2019年新課堂高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)文科第九章5講用樣本估計(jì)總體配套課件

第5講

用樣本估計(jì)總體考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們2013年新課標(biāo)Ⅰ第18題考查求平均數(shù)及莖葉圖；由于高考對統(tǒng)計(jì)考查的覆蓋面廣，幾乎對所有的統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)都有所涉及，包括樣本的頻率分布(折線圖、直方圖、莖葉圖)中的有關(guān)計(jì)算，樣本特征數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)的計(jì)算.復(fù)習(xí)時，對于統(tǒng)計(jì)的任何環(huán)節(jié)都不能遺漏，最主要的是掌握好統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識，適度的題量練習(xí).高考對頻率分布直方圖或莖葉圖與概率相結(jié)合的題目考查日益頻繁.因此，復(fù)習(xí)時要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，弄清圖表中有關(guān)量的含義，并從中提煉出有用的信息，為后面的概率計(jì)算打好基礎(chǔ)各自的特點(diǎn).2014

年新課標(biāo)Ⅱ第19

題考2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和查求中位數(shù)及莖葉圖；作用，會計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.2014

年新課標(biāo)Ⅰ第18

題完3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)成頻率分布直方圖、平均數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并給及方差及用樣本估計(jì)總體思出合理的解釋.想應(yīng)用；4.會用樣本的頻率分布估計(jì)總體2016

年新課標(biāo)Ⅰ第19

題考分布，會用樣本的基本數(shù)字特征查用樣本估計(jì)總體思想應(yīng)估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用；用樣本估計(jì)總體的思想.2017

年新課標(biāo)Ⅰ第2

題考查5.會用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、本估計(jì)總體的思想解決一些簡單標(biāo)準(zhǔn)差等的實(shí)際問題1.用樣本估計(jì)總體通常我們對總體作出的估計(jì)一般分成兩種：一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布；另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.2.統(tǒng)計(jì)圖(1)頻率分布直方圖.①求極差：極差是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差.②決定組距和組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100

時，常分成5～極差12組，組距＝

組數(shù)

；③將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間，也可以將樣本數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)分組.④列頻率分布表：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.將樣本數(shù)據(jù)分成若干個小組，每個小組內(nèi)的樣本個數(shù)稱作頻數(shù)，頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率.頻率反映各個數(shù)據(jù)在每組所占比例的大小.⑤繪制頻率分布直方圖：把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組距，然后以線段為底作一小長方形，它的高等于該組的組距頻率，這樣得到一系列的長方形，每個長方形的面積恰好是該組上的頻率.這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖，各個長方形的面積總和等于

1

.(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線.①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各長方形上端的中點(diǎn)，就得頻率分布折線圖.②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，在統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲線.(3)莖葉圖.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄信息，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便.3.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).①眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.2

n即－x

＝n(x1＋x

＋…＋x

).據(jù)的眾數(shù).②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在

最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).③平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，1(2)樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差.①標(biāo)準(zhǔn)差s＝1n1[(x

－

x—22)＋(x

－

x—2n)＋…＋(x

－

x—2)](其中xn

是樣本數(shù)據(jù)的第n

項(xiàng)，n

是樣本容量，x是平均數(shù)

).②標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方.通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣本容量接近總體容量時，樣本方差接近總體方差.1.(2017

年江西南昌二模)圖951

是一樣本的頻率分布直方圖.若樣本容量為

100，則樣本數(shù)據(jù)在[15,20)內(nèi)的頻數(shù)是(

)A.50B.40圖951C.30D.14解析：因?yàn)閇15,20)對應(yīng)的小矩形的面積為1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以樣本落在[15,20)的頻數(shù)為0.3×100＝30.故選C.答案：C2.(2015

年重慶)重慶市2013

年各月的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖

952，則這組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是(

)圖952A.19

B.20

C.21.5

D.23解析：由莖葉圖可知總共12

個數(shù)據(jù)，處在正中間的兩個數(shù)是第6

和第7

個數(shù)，它們都是20，由中位數(shù)的定義可知：其中位數(shù)就是20.故選B.B3.(2015

年廣東)已知樣本數(shù)據(jù)

x1，x2，…，xn

的均值

x

＝5，則樣本數(shù)據(jù)

