多元多維的幾何課程課件

多元多維的幾何課程王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系Jmingwang@163.com2023/7/201我們交流的共識(shí)（公理）1.我們應(yīng)該繼承人類優(yōu)秀的文化遺產(chǎn)；2.對歷史的研究必須借助文獻(xiàn)資料；3.每個(gè)人的陳述應(yīng)該有論據(jù)支持；4.論據(jù)或者是歷史的或者是實(shí)證的。2023/7/202

空間認(rèn)識(shí)對于解釋、理解和欣賞我們周圍的幾何世界是必要的（NCTM）幾何就是把握空間……那是兒童生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)的空間。為了更好地在這個(gè)空間里生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)，兒童必須學(xué)習(xí)了解、探究和征服空間（Freudenthal）由于實(shí)踐活動(dòng)和人類描述自己周圍環(huán)境的需要便產(chǎn)生了幾何形式，并在它們具有了自己特有的抽象意義時(shí)慢慢地被概念化。如來自地球測量實(shí)踐的理論就發(fā)展了一系列關(guān)系和定理，在歐幾里得原理中對所有這些知識(shí)進(jìn)行的收集、綜合和詳盡闡述，達(dá)到了這種理論的頂點(diǎn)（Fehr）方程正是數(shù)學(xué)中令人厭煩的部分，我設(shè)法用幾何來理解事物（Hawking）陳省身：幾何學(xué)將是21世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的前沿陣地之一姜伯駒：幾何學(xué)正在迎來一個(gè)新的高潮王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/203主要話題一、多元多維的幾何課程二、幾何直觀與幾何直覺三、古典幾何與幾何證明四、幾何為什么“折磨”人類長達(dá)數(shù)千年之久，并且看不到盡頭王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/204多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注中國本土文化的傳承與發(fā)展主要結(jié)論王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/205多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展（1）古典幾何的地位、價(jià)值與不足；（2）幾何學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)；（3）幾何學(xué)是重要的學(xué)科王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/206多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展（1）古典幾何的地位、價(jià)值與不足；古希臘幾何和《幾何原本》對人類文明和科學(xué)發(fā)展的歷史地位是怎么估計(jì)都不過分的—數(shù)學(xué)意義上的證明（泰勒斯、柏拉圖、亞里士多德為首創(chuàng)[D]P40）、公理化（歐多克斯、歐幾里德）古希臘幾何不存在函數(shù)[Q]P37：古希臘幾何主要是靜止的幾何，“運(yùn)動(dòng)派”占少數(shù)；他們不需要計(jì)算分?jǐn)?shù)—從“數(shù)量之間的相對關(guān)系”出發(fā)認(rèn)識(shí)，他們通過幾何對象的“比”來定義“度量”。觀點(diǎn)：古典幾何沒有分?jǐn)?shù)，只有比和比例；不太關(guān)注應(yīng)用，更關(guān)注精神與理性思辨；古典幾何課程在科學(xué)和數(shù)學(xué)教育上的價(jià)值，在今天看來，遠(yuǎn)遠(yuǎn)要大于它們在“數(shù)學(xué)”發(fā)展上的價(jià)值。王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/207多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展（2）幾何學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)幾何學(xué)的幾個(gè)階段（[項(xiàng)武義]P2)：實(shí)驗(yàn)幾何、推理幾何、坐標(biāo)解析幾何、向量幾何現(xiàn)代幾何的發(fā)展脈絡(luò)（陳省身.tw/articles/sm/sm_18_06_1/index.html）：歐氏幾何、非歐幾何、坐標(biāo)幾何、群的幾何、古典微分幾何、現(xiàn)代微分幾何、拓?fù)鋷缀沃饕獨(dú)v史事件：王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/208幾何學(xué)的發(fā)展大事記歐幾里德：公元前300年，《幾何原本》和原始公理化思想笛卡爾解析幾何：1596～1650年，幾何與代數(shù)結(jié)合非歐幾何：第五公設(shè)問題，普雷菲（1795），薩開里（1697），勒讓德（1794），高斯（1817），鮑耶（1823），羅巴切夫斯基（1829）黎曼幾何：黎曼（1854） 距離s和ds2就是幾何-局部幾何王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/209幾何學(xué)的發(fā)展大事記群幾何觀：彭賽列（Poncelet1788～1867）射影幾何， 克萊恩（F.Klein1849～1925）

