF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。拓展延伸：如圖2，若點(diǎn)F不是AD的中點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、D重合：①△FDM的周長是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論。②判斷（2）中的結(jié)論是否仍然成立，若不成立請直接寫出新的結(jié)論（不需證明）。37.長方形ABCD中，AD=10，AB=8，將長方形ABCD折疊，折痕為EF。（1）當(dāng)A′與B重合時（如圖1），EF的長度為多少？（2）當(dāng)直線EF過點(diǎn)D時（如圖2），點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在線段BC上，求線段EF的長度。（3）如圖3，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在線段BC上，E點(diǎn)在線段AB上，同時F點(diǎn)也在線段AD上，則A′在BC上的運(yùn)動距離為多少？38.感知：在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)F處，延長AF交CD于點(diǎn)G，連結(jié)FC，易證∠GCF=∠GFC．如果將圖中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，是否仍然有∠GCF=∠GFC？請說明理由。應(yīng)用：如圖②，若AB=5，BC=6，則△ADG的周長為16。探究：在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在平行四邊形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)F處，延長AF交CD于點(diǎn)G，連結(jié)FC。因?yàn)锳E和BC平行，所以∠ABE=∠FBC，所以EF=AB=5，AF=EB=BC/2=3。因?yàn)锳F和CD的交點(diǎn)G是AF的延長線上的點(diǎn)，所以AG=AF+FG=AF+FC，所以AG=3+GC。因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶吇ハ嗥叫?，所以∠GCF=∠AFD，而∠AFD=∠ABE，所以∠GCF=∠ABE。同理可證∠GFC=∠AEB，所以∠GCF=∠GFC。應(yīng)用：如圖②，連接DG，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶吇ハ嗥叫?，所以DG=AB=5，AD=BC=6，AG=3+GC，所以GC=AG-3=6，所以DC=GC+GD=11。因?yàn)锳D=6，所以AG=3+GC=9，所以GD=AD-AG=-3，所以AG+GD=6，所以ADG的周長為16。39.（1）觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖①）；在第一次的折疊基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖②）。小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由。小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形。我們來證明一下。因?yàn)锳C是AB的中線，所以AD=DC。因?yàn)榈诙握郫B后點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，所以EF=AD=DC，所以EF=DC。因?yàn)椤螦ED=∠DEC，所以△AED≌△DEC，所以∠A=∠D，所以△AEF是等腰三角形。（2）實(shí)踐與運(yùn)用：將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖③）；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D′處，折痕為EG（如圖④）；再展平紙片（如圖⑤），求圖⑤中∠α的大小。連接AD′，因?yàn)椤鰽BF≌△D′BE，所以∠BFE=∠EBD′，因?yàn)锽E和D′E重合，所以∠BFE=∠D′EC，所以△BFE∽△DEC，所以BF/DE=FE/EC，所以BF/BE=FE/ED，所以△BFE∽△BED，所以∠BFE=∠BED，所以∠α=∠BFE+∠BED=180°-∠EBF=180°-90°-∠ABD′=90°-∠ABD′。因?yàn)锳BCD是矩形，所以∠ABD′=∠BCD=90°，所以∠α=90°-90°=0°。所以∠α的大小為0°。根據(jù)折疊知，