2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1

的均值為

11

.解析：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1，x2，…，xn

的均值x

＝5，所以樣本數(shù)據(jù)2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1

的均值為2x

＋1＝2×5＋1＝11.4.(2016

年上海)某次體檢，6

位同學(xué)的身高(單位：米)分別為

1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是

1.76

(單位：米).解析：將這6位同學(xué)的身高按照從矮到高排列為：1.69,1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，這6

個數(shù)的中位數(shù)是1.75

與1.77

的平均數(shù)，顯然為1.76.考點(diǎn)1樣本的數(shù)字特征例1：(1)(2017

年新課標(biāo)Ⅰ)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n

塊地作試驗(yàn)田.這n

塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(

)A.x1，x2，…，xn的平均數(shù)

C.x1，x2，…，xn的最大值B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差

D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)解析：刻畫評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差.故選B.答案：B(2)(2017

年湖南衡陽四中統(tǒng)測)10

名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是

15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為

b，眾數(shù)為

c，則有(

)A.a>b>cC.c>a>bB.b>c>aD.c>b>a解析：∵生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，總和為

147，∴平均數(shù)

a

147

14.7；＝

10

＝樣本數(shù)據(jù)17

出現(xiàn)次數(shù)最多，為眾數(shù)，即c＝17；從小到大排列中間2

個數(shù)的平均數(shù)，即中位數(shù)b＝15.∵17＞15＞14.7，∴c＞b＞a.答案：D丙班成績分?jǐn)?shù)708090100人數(shù)4664甲班成績分?jǐn)?shù)708090100人數(shù)5555(3)甲、乙、丙三個班各有20

名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試后，三個班學(xué)生的成績與人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：乙班成績分?jǐn)?shù)708090100人數(shù)6446s1，s2，s3

分別表示甲、乙、丙三個班本次考試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則(

)A.s2>s1>s3C.s1>s2>s3B.s2>s3>s1D.s3>s1>s2解析：三個班本次考試成績的均值都為85，由標(biāo)準(zhǔn)差的幾何意義得，標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)偏離于均值的平均程度越小，因此s2

最大，s3

最小.故選A.答案：A考點(diǎn)2莖葉圖的應(yīng)用例2：(2014

年新課標(biāo)Ⅱ)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50

位市民，根據(jù)這50

位市民對這兩部門的評分(評分越高表明市民的評價越高)，繪制莖葉圖(如圖953).圖9-5-3(1)分別估計(jì)該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)；

(2)分別估計(jì)該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90

分的概率；(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.解：(1)由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25,26

位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計(jì)值是75.50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25,26

位2的是66,68，故樣本中位數(shù)為66＋68＝67.所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.(2)由所給莖葉圖知，50

位市民對甲、乙部門的評分高于90分的比率分別為5

8

50

50＝0.1，

＝0.16.故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90

分的概率的估計(jì)值分別為0.1,0.16.(3)由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門

的評分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對乙部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市

民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差別較大.(注：考生利用其他統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析，結(jié)論合理的同樣給分)【互動探究】1.(2017

年山東)如圖954

所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5

名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則

x

和

y

的值分別為(

A

)A.3,5

B.5,5圖954C.3,7

D.5,7解析：甲組中位數(shù)為65，所以乙組中位數(shù)也為65，故y＝5，乙組平均數(shù)為66，所以56＋62＋65＋74＋70＋x＝66×5，x＝3.故選A.2.若某校高一年級8

個班參加合唱比賽的得分莖葉圖(如圖955)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(

A

)A.91.5

和91.5C.91

和91.5圖955B.91.5

和92D.92

和92解析：這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，294

，

96.

