高中數(shù)學-公式結(jié)論匯總

高中數(shù)學公式結(jié)論大全EE/OX電匚『貝，EEC曠月O￡電衛(wèi).U/疋辺務(wù)（如0）二尙衛(wèi)uC%（衛(wèi)U毋二務(wù)如U詔.A^S^Ar\B=A^A\JB=B^^匚U『4o衛(wèi)門貯^二①oU『4U0二氏4?集合仗宀S的子集個數(shù)共有曠個；真子集有少-1個；非空子集有F-1個；非空的真子集有尹-2個.二次函數(shù)的解析式的三種形式⑴一般式7（町=口戲+處+鞏&莖0）;⑵頂點式燉5-）'+（D；當已知拋物線的頂點坐標的用時，設(shè)為此式⑶零點式蝕二心）0-如0）；當已知拋物線與卞軸的交點坐標為（兀皿也?時，設(shè)為此式4切線式:如5-Z ）,（氓杏0）。當已知拋物線與直線汁總乜相切且切點的橫坐標為觀時,設(shè)為此式解連不等式N</W<皿常有以下轉(zhuǎn)化形式—M］［了⑴M-f（x）VW<^.［ 6a方程圧+加+—0（g0）在優(yōu)］息）內(nèi)有且只有一個實根，等價于/（W優(yōu)2）或［—護-低=0。8?閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值__i二次函數(shù)了㈤=/+肚+咖韭0）在閉區(qū)間^衛(wèi)］上的最值只能在…云處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：f｛了⑵丿⑷｝，”冶氣訂了⑵丿⑷｝.b⑵當b⑵當a<0時，假設(shè)"蒼則了㈤皿h=inm(y?)J(g)},bri假設(shè)—￡引歸爐，則/他廠噸〔孑㈤?、龋?⑷｝9.一元二次方程畑=只十蘆乜=0的實根分布/?3-4（/>01方程了㈤=°在區(qū)間血血）內(nèi)有根的充要條件為了（網(wǎng)<°或I22方程/?=°在區(qū)間（阻對內(nèi)有根的充要條件為嗨十芒一P S——■='22p2 0/M/Wq0/M/Wq0或/(^)>o J(rn)>0或J才_4?A0"—巳53方程了E二0在區(qū)間（-0曲）內(nèi)有根的充要條件為或L2 .10.定區(qū)間上含參數(shù)的不等式恒成立（或有解）的條件依據(jù)⑴在給定區(qū)間（一卩如［的子區(qū)間厶形如［企別，（-叫戸］，［冬■網(wǎng)）不同上含參數(shù)的不等式八ga為參數(shù)）恒成立的充要條件是了（對皿缸工廠（工丘￡）。⑵在給定區(qū)間z丹〕的子區(qū)間占上含參數(shù)的不等式畑弐仏為參數(shù)）恒成立的充要條件是⑶在給定區(qū)間（—叫如［的子區(qū)間E上含參數(shù)的不等式了㈤仝（￡為參數(shù)）的有解充要條件是7（%住工山7。（4）在給定區(qū)間（一叫如［的子區(qū)間￡上含參數(shù)的不等式了㈤幻?為參數(shù)）有解的充要條件是$g母益?已L）。對于參數(shù)吃及函數(shù)廠畑kA.假設(shè)說二畑恒成立，貝嚴盒山）；假設(shè)說圭畑恒成立，貝V;假設(shè) 有解，貝y— ；假設(shè)a—J（x）有解，貝ya—X.ax ；假設(shè)厘二了（珀有解,則九念X沁人JM）.假設(shè)函數(shù)Hx"無最大值或最小值的情況，可以仿此推出相應結(jié)論Pq非Pq非pP或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假11.真值表原命題若側(cè)q互迎■一"逆命題若厠卩互'否否命題若1卩則~1口逆否命題若扁則1卩12.常見結(jié)論的否認形式是不是至少有一個一個也沒有-7 人K小-7^,11：人 .口都^不都都^至多有 1至少有兩1至少有書/個至多有" 1個小于不小于至多有怎個至少有心1丄個對所有止，成立存在某血，不成立戸或扌甘且F對任何龍，不成立存在某斗，成立F且了甘或F