Erlangen

剛領(lǐng)：變換群下的不變量拓?fù)鋵W(xué)：歐拉和哥尼斯堡七橋問題（1736） 歐拉公式，凱利（1872）四色問題， 吳示性類微分幾何：歐拉、蒙日、高斯、黎曼、E.Cartan、

陳省身1942、1945“陳示性類”代數(shù)幾何、分形幾何王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2010多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展（2）幾何學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)觀點(diǎn)：幾何學(xué)經(jīng)歷了一個(gè)由靜態(tài)幾何到動(dòng)態(tài)幾何的發(fā)展過程；幾何學(xué)經(jīng)歷了一個(gè)由綜合幾何到代數(shù)與幾何結(jié)合的過程，并最終走向幾何代數(shù)化、幾何機(jī)械化的過程；幾何學(xué)經(jīng)歷了一個(gè)由物質(zhì)世界的觀察（古埃及與古巴比倫幾何）到理性幾何，再應(yīng)用于物理學(xué)（特別是牛頓的微積分和力學(xué)），到與現(xiàn)代理論物理和宇宙理論相結(jié)合的過程。動(dòng)態(tài)代數(shù)化物理世界王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2011多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展（3）幾何學(xué)是重要的學(xué)科（數(shù)學(xué)中幾個(gè)重要的發(fā)展階段都與幾何學(xué)有直接或間接的關(guān)系）無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)—不可公度量、輾轉(zhuǎn)相除法、極限思想、實(shí)數(shù)理論的原始模型坐標(biāo)解析幾何—代數(shù)進(jìn)入幾何對象的研究，一直指引著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究范式，數(shù)形結(jié)合；現(xiàn)代函數(shù)思想的產(chǎn)生非歐幾何的產(chǎn)生—導(dǎo)致對元數(shù)學(xué)的研究、現(xiàn)代公理化的催產(chǎn)者現(xiàn)代微分幾何—相對論的搖籃觀點(diǎn)：在數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)中幾何只能得到加強(qiáng)，也只會(huì)得到加強(qiáng)，比如特別典型的是世界各國的高中課程。王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2012多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展我國義務(wù)階段幾何課程圖形的認(rèn)識(shí)：點(diǎn)、線、面、三角形、四邊形、圓、作圖與視圖圖形與變換：三種基本變換和相似變換圖形與坐標(biāo)：位置和方位的確定圖形與證明：三角形、四邊形基本性質(zhì)的證明王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2013多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展我國高中階段幾何課程圖形的認(rèn)識(shí)：立體幾何、球面幾何、解三角形圖形與變換：歐拉公式與閉曲面分類、對稱與群、矩陣與變換圖形與坐標(biāo)：平面解析幾何、平面向量、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何、坐標(biāo)系與參數(shù)方程圖形與證明：幾何證明選講、三等分角與數(shù)域擴(kuò)充王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2014多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展

