金融風(fēng)險(xiǎn)理論第4章課件

金融風(fēng)險(xiǎn)理論第4章波動(dòng)率方法1單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)度量假設(shè)某種金融資產(chǎn)收益率r為隨機(jī)變量，其預(yù)期收益率即數(shù)學(xué)期望為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ。σ也稱為波動(dòng)系數(shù)，可反映資產(chǎn)收益率r偏離于其預(yù)期收益率即數(shù)學(xué)期望μ的幅度。所以，我們可用標(biāo)準(zhǔn)差σ來(lái)計(jì)量該資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。σ越大，說(shuō)明該資產(chǎn)收益率的波動(dòng)性越大，從而面臨的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)越大。σ越小，說(shuō)明該資產(chǎn)收益率的波動(dòng)性越小，從而面臨的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)越小。2345波動(dòng)率的定義某個(gè)變量的波動(dòng)率σ定義為這一變量在單位時(shí)間內(nèi)連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差.假設(shè)Si為市場(chǎng)變量的時(shí)間i的價(jià)格，每天的波動(dòng)率為的標(biāo)準(zhǔn)差.研究證明在交易所開(kāi)盤交易時(shí)的波動(dòng)率比交易所關(guān)閉時(shí)的波動(dòng)率要大很多，因此，當(dāng)由歷史數(shù)據(jù)估計(jì)波動(dòng)率時(shí)，分析員常常忽略交易所關(guān)閉的天數(shù)，在計(jì)算時(shí)通常假定每年有252個(gè)交易日.年波動(dòng)率是日波動(dòng)率的倍.方差被定義為波動(dòng)率的平方.隱含波動(dòng)率期權(quán)公式中唯一不能直接觀察到得一個(gè)參數(shù)就是股票價(jià)格的波動(dòng)率。隱含波動(dòng)率是交易員從期權(quán)價(jià)格隱含反推計(jì)算出的波動(dòng)率。VIXIndex:AMeasureoftheImpliedVolatilityoftheS&P500VIX指數(shù)8匯率的日變化量是否服從正態(tài)分布RealWorld(%)NormalModel(%)>1SD25.0431.73>2SD5.274.55>3SD1.340.27>4SD0.290.01>5SD0.080.00>6SD0.030.00采用10年12種匯率的日變化來(lái)衡量是否服從正態(tài)分布。

計(jì)算每一個(gè)匯率的價(jià)格百分比變化的標(biāo)準(zhǔn)差；

計(jì)算有多少百分比變化超過(guò)1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差、2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差等。肥尾性匯率的每日變化量并不服從正態(tài)分布。所服從分布的尾部比正態(tài)分布的尾部要肥大；其峰值要比正態(tài)分布的峰值要高。肥尾分布所對(duì)應(yīng)的極大及極小變化數(shù)量事件比在正態(tài)分布中相應(yīng)數(shù)量要多。很多市場(chǎng)變量都有這種被稱為肥尾的特性。正態(tài)分布和肥尾分布正態(tài)分布的代替：冪律

Prob(v>x)=Kx-a

K和為常數(shù)。在分析很多市場(chǎng)變量的收益行為時(shí)，冪律似乎要比正態(tài)分布更好。因此可以畫出ln[Prob(v>x)]與lnx的關(guān)系曲線來(lái)快速檢驗(yàn)等式的正確性。對(duì)應(yīng)于匯率增量的log-log圖估計(jì)波動(dòng)率的標(biāo)準(zhǔn)方法定義sn為第n-1天所估計(jì)的市場(chǎng)變量在第n天的波動(dòng)率。定義Si為市場(chǎng)變量在第i天末的價(jià)格。定義第i天連續(xù)復(fù)利收益率波動(dòng)率等于連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差簡(jiǎn)化形式定義假定的均值為0；m-1被m代替；于是方差公式簡(jiǎn)化為加權(quán)權(quán)重的格式對(duì)等權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)