14?充要條件記戸表示條件，V表示結(jié)論1充分條件：假設(shè)，貝修是V充分條件.2必要條件：假設(shè)EP，貝蚌是扌必要條件.3充要條件：假設(shè)FF，且尸戸，則戸是？充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.函數(shù)的單調(diào)性的等價關(guān)系⑴設(shè)可忑巴血乩珂工心那么了（珂）一于（心〕O了（珂）一于（心〕O/仗）在［恥］上是增函數(shù);弋00了（兀）在［說丄］弋00了（兀）在［說丄］上是減函數(shù).（珂-觀）［了〔硏-了也）］毗。呵-花⑵設(shè)函數(shù)K對在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果產(chǎn)（刃＞Q，貝叮㈤為增函數(shù)；如果＜°，貝嚀㈤為減函數(shù).如果函數(shù)孑仗）和就町都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)畑+曲）也是減函數(shù)；如果函數(shù)川對和gg都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/W+^W也是增函數(shù)；如果函數(shù)y=fw和立二g（工）在其對應的定義域上都是減函數(shù)，則復合函數(shù)y= 是增函數(shù)；如果函數(shù)y=f（^和整二如在其對應的定義域上都是增函數(shù)，則復合函數(shù)Hg⑴］是增函數(shù)；如果函數(shù)，二于的和"刈在其對應的定義域上一個是減函數(shù)而另一個是增函數(shù)，則復合函數(shù)p二力或?qū)Γ菔菧p函數(shù).奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).;兩個函數(shù)a+i19?對于函數(shù)P二畑 了匕2二傀-玷恒成立,則函數(shù)了⑴的對稱軸是;兩個函數(shù)_b-ay=f（x^a）與防代―天）的圖象關(guān)于直線X__F對稱.假設(shè)wn+心,則函數(shù)刀二了（E的圖象關(guān)于點 對稱；假設(shè)了（對二—八工+"）,則函數(shù)》二了衛(wèi)為周期為加的周期函數(shù).多項式函數(shù)戶⑴二嗎F+比十嚴1+???+%的奇偶性多項式函數(shù)汛工）是奇函數(shù)口心的偶次項（即奇數(shù)項）的系數(shù)全為零.多項式函數(shù)刃方是偶函數(shù)O尸（祐的奇次項（即偶數(shù)項）的系數(shù)全為零.函數(shù)$=畑的圖象的對稱性優(yōu)特網(wǎng)uutte優(yōu)特網(wǎng)吘莒嶩⑴函數(shù)P二畑的圖象關(guān)于直線x=a對稱O了仮+月二了仮-力0了（加-力二八對.a+hT"二 ⑵函數(shù)$=畑的圖象關(guān)于直線 對稱令他+禍=f（＞-沖）令/（￡?-4-^-附V）=/（惚門兩個函數(shù)圖象的對稱性（1）函數(shù)kg與函數(shù)m的圖象關(guān)于直線“o（即卩軸）對稱.