多元多維的幾何課程，包括古典幾何、網(wǎng)格幾何、坐標(biāo)幾何（包括仿射幾何）、向量幾何、變換幾何、幾何與其它學(xué)科的聯(lián)系（如物理學(xué)、建筑和藝術(shù)等）、幾何問題解決、直觀幾何（如簡單圖論和直觀拓?fù)涞龋┖蛶缀蔚男掳l(fā)展（如分形幾何）。多元多維的幾何觀既關(guān)注了幾何學(xué)科的科學(xué)發(fā)展，同時(shí)也關(guān)注了學(xué)生個(gè)性的發(fā)展。王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2015多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維3.幾何課程應(yīng)該關(guān)注中國本土文化的傳承與發(fā)展中國文化的基本精神（[G]P68-80）：天人協(xié)調(diào)（天人合一）自強(qiáng)不息；貴和尚中；矢志愛國；敬老愛幼；誠心待人；勤勞節(jié)儉；慎獨(dú)自愛中國文化的消極因素：因循守舊；宗法等級(jí)；重倫理輕技術(shù)；重整體輕分析，重歸納輕演繹；觀點(diǎn)：中國的幾何課程還有將在很長的時(shí)間內(nèi)需要具有“公理化”思想的內(nèi)容，盡管“幾何證明”甚至“數(shù)學(xué)證明”都不一定是一個(gè)數(shù)學(xué)家必備的準(zhǔn)備（[D]P10）。王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2016多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維主要結(jié)論圖形的認(rèn)識(shí)：從直觀幾何（整體幾何、定性幾何）到半形式化幾何（局部幾何、初步定量幾何），從歐氏幾何到非歐幾何。圖形與變換：從三種基本變換到拓?fù)渥儞Q。圖形與坐標(biāo)：從網(wǎng)格坐標(biāo)到向量幾何。圖形與證明：從歐氏幾何的原始公理化到數(shù)學(xué)證明的理解。王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2017多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維主要結(jié)論

從課程發(fā)展鏈看，我們的幾何課程的整體設(shè)計(jì)是使學(xué)生獲得多元多維幾何認(rèn)識(shí)的改革。但應(yīng)該看到，具體的內(nèi)容上仍然存在不斷發(fā)展的需要。

王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2018幾何直觀與幾何直覺幾何直觀—讓我歡喜，讓我憂（1）從到薩開里四邊形

歐氏幾何雖然更多是理性精神的產(chǎn)物，但對它的理解卻必須建立在幾何直觀上，當(dāng)人們以它為經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生普遍直覺后，在直覺上是不接受非歐幾何的?？梢哉f，成也直觀敗也直觀。有趣的是：人們理解非歐幾何的合理性，反過來又要借助于歐氏幾何的合理性。王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2019幾何直觀與幾何直覺幾何直觀—讓我歡喜，讓我憂（2）幾何直觀的基本含義：利用圖形幫助人們思考、解決……數(shù)學(xué)問題。

龐加萊（1899）在《數(shù)學(xué)教學(xué)》的創(chuàng)刊號(hào)上提出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中除注意邏輯外，要更多地注意直觀。他寫道：“我們是通過邏輯去證明，但我們是通過直觀去創(chuàng)造?！饼嫾尤R認(rèn)為數(shù)學(xué)創(chuàng)造是一種洞察的過程，他強(qiáng)調(diào)了在高度專心一段時(shí)間后會(huì)突然地出現(xiàn)的頓悟的火花。

——格勞斯《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊》P12王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2020幾何直觀與幾何直覺幾何直觀—讓我歡喜，讓我憂（2）幾何直觀的基本含義：利用圖形幫助人們思考、解決……數(shù)學(xué)問題。

通過Hilbert公理體系，Euclid的全部定理最終都能不同圖形加以證明?！―）《當(dāng)代數(shù)學(xué)為了人類心智的榮耀》P47

所有上面敘述的幾何想法，像19世紀(jì)中葉之前微積分的所有其他幾何應(yīng)用一樣，都基于關(guān)于曲線長度、曲面面積和立體體積的未予表述的假設(shè)之上。它們事實(shí)上是通過簡化的圖形由“幾何直觀”提示的?！―）P76

王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2021幾何直觀與幾何直覺幾何直觀—讓我歡喜，讓我憂（2）幾何直觀的常見形態(tài)：數(shù)形結(jié)合，可視化