其中ARCH（m）模型在ARCH（m）模型中，我們也給長(zhǎng)期平均方差設(shè)定權(quán)重：其中指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（EWMA）模型在指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型中，其權(quán)重隨著回望時(shí)間加長(zhǎng)而按指數(shù)速度遞減因此，更新波動(dòng)率的公式為EWMA的誘人之處需要的數(shù)據(jù)相對(duì)較少。僅需記憶對(duì)當(dāng)前波動(dòng)率的估計(jì)以及市場(chǎng)變量的最新觀察值。對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行跟蹤監(jiān)測(cè)。RiskMetrics采用λ=0.94來(lái)更新每天波動(dòng)率的估計(jì)。GARCH（1,1）在GARCH（1，1）中，我們賦予長(zhǎng)期平均方差一定的權(quán)重因?yàn)闄?quán)重之和為1，故有

令，可以將GARCH（1,1）模型寫成

其中這種模型的表達(dá)形式是為了估計(jì)參數(shù)。例10-8若每天長(zhǎng)期平均方差為0.0002，對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率為1.4%。假設(shè)對(duì)應(yīng)于n-1天的日波動(dòng)率估算值為1.6%，n-1天市場(chǎng)價(jià)格降低1%。則第n天的方差為新波動(dòng)率的最新估計(jì)為每天1.53%。GARCH（p,q）廣義模型GARCH(p,q)中歷史波動(dòng)率要用最近的q個(gè)，觀測(cè)值要用最近的p個(gè)，因此有其它模型許多其它的GARCH模型已被提出。比如，我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)GARCH模型，使其賦予的權(quán)重依賴于的正負(fù)值。方差目標(biāo)一種估計(jì)GARCH（1,1）參數(shù)的很好方法是所謂的方差目標(biāo)。將長(zhǎng)期平均方差設(shè)定為由數(shù)據(jù)計(jì)算出的抽樣方差。模型只需要估計(jì)兩個(gè)參數(shù)。最大似然估計(jì)法參數(shù)估計(jì)方法

巨估計(jì)法極大似然估計(jì)法選擇合適的參數(shù)使得數(shù)據(jù)發(fā)生的幾率達(dá)到最大構(gòu)造似然函數(shù)對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，并令其等于0解方程得到參數(shù)的最大似然估計(jì)例1隨機(jī)抽取某一天10只股票的價(jià)格，我們發(fā)現(xiàn)一只股票價(jià)格在這一天價(jià)格下降了，而其它9只股票的價(jià)格有所增加或至少?zèng)]有下跌，將任意股票價(jià)格下降的概率計(jì)為p。那么，一只股票價(jià)格下降的概率的最好估計(jì)為多少？概率為。使上式取最大值，觀察其最大似然估計(jì)：p=0.1。例2估計(jì)常數(shù)方差估計(jì)一個(gè)變量服從均值為0的正態(tài)分布的方差對(duì)求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為0，得：GARCH（1,1）的應(yīng)用在方差一定的條件下，ui的條件分布為正態(tài)分布。選擇參數(shù)，最大化下式其中日元匯率數(shù)據(jù)的計(jì)算DaySiuivi=si2-lnvi-ui2/vi10.00772820.0077790.00659930.007746-0.0042420.000043559.628340.0078160.0090370.000041988.132950.0078370.0026870.000044559.8568….24230.0084950.0001440.000084179.382422063.5833日元/美元日波動(dòng)率：1988-1997EWMA模型的參數(shù)估計(jì)EWMA模型因?yàn)?，我們只需估?jì)一個(gè)參數(shù)。參數(shù)估計(jì)可以通過(guò)Excel軟件中的Solver功能實(shí)現(xiàn)。未來(lái)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)在n-1天結(jié)束時(shí)估算第n天得方差為因此在第n+t天的期望值為，因此經(jīng)過(guò)一系列的代數(shù)過(guò)程，可得：估計(jì)一個(gè)期限為T天的期權(quán)的波動(dòng)率，我們必須對(duì)即時(shí)方差求從0到T的積分。其中對(duì)于一個(gè)期限為T的期權(quán)，其年波動(dòng)率為波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)期權(quán)的波動(dòng)率和期權(quán)期限之間的關(guān)系被稱為波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)。