T +i⑵函數(shù)廠畑-Q與函數(shù)F）的圖象關(guān)于直線卞對稱.⑶函數(shù)^=/W和尹二廣匕）的圖象關(guān)于直線y=x對稱.24?假設(shè)將函數(shù)廠咖的圖象右移住、上移心個單位，得到函數(shù)y= 的圖象；假設(shè)將曲線了H°的圖象右移吃、上移3個單位，得到曲線 的圖象.25.幾個常見的函數(shù)方程TOC\o"1-5"\h\z⑴正比例函數(shù) 2烏⑵指數(shù)函數(shù)口八"y、二孑優(yōu)）/?）』⑴二応o.\o"CurrentDocument"⑶對數(shù)函數(shù)/W=1°Siiz?/（AX）=/W =⑷冪函數(shù)/W=^a? = =.（5）余弦函數(shù)扌g(shù)= ，正弦函數(shù)或E=沁戲，f^-^=fMf（y）+g（^s（f），唇1后竺二126.幾個函數(shù)方程的周期（約定a>0）1了⑴二了（+），貝叮㈤的周期T=a；2九十論帀g）豐0），或心滬一局金也,則畑的周期T=2a;（/W豐（/W豐0）則孑仗）的周期T=3a；g十門二于兇〕+了（花）⑷】玄-/（巧!/（勺）且/何二叮缶）」（花）工IQV珂-吃|<加），貝叮（忑）的周期T=4a；（1）存=紜肌用E礦，且?>1.氣1 1XVM— — a-一^~-Tfv⑵護如，且>1.28.根式的性質(zhì)2當挖為奇數(shù)時，暢=盤;當總為偶數(shù)時，a當總為偶數(shù)時，ara>Q-a,a<029.有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1) */二滬'A0丹￡EQ)⑵（*=&氣心0,乍€0）.⑶㈣廣之啦（心0』>（Ve2）.注：假設(shè)a>0,P是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：\心弘“二bd二Ng沁衛(wèi)八,’ ”logwN山乩N=-對數(shù)的換底公式： 噸沁3>0,且耳工1,喘>0,且唧往1,MnO）.對數(shù)恒等式：也叱"= 且詛Hl,MnO）.losk護二一log.b推論也m血@丸，且"1,M>0）.⑶1⑶1呱訶二皿唱，畋處應）；logm設(shè)函數(shù)冷=陀3+尿+恤式叭記心=滬—4駅.假設(shè)7H的定義域為應，則恥0且心百0；假設(shè)川町的值域為應，則^>0，且A>0o對數(shù)換底不等式及其推廣：設(shè)科ml,0>°,心0，且詛芒1,則lo驗唧1明/<logfi2平均增長率的問題負增長時戶吃°如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為F,則對于時間龍的總產(chǎn)值有戸二皿1+別1ph?=1數(shù)列的通項公式與前n項的和的關(guān)系：^ 〔％—為“申22（數(shù)列的前n項的和為等差數(shù)列的通項公式：比二◎+⑺-1眉二心+眄-磯衛(wèi)e ；其前n項和公式為:=旳￡1]+-1）,d2 < 1小a=—k+〔兩一一已）旳等比數(shù)列的通項公式:耳二阿嚴二生汽施町I1-g其前n項的和公式為 W的衛(wèi)二等比差數(shù)列仏｝：%吐=Q%+乩的*（q芝?的通項公式為b+（N-V）d,q=1aS十（d—b>/T—出

其前n項和公式為:it=40?分期付款（按揭貸款）：每次還款 Q+bZ元（貸款血元，用次還清，每期利率為心）.41.常見三角不等式xe1xe1假設(shè)(吟,⑵假設(shè)心卻，則13“+口匯池.⑶|mix|+|sr魚1.8111842.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：血咕十c“2日二］,t曲日二匚osB,t血日?佃3=1.正弦、余弦的誘導公式奇變偶不變，符號看象限.尹扛..（T）%m比山為偶數(shù)） 駅陌 〔-1）5阿（斥為偶數(shù)）￡111（——+疣）二彳 ’ C￡>s（——■+a）=<'2 “ 旦 x2J M41［（-!）2"沁,⑺為奇數(shù)）， ［（-1）2削丸比価為奇數(shù)）和角與差角公式二sinorcas0±匚ost^sinp?匚強(肚土聞二cos 戸干sincrsin戸；y丄亠 tan◎土tan尸tan(母±0)= —1干tancvtan0.sm(or+sin(Of-=sin3a-sin3戸(平方正弦公式);cos(^-l-/5)cos(cy-0)=cos2sin2戸asino；cc-s①二晶V口門血+朝（輔助角訶所在象限由點S』）的象限決定，嚇爲）.