可視化是重要的，甚至是關(guān)鍵的問題?？梢暬粌H是“看”，更重要的是獲得探索的思路，并進(jìn)行探索。王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2022幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的《直觀幾何》幾何學(xué)初步：古典幾何、拓?fù)鋵W(xué)、圖論、網(wǎng)格幾何等問題空間與維數(shù)：什么是空間最簡單的幾何圖形：圖形的認(rèn)識(shí)由T構(gòu)成：圖形的拼補(bǔ)正方體和它的性質(zhì)：展開圖、視圖和直觀圖圖形的分割和拼接三角形：圖形的認(rèn)識(shí)、尺規(guī)作圖王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2023幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的《直觀幾何》正多面體：拓?fù)涑醪剑W拉公式）幾何益智游戲：拼圖等長度的度量面積和體積的度量長度、面積和體積的計(jì)算：公式圓：定義、對稱、曲線、面積、畫圓、圖案、等分、正多邊形幾何訓(xùn)練：觀察圖形、圖形中的規(guī)律拓?fù)鋵?shí)驗(yàn)：莫比烏斯帶、七橋問題與一筆畫王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2024幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的《直觀幾何》火柴問題：拼圖密碼通信：旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用問題、謎語、游戲由正方體及其部分構(gòu)成的圖形：三視圖平行和垂直：定義、性質(zhì)、作圖、從平面到空間平行四邊形等：定義、性質(zhì)、黃金分割坐標(biāo)、坐標(biāo)、坐標(biāo)……：地理坐標(biāo)、平面直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)、空間坐標(biāo)王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2025幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的《直觀幾何》折紙美妙的曲線：圓錐曲線、阿基米德螺線、正弦曲線、心臟線、擺線等龍形曲線：分維與分形幾何迷宮網(wǎng)格紙幾何：利用網(wǎng)格作圖鏡像：鏡面對稱對稱：軸對稱、中心對稱王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2026幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的《直觀幾何》鑲邊：利用變換作圖裝飾圖：密鋪用對稱性解題：利用對稱證明圓的一個(gè)重要性質(zhì)：圓周角與圓心角的關(guān)系問題、謎語、游戲王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2027幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的《直觀幾何》的主要體會(huì)幾何學(xué)習(xí)的可以從直觀切入，也應(yīng)該從直觀切入；從直觀出發(fā)學(xué)習(xí)幾何，可以讓學(xué)生對幾何整體的發(fā)展有一個(gè)基本認(rèn)識(shí)，以便學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中（潛在地）做出選擇；是否存在一種可能性，既走直觀入手—理性公理—幾何直覺建構(gòu)的課程方案。王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2028幾何直觀與幾何直覺

不難把形狀的教學(xué)作為開發(fā)可視化能力的重要的第一步。教學(xué)生可視化的最簡單的方法是給他們提供豐富的背景知識(shí)，從許多種形狀中獲得親身實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)?！沟俣鳌墩驹诰奕说募绨蛏稀稰197

觀點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)直觀是個(gè)性化的，也是不斷發(fā)展的；（2）幾何直觀和幾何直覺是空間觀念的重要組成；（3）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺是幾何課程永恒的主題之一。

王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2029幾何直觀與幾何直覺幾何直覺（洞察力）—經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的先驗(yàn)的，往往是幾何直觀能力的自然發(fā)展。數(shù)學(xué)家所說的“直覺”，是一種難以言傳的完全個(gè)性化的心理體驗(yàn)；而且有充分理由認(rèn)為兩位數(shù)學(xué)家的“直覺”往往大相徑庭?！―）《當(dāng)代數(shù)學(xué)為了人類心智的榮耀》P193王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2030例子：如圖，作一個(gè)圓使其與兩條直線相切，且點(diǎn)P為該圓與其中一條直線的切點(diǎn)。

歐幾里得幾何顯然是一種形式游戲；人們在運(yùn)用規(guī)則作圖時(shí)，必須輔以非形式的理解。——格勞斯《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊》P377

解構(gòu)教育形態(tài)的幾何證明幾何直觀與幾何直覺王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2031

總的來說，雖未總體上作駁斥，拓?fù)涫孜坏睦碚摬⒉皇堑玫街С值?，這可能是兒童不是首先構(gòu)造拓?fù)渌枷?，然后才?gòu)造射影和歐幾里得思想，而可能是各類思想同時(shí)得到發(fā)展，并不斷整合和綜合。這些思想在建造、畫圖和理解等行為的基礎(chǔ)上形成原始直覺?！駝谒埂稊?shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊》

