線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析

線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析第1頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月基本內(nèi)容：（1）

系統(tǒng)的定義及表示（2）

系統(tǒng)的基本性質(zhì)（3）

線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域描述（4）

零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)（5）

單位沖激響應(yīng)第2頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月重點(diǎn)難點(diǎn)：（1）

零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法；（2）

沖激響應(yīng)的求解方法；第3頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、系統(tǒng)的定義及表示系統(tǒng)：具有特定功能的總體，可以看作信號(hào)的變換器、處理器。系統(tǒng)模型：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。系統(tǒng)的表示方法（1）數(shù)學(xué)表達(dá)式：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。（2）系統(tǒng)框圖：形象地表示其功能。第4頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)表達(dá)式：微分方程和差分方程常用的系統(tǒng)描述方法是數(shù)學(xué)方程，包括有用于連續(xù)系統(tǒng)的微分方程和用于離散系統(tǒng)的從差分方程。列寫(xiě)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程有兩條基本依據(jù)：（1）系統(tǒng)內(nèi)部元器件或子系統(tǒng)的連接關(guān)系（拓?fù)浼s束）；（2）另一條是元器件或子系統(tǒng)的電氣特性（性能約束）。

第5頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的框圖表示法框圖法就是用一個(gè)方框來(lái)表示一個(gè)系統(tǒng)或子系統(tǒng)，而方框中的符號(hào)表示輸入和輸出之間的關(guān)系

:第6頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)分類(lèi)線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)我們主要討論線性時(shí)不變系統(tǒng)。第7頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、系統(tǒng)的基本性質(zhì)系統(tǒng)的基本特性包括有線性、時(shí)不變性、因果性和穩(wěn)定性等。1.線性如果系統(tǒng)的輸入和輸出之間滿(mǎn)足疊加性和比例性，則該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。疊加性

比例性線性系統(tǒng)例1-17－例1-20第8頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.時(shí)不變性

時(shí)不變性的含義是，如果系統(tǒng)的輸入在時(shí)間上有一個(gè)平移

t0，則由其引起的響應(yīng)也產(chǎn)生一個(gè)同樣的平移.例1-14－例1-16第9頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.因果性

如果一個(gè)系統(tǒng)在任何時(shí)刻的輸出只與系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的輸入和過(guò)去的輸入有關(guān)，而與系統(tǒng)未來(lái)的輸入無(wú)關(guān)，則這個(gè)系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)。

例1-12第10頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.穩(wěn)定性

有界輸入產(chǎn)生有界輸出，則這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定系統(tǒng)。

所謂有界，即輸入或輸出的最大幅值是一個(gè)有限值。

例系統(tǒng)

y[n]=nx[n]就是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，因?yàn)?，?dāng)輸入

x[n]是有界時(shí)，系統(tǒng)的輸出卻有界，它將隨著

n值的增加而增加，直至無(wú)窮。

第11頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域描述

線性時(shí)不變系統(tǒng)也簡(jiǎn)稱(chēng)為L(zhǎng)TI系統(tǒng)，其分析方法建立在信號(hào)分解的基礎(chǔ)之上。線性時(shí)不變系統(tǒng)具有的線性和時(shí)不變性，其響應(yīng)必然是系統(tǒng)對(duì)這些基本信號(hào)響應(yīng)的組合。

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)用微分方程描述；離散時(shí)間LTI系統(tǒng)用差分方程描述。第12頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的微分方程及其求解

對(duì)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，如果

x(t)為輸入，y(t)為輸出，則描述輸入和輸出之間的微分方程為：第13頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這個(gè)常系數(shù)線性微分方程，其完全解由齊次解和特解兩部分組成。齊次解是微分方程在輸入為0時(shí)的齊次方程的解（式2.111）而特解則是在輸入的作用下滿(mǎn)足微分方程式(2.109)

的解。第14頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于式(2.109)的微分方程，相應(yīng)的齊次方程為特征方程為解此特征方程就可求得特征根。第15頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)特征根是單根、重根、共軛復(fù)根，齊次解的形式也有所不同，一般有三種情況。⑴如果特征根

a1

、a2

、···an

都是單根，則齊次解的形式為

第16頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑵如果在特征根中，

是

k

重特征根

am

，則與

am

相對(duì)應(yīng)的齊次解為:第17頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑶如果特征根中有共軛復(fù)根