二倍角公式及降冪公式2tanorsin2a=sindfcosa 1+tarJe.1-tan3acos2a=coscr-sina=2cosa-1=1-2sina1+tan戊.r2tanatanLd -..-:ism^◎'二1-CQs2i3f.-:ism^◎'二1-CQs2i3f2■J匚對￡1'=1+cos2a2sin2a;1-cos2a;tan氐二 =—: 1十匚 sin2er三角函數(shù)的周期公式函數(shù)戸=沁（曲+$）,xGR及函數(shù)卩=曲〔伽+的，xGR（A,3,卩為常數(shù)，且AH0）的周期 ；函數(shù)；T f；T工H"F—血EE 丄二尹"31!（伽+朝， （A,3,舊為常數(shù)，且AH0）的周期丨釦.三角函數(shù)的圖像:五點法作圖列表:CT/l十v 0 n/23n/22n- - -2R正弦定理： R為^ABC外接圓的半徑.Uo二2^sin耳b二2R沁總工二CQ皿：占：c二曲血貝：由口￡■：審口u48.余弦定理a2二護十一2bccosj4?甘二F十屮一2cacosB；c2=a1十護一2abcosCJ J ?53.面積定理E二丄ah—打鬲=—ch,jj1 分別表示a、b、c邊上的高.S=—ab￡iTi.C=—bcsmA=—easinB23也二+J(|方|.|西『-(刃.方尸保+b_嘰~T~三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有/+囚=汀a。=拆―(*+占)(J_n_A^B°二二廠丁02—衍-2S+Q.簡單的三角方程的通解sinx=<=>x=歸下+(—1)*arcsin(3(^eZ,\a\<1)匚0$兀=說0忑=2上汀土muuqeq(&€Z,|a|<1)tan忙=總=■忑=心T+arctan戎:亡 E.特別地，有sin民二sin戸0耳=比開斗(一1)*0(莊EZ')m$盤=心倔戸q①=2丘汀±0(七€Z)tanor=tan0=ci■二br+0(上eZ)最簡單的三角不等式及其解集$iii忑A￡?(|燈任1)O五€〔2匕T+arcsina,2匕T+7T—arc丸n侃〕，kWZsinxug(|□懺1)UxE(2匕t-jt-arcsin2A：7rH-arcsma),keZcosx>a(|(s|<1)Oj:e(2A；7r-arccosa,2^7T+arccosa)r^eZcos兀<位(|盤$1)呂xu(2上ttH-arccosa,2上托+2/r-arccosa)?^eZtanx>a(ae.S)xe +arctana,k7T-￥—),k^Ztanx<a{aE虛）=>xE〔七汀一一，歸嚇+arutan菖），七丘Z2.實數(shù)與向量的積的運算律:設(shè)入、口為實數(shù)，那么⑴結(jié)合律：入（》莊）=（入口）Q（2）第一分配律：（入+u）莊二入矗+口莊；⑶第二分配律：入（莊+F）二入莊+入艮向量的數(shù)量積的運算律：（1） 莊?石二石?&交換律；（2） 丸矗?&二兄矗?&二見莊?S二左?Ab；⑶示+石??=（5'?了+石?W.如果旳、豈是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)入、1入，使得云二入+入衍.212不共線的向量旳、豈叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.三點A、B、C共線的充要條件：屁=兄面+（1-可屈（M為任意點）向量平行的坐標表示設(shè)耳二鼬Ji）,血二（心屈），且色工0,則疔||F（B工0）O心丹-心乃二°.茁與$的數(shù)量積（或內(nèi)積）：茁?孑=@||$|cos日。莊池的幾何意義：數(shù)量積莊?石等于莊的長度|引與石在匠的方向上的投影仍|心日的乘積.ab向量產(chǎn)在向量云上的投影：由|遇日=|訶.平面向量的坐標運算⑴設(shè)耳=（兩丿1）,$=（%乃）,貝歸+芳=（叼十花們+兒）.⑵設(shè)莊=肉?。?，F(xiàn)=g，戸）,貝歸-石=（羽-花乃）.（3）設(shè)A（“iJ）,衣心必），則血=°占-°月=（可-珂宀-戸）.（4）設(shè)云=（兀刃JuR,則見矗=（只兀Ay）.⑸設(shè)齊肉?。?，聲=區(qū)必），則孑?￡=肉花+?化!）.兩向量的夾角公式1町吃1J#".』球*;（云=（珂Ji）,K花必））.