GARCH(1,1)模型允許我們預(yù)測(cè)波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的改變。當(dāng)σ(0)的變化量為Δσ(0)，GARCH(1,1)預(yù)測(cè)的σ(T)的相應(yīng)變化量為波動(dòng)性方法的優(yōu)點(diǎn)含義清楚。應(yīng)用比較簡(jiǎn)單。波動(dòng)性方法的不足對(duì)資產(chǎn)組合未來(lái)收益率概率分布的準(zhǔn)確估計(jì)比較困難，普遍使用的正態(tài)分布常常偏離實(shí)際。波動(dòng)性方法僅僅描述了資產(chǎn)組合未來(lái)收益的波動(dòng)程度，并不能說(shuō)明資產(chǎn)組合價(jià)值變化的方向。同靈敏度方法一樣，波動(dòng)性方法也不能給出資產(chǎn)組合價(jià)值變化的具體數(shù)值。協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)變量和的相關(guān)系數(shù)被定義為協(xié)方差為獨(dú)立性兩個(gè)變量中，其中任意一個(gè)變量的信息（觀測(cè)值）不會(huì)影響另一個(gè)變量的分布，那么兩個(gè)變量在統(tǒng)計(jì)上被定義為獨(dú)立。如果成立，式中代表變量的概率密度函數(shù)，則V1和V2是相互獨(dú)立的。獨(dú)立性并不等同于0相關(guān)假定變量=-1，0，+1（等可能）；如果=-1或=+1，那么=1；如果=0，那么=0；可以清楚地看到和有某種關(guān)聯(lián)性，但是其相關(guān)系數(shù)為0。相關(guān)系數(shù)只是用于表達(dá)變量之間的某種相關(guān)性，這種相關(guān)性只是一種線性的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而變量之間可以由許多不同形式的關(guān)聯(lián)關(guān)系。幾種不同的關(guān)聯(lián)形式a)線性關(guān)系；b)V形狀關(guān)聯(lián)關(guān)系；c)金融變量的相關(guān)性市場(chǎng)正常變化時(shí)，變量之間的關(guān)聯(lián)性很弱；在市場(chǎng)危機(jī)狀態(tài)時(shí)，所有的相關(guān)性趨向于1。監(jiān)測(cè)相關(guān)系數(shù)定義及并且，：以第n-1天估計(jì)的X的日方差：以第n-1天估計(jì)的Y的日方差：以第n-1天估計(jì)的協(xié)方差相關(guān)系數(shù)為協(xié)方差第n天的協(xié)方差為經(jīng)常被簡(jiǎn)化為用m個(gè)觀察值為估計(jì)方差的估計(jì)第n天相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值監(jiān)測(cè)相關(guān)系數(shù)（continued）EWMA：GARCH（1,1）：和的二元正態(tài)分布假定兩個(gè)變量及服從二元正態(tài)分布，變量的某個(gè)觀察值為，在的條件分布為正態(tài)分布，期望值為標(biāo)準(zhǔn)差為其中及分別為及的期望值；及分別為及的標(biāo)準(zhǔn)差，為及的相關(guān)系數(shù)。多變量正態(tài)分布很容易處理。方差-協(xié)方差矩陣定義了方差和變量間的相關(guān)系數(shù)。要滿足內(nèi)部一致性條件方差-協(xié)方差矩陣就必須是半正定的。生成隨機(jī)樣本在Excel中，采用指令=NORMSINV(RAND())來(lái)生成服從正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。首先生成兩個(gè)服從正態(tài)分布并且相互獨(dú)立的速記抽樣z1和z2然后，定義

就是二元正態(tài)隨機(jī)變量的隨機(jī)抽樣。對(duì)于產(chǎn)生多元聯(lián)合正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣要采用Cholesky分解的方法。