，則共軛復(fù)根所對(duì)應(yīng)的齊次解為:在上述三種齊次解中，Ci

是待定系數(shù)，它的確定與特解有關(guān)。舉例2.14

第18頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常見(jiàn)激勵(lì)信號(hào)的特解形式

第19頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微分方程的特解與激勵(lì)信號(hào)有關(guān)，根據(jù)不同的激勵(lì)信號(hào)，特解也有不同的形式。幾種常見(jiàn)的激勵(lì)信號(hào)，特解的形式見(jiàn)表2.1所示。特解的求解過(guò)程一般是將表2.1中和激勵(lì)信號(hào)相對(duì)應(yīng)、并具有待定系數(shù)B的特解代入微分方程后求出待定系數(shù)

B，這樣也就求出了特解。第20頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微分方程的齊次解和特解求出以后，其完全解的形式也就確定下來(lái)了。但是，完全解中的待定系數(shù)則需要由方程給定的初值來(lái)確定。為求得這些初值，我們將系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入前瞬間的狀態(tài)定義為系統(tǒng)的起始狀態(tài)，記為

y(k)(0-)；而將系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入后瞬間的狀態(tài)定義為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，記為y(k)(0+)，確定系統(tǒng)完全響應(yīng)所需要的初值是初始狀態(tài)

y(k)(0+)，（系統(tǒng)的初始狀態(tài)就是系統(tǒng)在

t=0+

時(shí)刻的響應(yīng)）。

第21頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微分方程的完全解、齊次解和特解是數(shù)學(xué)上的名詞；在信號(hào)與系統(tǒng)的術(shù)語(yǔ)中，微分方程的解就是系統(tǒng)的響應(yīng)。微分方程的完全解稱(chēng)為完全響應(yīng)齊次解稱(chēng)為自由響應(yīng)（與激勵(lì)信號(hào)無(wú)關(guān)）特解稱(chēng)為強(qiáng)迫響應(yīng)（和激勵(lì)信號(hào)有關(guān)）完全響應(yīng)＝自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng)第22頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的差分方程求解（1）差分方程離散系統(tǒng)的基本部件有移位器（也叫做延時(shí)器或延遲器）、相加器和倍乘器，這些基本部件常用以下框圖來(lái)表示：

第23頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月下圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的離散系統(tǒng)，它由一個(gè)延時(shí)器、一個(gè)相加器和一個(gè)倍乘器組成。根據(jù)圖中各個(gè)部件的連接關(guān)系和各個(gè)部件的基本功能，寫(xiě)出該系統(tǒng)輸入

x[n]和輸出

y[n]之間的關(guān)系為：

一階差分方程

第24頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月N

階離散系統(tǒng)的差分方程為：

離散系統(tǒng)差分方程的形式類(lèi)似于連續(xù)系統(tǒng)的微分方程，只不過(guò)這里用差分信號(hào)替代了微分方程中的微分信號(hào)而已。（2）差分方程的求解

對(duì)于一階差分方程式，如果輸入信號(hào)

x[n]=d[n]，則輸出信號(hào)

y[n]將如何求得呢？

第25頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求解差分方程的方法有兩種：（1）迭代法，也叫做遞歸法，這種方法易于用計(jì)算機(jī)求解，但不易給出一個(gè)閉式的解答。（2）經(jīng)典法，這種方法完全可以按照微分方程的求解方式進(jìn)行，其完全解也分為齊次解和特解兩部分。例2.15第26頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)特征根的性質(zhì)，差分方程的齊次解也有以下三種形式：

⑴如果特征根

a1、a2

、···an

都是單根，則齊次解的形式為

⑵如果在特征根中，

am

是

K重特征根，則齊次解中與

am

相對(duì)應(yīng)的有

K

項(xiàng)，其形式為第27頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑶如果特征根中有共軛復(fù)根，則共軛復(fù)根所對(duì)應(yīng)的齊次解為

第28頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月差分方程的特解形式:

第29頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4．差分方程的應(yīng)用差分方程的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：(1)描述本身就是離散系統(tǒng)的事件，如銀行利率、股市行情、人口統(tǒng)計(jì)等；