平面兩點間的距離公式出肛二|麗二J（心一十（兀―戸『（aEJi）,衣冷乃））.61.向量的平行與垂直：設(shè)莊二（珂丿1）,石二氏必），且石H0，貝y詞11^0■石二入云O心丹-心乃二0.茁丄石（玄工6）0玄?￡=00巧虧+幾出=°.62?線段的定比分公式：設(shè)EEAi）,鳥區(qū)必），尸⑴刃是線段召鳥的分點"是實數(shù)，且耳％肚寫，7q十饑x=- -1+1、一M+觀 花_0牟+辺陰__. _ 1則廣1十月/- 1+衛(wèi)oOFiO家QfOF/—市.三角形的重心坐標公式△ABC三個頂點的坐標分別為A（\,yJ、麻％兀）、Cg,yJ,則厶abc的重心的坐標是呼可+也+花乃+旳+旳、 3 ' 3 ‘.點的平移公式x=x-h尸卩-心而二麗+函x-x=x-h尸卩-心而二麗+函Lxp+七注：圖形F上的任意一點P（x,y）在平移后圖形F上的對應點為，且?guī)壍淖鴺藶椋óT幻?“按向量平移”的幾個結(jié)論1點PZ按向量耳二兇幻平移后得到點月匚+心+幻.⑵函數(shù)k心的圖象D按向量m二帥悶平移后得到圖象巴，則u■的函數(shù)解析式為⑶圖象U'按向量小E平移后得到圖象U,假設(shè)u的解析式S,則b的函數(shù)解析式為y=f（^+h）-k⑷曲線口丿（工3二°按向量莊二（此幻平移后得到圖象則C'的方程為川工-曲丿-冊二0.⑸向量煩二（兀為按向量齊他幻平移后得到的向量仍然為尿二m三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)。為LABC所在平面上一點，角4^0所對邊長分別為心,則TOC\o"1-5"\h\z10為的外心O= =OC\ 1- 1- 1- —I-2。為HiABC的重心OM+O^+OC^O.\o"CurrentDocument" h h 1- 1- 1- 130為遊C的垂心O0/1-OB=OBOC=OCOA.4。 為LABC的內(nèi)心aOA+hQB+cOC=0.5。 為A715C的三占的旁心O$0/=^00-\-cOC.常用不等式：1說,恥尺與護十護空曲（當且僅當a=b時取“二”號）.2也沁只=戈 （當且僅當a=b時取“二”號）.3,+護-l-c5>3abc{a>0』>0,c>0）.4〔屮+麗）3+臚〕工〔血+我冗門上疋需丘￡5同-忖引吃+耳毎忖+虬6負+乃 2V2（當且僅當a=b時取“二”號）。68?最值定理：已知兀？都是正數(shù)，則有1假設(shè)積矽是定值戸，則當⑺時和W有最小值2仔；2假設(shè)和?是定值占，則當⑺時積心有最大值4 .3已知說用心+，假設(shè)◎+切二1則有2十丄二（為十切）〔丄十丄）=a-ib+——>a-ib+2\Jab-〔晶十亦乎x丁 忑F 乳丁 。已+J4已知以心辦，假設(shè)工7則有x+y=（r+_y）（—+—）=a -1-—+—> +2^/ah=［需+忑fxy 卞P—元二次不等式用+肚+心鞏或壯）3圣0』=，-4a>0），如果出與血H十涿址同號，則其解集在兩根之外；如果吃與十加十c異號，則其解集在兩根之間?簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.x1<x<=>（z—x1一心）c0（z1<心）；X<X］「或工>X2<=>（x-￡］）（￡-X2）>O（X］c忑）含有絕對值的不等式：當a>0時，有圧0^2 o一僅cxcaI 2 2工 >a 或干71?無理不等式r/w>oJm）>J或X）0gw>o/W>gW.gW>0/W>[^Wfvw>o

gW<ogW>0/W>[^Wfvw>o