因子模型對(duì)N個(gè)變量之間的相關(guān)性進(jìn)行估計(jì)，我們需要估計(jì)N(N-1)/2個(gè)參數(shù)。采用因子模型進(jìn)行估計(jì)，我們就可以減少估計(jì)參數(shù)的數(shù)量。單因子模型假設(shè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可設(shè)其中共同因子和特異因子均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，Zi之間也相互獨(dú)立。和的相關(guān)系數(shù)為。多因子模型單因子模型可以推廣到M個(gè)因子其中共同因子

和特異因子均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相互獨(dú)立。和的相關(guān)系數(shù)為。高斯Copula模型假設(shè)我們希望在不服從正態(tài)分布的兩變量和

之間定義一種相關(guān)結(jié)構(gòu)。我們將變量和映射到及上，這里的及均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這種映射為分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射。假定和的聯(lián)合分布為二元正態(tài)分布。V間的相關(guān)結(jié)構(gòu)是通過(guò)U間的相關(guān)結(jié)構(gòu)定義的-6-4-20246U1U2One-to-onemappingsCorrelationAssumptionV1V2-6-4-20例子V1和V2的邊際分布均為三角分布，兩個(gè)變量均介于0與1之間。V1V2V1到U1的映射進(jìn)行分位數(shù)之間的一一映射，V1分布上1%的分位數(shù)被映射到U1分布上得1%分位數(shù)，2%映射到2%，等等。V1PercentileU10.220-0.840.4550.130.6800.840.8951.64V2到U2的映射進(jìn)行分位數(shù)之間的一一映射，V2分布上1%的分位數(shù)被映射到U2分布上得1%分位數(shù)，2%映射到2%，等等。V2PercentileU20.28?1.410.432?0.470.6680.470.8921.41計(jì)算聯(lián)合概率分布的例子和都小于0.2的概率等于和的概率。當(dāng)Copula相關(guān)系數(shù)等于0.5時(shí)，

M（-0.84,-1.41，0.5）=0.043M是二元正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。Copula函數(shù)的表達(dá)形式假定G1和G2分別為V1和V2的邊際概率分布函數(shù)，我們將V1=v1映射到U1=u1，V2=v2映射到U2=u2，映射方式如下

G1(v1)=N(u1)及G2(v2)=N(u2)

其中N為累積正態(tài)分布函數(shù)。因此，有變量U1和U2被假設(shè)為服從二元正態(tài)分布，Copula函數(shù)的主要特征就是在定義其相關(guān)結(jié)構(gòu)時(shí)，V1和V2的邊際分布沒(méi)有改變。

其它Copula模型還有許多其它Copula函數(shù)可以用于描述相關(guān)結(jié)構(gòu)。一種可能是二元學(xué)生t-分布。二元正態(tài)分布用二元學(xué)生t-分布代替。二元正態(tài)分布的5000個(gè)隨機(jī)樣本二元學(xué)生t-分布的5000個(gè)隨機(jī)樣本二元t-分布中兩個(gè)變量同時(shí)出現(xiàn)尾部值的情形要多于在二元正態(tài)分布中兩個(gè)變量同時(shí)出現(xiàn)尾部值的情形。二元t-分布的尾部的相關(guān)性要大于二元正態(tài)分布的尾部相關(guān)性。多元Copula函數(shù)類似地，我們可以對(duì)V1，V2，…，Vn定義Copula函數(shù)。我們將Vi映射到Ui，其中Ui服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（這里的映射是分位數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)）。假定Ui服從多元正態(tài)分布。因子Copula模型在因子Copula模型中，變量Ui之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)通常被假定由一個(gè)或多個(gè)因子來(lái)決定。其中共同因子F和特異因子Zi均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，Zi之間也相互獨(dú)立。CreditDefaultCorrelationThecreditdefaultcorrelationbetweentwocompaniesisameasureoftheirtendencytodefaultataboutthesametime.Defaultcorrelationisimportantinriskmanagementwhenanalyzingthebenefitsofcreditriskdiversification.Itisalsoimportantinthevaluat