∴

中

位

數(shù)

是

91＋92

＝

91.5

，

平

均

數(shù)

x

＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.3.如圖956所示的莖葉圖是甲、乙兩位同學(xué)在期末考試中的六科成績，已知甲同學(xué)的平均成績?yōu)?5，乙同學(xué)的六科成績的眾數(shù)為

84，則

x＋y＝

10

.圖956解析：x

甲＝75＋82＋84＋

80＋x

＋90＋936＝85，x＝6.又∵乙同學(xué)的成績眾數(shù)為84，∴y＝4.∴x＋y＝10.質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)頻數(shù)62638228考點(diǎn)3頻率分布直方圖的繪制及其應(yīng)用例3：(2014年新課標(biāo)Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100

件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：(1)如圖957，在表格中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：圖957(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95

的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？解：(1)頻率分布直方圖如圖D67：圖D67(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為x

＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120

×0.08＝100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95

的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68，由于該估計(jì)值小于0.8.故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95

的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定.【規(guī)律方法】用頻率分布直方圖解決相關(guān)問題時，應(yīng)正確理解圖表中各個量的意義，識圖掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵.頻率分布直方圖有以下幾個要點(diǎn)：組距①縱軸表示頻率；②頻率分布直方圖中各長方形高的比也就是其頻率之比；③直方圖中每一個矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個區(qū)間上的頻率，所有的小矩形的面積之和等于1，即頻率之和為1.【互動探究】4.某學(xué)校隨機(jī)抽取20

個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖958.以組距為5

將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時，所作的頻率分布直方圖是(

)圖958ACBD分組頻數(shù)頻率頻率組距[0,5)10.050.01[5,10)10.050.01[10,15)40.200.04[15,20)20.100.02[20,25)40.200.04[25,30)30.150.03[30,35)30.150.03[35,40]20.100.02合計(jì)201.000.20解析：根據(jù)題意，列頻率分布表得：故選A.答案：AA.55

B.65圖959C.75

D.852解析：由直方圖可得眾數(shù)大約為70＋80

75.＝5.(2015

年江西南昌模擬)某中學(xué)為了檢驗(yàn)1000名在校高三學(xué)生對函數(shù)模塊掌握的情況，進(jìn)行了一次測試，并把成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的樣本頻率分布直方圖如圖959，則考試成績的眾數(shù)大約為(C

)6.(2016

年寧夏固原模擬)某小區(qū)共有1000

戶居民，現(xiàn)對他們的用電情況進(jìn)行調(diào)查，得到頻率分布直方圖如圖

9510，則該小區(qū)居民用電量的中位數(shù)為

，平均數(shù)為

.圖95100.02×20

0.1

解析：中位數(shù)為：150＋(170－150)×

＝155.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x

＝0.005×20×120＋0.015×20×140＋0.020

×20

×160＋0.005

×20

×180＋0.003

×20

×200＋0.002×20×220＝156.8.答案：155

156.8難點(diǎn)突破⊙函數(shù)思想在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用在高考中常以頻率分布直方圖或莖葉圖的形式出現(xiàn)，考查統(tǒng)計(jì)與概率的知識，這也是近幾年高考出題的熱點(diǎn).例題：(2016

年新課標(biāo)Ⅰ)某公司計(jì)劃購買1

臺機(jī)器，該種

機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，

可以額外購買這種零件作為備件，每個200

元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500

元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100

臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖9511：記x

表示1臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1

臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)，n表示購機(jī)的同時購買的易損零件數(shù).圖9511若n＝19，求y

與x的函數(shù)解析式；若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n

的最小值.(3)假設(shè)這100

臺機(jī)器在購機(jī)的同時每臺都購買19

個易損零件，或每臺都購買20

個易損零件，分別計(jì)算這100

臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機(jī)器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18

的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n

的最小值為19.若每臺機(jī)器在購機(jī)同時都購買19個易損零件，則這100臺機(jī)器中有70

臺在購買易損零件上的費(fèi)用為3800,20

臺的費(fèi)用為4300,10

臺的費(fèi)用為4800，因此這100

臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為：y＝解：(1)當(dāng)x≤19

時，y＝3800；當(dāng)x>19

時，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.所以y

與x

的函數(shù)解析式為3800，x≤19，500x－5700，x>19，(x∈N).

1

×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000.100若每臺機(jī)器在購機(jī)同時都購買20

個易損零件，則這100

臺機(jī)器中有90

臺在購買易損零件上的費(fèi)用為4000,10

臺的費(fèi)用為4500，因此這100

臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為：

1

×(4000×90＋4500×10)＝4050.100比較兩個平均數(shù)可知，購買1