gW<o<gO)o何力>o?、?lt;[gWf.72.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式⑴當詛＞1時,m>0aM>詞旳口f(Q>g(x).7噸衛(wèi)aM>詞旳口f(Q>g(x).7』(小g(Q⑵當03cl時,f/W>0log^/W＞1站衛(wèi)烈力 g（A）＞0討倒"晌O了加＜g（x）；73.斜率公式上二旳—乃也一無￡（可丿1）、臣冷對.直線的五種方程1點斜式y(tǒng)-yi=^-^（直線r過點呃且斜率為疋）.2斜截式$=（b為直線f在y軸上的截距）.二忑—忑13兩點式乃—兒花—冊（"H乃）（住珂仍）、血兔必）（珂工冷巧工戸））.兩點式的推廣：氏-戸）認-可）二°無任何限制條件!（4）截距式蘭+乂二（4）截距式◎b（弘色分別為直線的橫、縱截距，館芒0、0）5—般式山+妙+U二°（其中A、B不同時為0）.直線也+矽+C=。的法向量：且啟），方向向量：'=（民兩條直線的平行和垂直（1） 假設(shè)二洽+拭，1茄》二虬工+虬*1||￡O品二焉r坯HE ②2］丄仿O=—\.（2） 假設(shè)4：人乳+熱/+G二0,G ￡汕+Q二°,且A、A、B、B都不為零，1212I||/3?A=：②?丄匚O +場場二0；百：百忑+衣識+G二o心：&乳+序汕+q二o4&+耳禺工0此時直線‘1丄4四種常用直線系方程及直線系與給定的線段相交：⑴定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為P-兀二七-叼）（除直線工二^）,其中上是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點耐（Z）的直線系方程為越"廟+^3-曲二0,其中乩呂是待定的系數(shù).⑵共點直線系方程：經(jīng)過兩直線A：4h+￡i/+G=o,G4工+丘汕+G=°的交點的直線系方程為（4工+恥+q）+衛(wèi)（些+4+G）二o（除^）,其中入是待定的系數(shù).（3） 平行直線系方程：直線y= 中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程.與直線Av+^+C=O平行的直線系方程是皿+型+丸二。（兄=0），入是參變量.⑷垂直直線系方程：與直線皿+?+^=Q（AH0,BH0）垂直的直線系方程是弘-血+兄=Q,入是參變量.⑸直線系酬兀戸心二o與線段曲用（耳x）,頊、D相交o鞏耳兒刃?鞏心乃用丸。&二⑷0+肌+UI點到直線的距離: 十護 （點戸牝必），直線f：缶+?+C=Q）.缶+矽+°＞°或cO所表示的平面區(qū)域設(shè)直線/；加+血+°=Q,則加+Q+OQ或cO所表示的平面區(qū)域是：假設(shè)￡工0,當衣與加+型+：同號時，表示直線！的上方的區(qū)域；當衣與皿+^+C異號時，表示直線/的下方的區(qū)域?簡言之，同號在上，異號在下.假設(shè)5=0,當蟲與禺+莎+u同號時，表示直線［的右方的區(qū)域；當蟲與皿+d+U異號時，表示直線f的左方的區(qū)域.簡言之，同號在右，異號在左。GV+%y+G）（&工+場》+即沁或co所表示的平面區(qū)域（國時尙7+GX&X+覽y+G）＞°或吒0所表示的平面區(qū)域是兩直線占忙+片諷+口二。和爲孟+呂切+G二°所成的對頂角區(qū)域上下或左右兩部分。80.圓的四種方程1圓的標準方程2圓的一般方程+ =o（"十才―仃＞0）.A=df+rcos5*3圓的參數(shù)方程=+4圓的直徑式方程（圓的直徑的端點是&心刃、図心旳）.81.圓系方程（1）過點如代，昭於的圓系方程是（常-可）（工-花）+（＞-”）（＞-乃）+爲［（＞-珂）（＞］-乃）-（＞-乃）（可-心）］二00匚-珂）伏-心）+（>-”?-丹）+衛(wèi)（處+如+巧二0,其中巒+如+u=0是直線占召的方程，入是待定的系數(shù).⑵過直線F：^+^+C=。與圓,扌+尸+加4型+廳=0的交點的圓系方程是/+於+少+購+囚+見〔曲+旳+刁二0,入是待定的系數(shù).⑶過圓G:/+尸+。彈+垃y+F]二0與圓G:/+戸+。區(qū)+耳，+芯二°的交點的圓系方程是+ + + +戸+門押+爲》+禹）二0,入是待定的系數(shù).特別地，當兄=-1時，卡+，+口1工+尺諷+丘+觀/+1/+門耳+爲》+毘）二。就是（D]-DJ兀+（總]-爲血+（F\-毘）二0表示：當兩圓相交時，為公共弦所在的直線方程；向兩圓所引切線長相等的點的軌跡直線方程點與圓的位置關(guān)系：點玖5與圓（—界+3-疔二八的位置關(guān)系有三種假設(shè) ，貝Vd>r^點尸在圓外=點尸在圓上皿"O點尸在圓內(nèi).