(2)用來(lái)仿真連續(xù)系統(tǒng)，也就是用一個(gè)離散系統(tǒng)來(lái)近似連續(xù)系統(tǒng)。舉例：

第30頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月y(t)與y[n]計(jì)算結(jié)果的比較第31頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

1．起始狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的影響

用線性方程

y(t)=ax(t)+b來(lái)描述的系統(tǒng)可能不是一個(gè)線性系統(tǒng)！為什么？

如果方程中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)

b

，則

y(t)=ax(t)所描述的系統(tǒng)就是一個(gè)線性系統(tǒng)。第32頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將系統(tǒng)的響應(yīng)分為兩部分：（1）與激勵(lì)信號(hào)無(wú)關(guān)，完全由某些“常數(shù)”決定；（2）完全由激勵(lì)信號(hào)確定。結(jié)論：完全由激勵(lì)信號(hào)確定的響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)之間就可能滿(mǎn)足線性關(guān)系了。舉例說(shuō)明第33頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果系統(tǒng)的起始狀態(tài)y(0－)0，則系統(tǒng)的輸出

y(t)和系統(tǒng)的輸入

x(t)之間就不滿(mǎn)足線性和時(shí)不變性。然而，只要

y(0－)=0，

y(t)和

x(t)之間就能夠滿(mǎn)足線性和時(shí)不變的關(guān)系。

第34頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月完全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)加上零狀態(tài)響應(yīng)：

第35頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月零輸入響應(yīng)：在激勵(lì)信號(hào)

x(t)為0，或者不考慮激勵(lì)信號(hào)的作用時(shí)，由系統(tǒng)起始狀態(tài)

y(k)(0-)產(chǎn)生的響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)：當(dāng)系統(tǒng)起始狀態(tài)

y(k)(0-)為0，或者不考慮系統(tǒng)的起始狀態(tài)時(shí)，由激勵(lì)信號(hào)

x(t)產(chǎn)生的響應(yīng)。第36頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月重要意義：（1）零狀態(tài)響應(yīng)能夠真實(shí)地反映系統(tǒng)特性；（2）系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以用卷積的方法求解。第37頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解

零輸入響應(yīng)的求解

零輸入響應(yīng)的解的形式應(yīng)和微分方程齊次解的形式相同，它應(yīng)是微分方程齊次解中的一部分。

如果一個(gè)

N階微分方程的

N

個(gè)特征根

ai

都是單根，則零輸入響應(yīng)

yzi(t)可寫(xiě)為：待定系數(shù)

Ci

完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)

y(k)(0-)確定

第38頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

零狀態(tài)響應(yīng)的求解

齊次解中剩下的一部分將和特解一起組成系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)有3種求解方法（1）零狀態(tài)響應(yīng)＝完全響應(yīng)－零輸入響應(yīng)；（2）利用系統(tǒng)從起始狀態(tài)

y(k)(0-)到初始狀態(tài)

y(k)(0+)的跳變量yD(k)(0)來(lái)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；（3）卷積法

第39頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在特征根都是單根的情況下，零狀態(tài)響應(yīng)的形式為：零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的概念同樣適用于離散系統(tǒng)，而且，它們的求解方法也相同。第40頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月舉例：已知

y(0-)=3/2，求自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。第41頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：自由響應(yīng)：1/2e-3t

強(qiáng)迫響應(yīng)：1零輸入響應(yīng)：

零狀態(tài)響應(yīng)：完全響應(yīng)：第42頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五、單位沖激響應(yīng)

單位沖激響應(yīng)也簡(jiǎn)稱(chēng)為沖激響應(yīng)，常用符號(hào)

h(t)或

h[n]表示。單位沖激響應(yīng)是系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)；或者說(shuō)，是系統(tǒng)在零狀態(tài)的條件下對(duì)單位沖激信號(hào)激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)。第43頁(yè)，課件共46頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.沖激響應(yīng)的特點(diǎn)

沖激響應(yīng)的形式和齊次解的形式相同，即沖激響應(yīng)的特點(diǎn)：⑴沖激響應(yīng)由系統(tǒng)的特征根組成；⑵沖激響應(yīng)的形式與齊次解的形式相同；⑶沖激響應(yīng)中的待定系