觀點(diǎn)：多元多維的幾何課程是對原始幾何直覺的有力支持。幾何直觀與幾何直覺王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2032古典幾何與幾何證明大幾何觀—古典幾何主要研究的內(nèi)容（1）對稱性（合同性）--絕對幾何（2）平直性（平行性）定性幾何：為定量幾何做準(zhǔn)備，并為幾何向多元多維方向發(fā)展提供大量的直觀儲(chǔ)備。定量幾何：主要有兩個(gè)結(jié)論—勾股定理和三角形內(nèi)角和定理王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2033古典幾何與幾何證明大幾何觀—古典幾何主要研究的內(nèi)容義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課標(biāo)的幾何公理①一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等（平行公理）絕對幾何②兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行。③若兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角(或兩角及其夾邊，或三邊)分別相等，則這兩個(gè)三角形全等。④全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2034古典幾何與幾何證明平行公理的常見等價(jià)命題1、

通過直線外一點(diǎn)只能引唯一直線和它平行．2、

兩條平行線被第三線所截，同位角相等．3、在已知直線同側(cè)與它有同樣距離的點(diǎn)組成一直線．4、從兩平行線中一條上的點(diǎn)到另一線的距離都相等．5、

三角形的內(nèi)角和等于兩直角．6、

相似三角形存在．7、

一直線的垂線和斜線總相交．8、平面上存在一個(gè)內(nèi)角和為平角的三角形．9、勾股定理成立。王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2035古典幾何與幾何證明什么是幾何證明？數(shù)學(xué)證明的一個(gè)主要任務(wù)是先要說服自己，然后再說服別人。數(shù)學(xué)家懷特說：“…所謂證明不只在不同的文化有不同的含義，就連在不同的時(shí)代也有不同的含義．很明顯，我們不會(huì)擁有而且極可能永遠(yuǎn)不會(huì)有一個(gè)這樣的證明標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立于時(shí)代，獨(dú)立于所要證明的東西，并且獨(dú)立于使用它的個(gè)人或某個(gè)思想學(xué)派．”數(shù)學(xué)家哈代說：“嚴(yán)格說起來根本沒有所謂數(shù)學(xué)證明…，歸根到底我們只是指出一些要點(diǎn)，…”王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2036什么是教育形態(tài)下的幾何證明

鄭毓信先生在《從初中“完全廢除”證明談起——兼論數(shù)學(xué)課程的深入發(fā)展》一文中的提法很具有啟發(fā)：數(shù)學(xué)家們并不是為了證明（驗(yàn)證）而去從事證明的，這也就是說，他們所關(guān)注的并不只是結(jié)論的對或錯(cuò)，也不只是如何去獲得具體的解答，而主要是為了獲得真正的理解，以及求得進(jìn)一步的發(fā)展。同時(shí)，數(shù)學(xué)家也肯定了在嚴(yán)格的證明與非嚴(yán)格的論證之間存在著相互促進(jìn)、互相依賴的重要聯(lián)系，并認(rèn)為數(shù)學(xué)的進(jìn)步并不在于已獲得證明的定理在數(shù)量上的增長，而是要獲得更為深刻的理解。

摘自《數(shù)學(xué)教育：從理論到實(shí)踐》，鄭毓信著，上海教育出版社，2001。古典幾何與幾何證明王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2037古典幾何與幾何證明王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系jmingwang@163.com2023/7/2038公理公理體系的觀點(diǎn)可以描述如下：在一個(gè)演繹體系中，證明一個(gè)定理就是表明這個(gè)定理是某些先前業(yè)已證明過的命題的必然邏輯結(jié)果，而這些命題的證明又要利用另一些已證明的命題，這樣一直逆推上去。所以，數(shù)學(xué)證明的過程是一個(gè)無限逆推的不可能完成的任務(wù)，除非允許在某一點(diǎn)停下來。因此，必須有一些稱為公設(shè)或公理的命題，把它們當(dāng)真的事實(shí)接受下來，而無需加以證明?！吕省妒裁词菙?shù)學(xué)》P225

古希臘數(shù)學(xué)家很早就認(rèn)識(shí)到，如果什么都不作為事實(shí)承認(rèn)下來，那么什么結(jié)果也不會(huì)有。2023/7/2039古典幾