直線與圓的位置關(guān)系\Aa+Bb+C___&— [ 直線加+旳+°=°與圓（―八。_琢"的位置關(guān)系有三種（ ）：dxu>相離oh<0；d二尸o相切u；■人二0；d"O相交o山:>01 J J ' ?84?兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為O,O,半徑分別為r,r,杖】引二圧1212dI%+乜O外離04條公切線；d二心+Go外切o?條公切線；卜1-乜|V』Vq+q0相交U2條公切線；d二h-Q|o內(nèi)切o1條公切線?J0<d 內(nèi)含0無公切線圓的切線方程及切線長公式⑴已知圓甘+屛+加+型+廳=0.①假設(shè)已知切點（勵兒）在圓上，則切線只有一條，其方程是D（叼+RE（y0-{-y）護+p卍+ ——+ ―+F二02.當（州「幾）圓外時， 表示過兩個切點的切點弦方程.求切點弦方程，還可以通過連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定。過圓外一點的切線方程可設(shè)為廠片二殮-心）,再利用相切條件求k,這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線.斜率為k的切線方程可設(shè)為，二虹+色，再利用相切條件求b,必有兩條切線.⑵已知圓戲+宀異.過圓上的坊區(qū)必）點的切線方程為護*詩二八;斜率為疋的圓的切線方程為y=匕土『孑匚諄.⑶過圓民+型打'=0外一點區(qū)屁）的切線長為十加3十鳥十軌十月4-^y=1（LJ>h>0） ?=—=Jl-^T橢圓 的離心率過焦點且垂直于長軸的弦長為:87?橢圓r2|丹J匸f|；厶—不；1匸口—tA ￡止齊緩=0I丹|~■-：，"C88.橢圓的的內(nèi)外部的內(nèi)部a￡■丁2 22點嘰應在橢圓的外部-4十斧1a￡：■89.橢圓的切線方程⑴橢圓卄Sf-點嘰血處的切線方程是芳譯"2過橢圓 外一點嘰曲所引兩條切線的切點弦方程是盤3橢圓 與直線山+S+C二°相切的條件是才X+占歹之[￥一斗=1（4沁色＞ 童90.雙曲線 的離心率，過焦點且垂直于實軸的弦長為:|丹J=| +—）冃a-\-sxC=h2cot^F}PF91.雙曲線的內(nèi)外部F2⑴點已兀曲在雙曲線⑵點鞏陽九）在雙曲線22=0_Al92.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系（1假設(shè)雙曲線方程為◎ 耳與漸近線方程:⑵假設(shè)漸近線方程為F GOob 與雙曲線可設(shè)為門 護2222L-L=1 二_丄=人（3）假設(shè)雙曲線與產(chǎn)—廬—有公共漸近線，可設(shè)為產(chǎn)—歹—九沁，焦點在x軸上，九cO,焦點在y軸上.⑷焦點到漸近線的距離總是心。雙曲線的切線方程X—疋=1乙、仃巫-竺二1⑴雙曲線忌廠'- !丿上一點處的切線方程是/護一.蘭_疋二［ 巫_型=12過雙曲線/滬.外一點嘰曲所引兩條切線的切點弦方程是丁歹—22—13雙曲線/護與直線加+Q+U二°相切的條件是才滬-爐護二？1.拋物線宀羽的焦半徑公式2仃/ m. CF= +—拋物線=2^>0）， 0 2.1-cos&（其中9為X軸的正向繞焦點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到FC的角）（95?拋物線宀存上的動點可設(shè)為P級…或F（2pt\2pQpk,”），其中Aac-護（T的圖象是拋物線:Aac-護（T的圖象是拋物線:y=ax4-Z?a+c-a(x二次函數(shù)bAac-b2 b4ac-h2+11頂點坐標為加’4圧；2焦點的坐標為加‘Aa；_4m-護-13準線方程是"—4口.以拋物線上的點為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準線相切；以拋物線焦點弦為直徑的圓，必與準線相切；以拋物線的半徑為直徑徑的圓必與過頂點垂直于軸的直線相切。拋物線的切線方程⑴拋物線b=2刃上一點P帆必）處的切線方程是比，二鞏菱+心）.2過拋物線宀羽外一點代亦曲所引兩條切線的切點弦方程是嚀二朮+聞）.3拋物線宀茍次P>°）與直線加+^+U=0相切的條件是pS1=2AC.兩個常見的曲線系方程⑴過曲線心）二的交點的曲線系方程是總利）+協(xié)（硼）=。（丸為參數(shù)）.22⑵共焦點的有心圓錐曲線系方程，其中七犬爼亦依丄〕.當k 時,表示橢圓；當<^<rnaK（^ 時,表示雙曲線.直線與圓錐曲線相交的弦長公式嗣二族一汀十a(chǎn)一曲或=J（1十芒）［（心十並尸_4毛巧］二|珂—切&+tan2化二|乃-丹|J1十coGy=kx+b弦端點A鼬Ji）』⑴丿』，由方程［F笑畀）=°消去y得到竝'+加+*0,心= 為直線A5的傾斜角，疋為直線的斜率，I可—可A 十心F—4兩兀.圓錐曲線的兩類對稱問題1曲線FET關(guān)于點P（W）成中心對稱的曲線是月（2兀兀磯-溝=0.2曲線Fg）=。關(guān)于直線加+?+U=Q成軸對稱的曲線是鮎⑷+亦（7）鮎⑷+亦（7）朋（皿+的+0人n才十聲特別地，曲線F（S）=Q關(guān)于原點。成中心對稱的曲線是F（-o）=Q.曲線片（兀刃=°關(guān)于直線龍軸對稱的曲線是月（?！卸?曲線月（兀刃二°關(guān)于直線卩軸對稱的曲線是肌—兀M二0.曲線月（兀X）二°關(guān)于直線P二x軸對稱的曲線是月3衛(wèi)）二0.曲線F（"=Q關(guān)于直線P二-x軸對稱的曲線是鞏-f）=Q.動點M到定點F的距離與到定直線f的距離之比為常數(shù)舀，假設(shè)0弋目c1,M的軌跡為橢圓；假設(shè)￡=1,M的軌跡為拋物線；假設(shè)＞1，M的軌跡為雙曲線。證明直線與直線的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；3轉(zhuǎn)化為線面平行；4轉(zhuǎn)化為線面垂直；5轉(zhuǎn)化為面面平行.證明直線與平面的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；2轉(zhuǎn)化為線線平行；3轉(zhuǎn)化為面面平行.105.證明平面與平面平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；2轉(zhuǎn)化為線面平行；3轉(zhuǎn)化為線面垂直.106.證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.107.證明直線與平面垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；4轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面。證明平面與平面的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；(3)轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行?？臻g向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律加法交換律：耳+$二石+莊.加法結(jié)合律：(◎+鳥)+匕二厲+(&+3).⑶數(shù)乘分配律：入(茁+$)=入茁+入?yún)[平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.共線向量定理對空間任意兩個向量三、（石工6）, 存在實數(shù)入使耳二入*.只A￡三點共線?^\\^^AP=iAB^O?=O-^OA-^tOB.AB\\CD^^、五共線且UD不共線^AB=iCD且丄RUD不共線.共面向量定理向量蘆與兩個不共線的向量茁、共面的O存在實數(shù)對工』,使"咸+拓.推論 空間一點P位于平面MAB內(nèi)的O存在有序?qū)崝?shù)對兀P,使就二融2旋,或?qū)臻g任一定點O,有序?qū)崝?shù)對工』，使帀二阪+五+題.對空間任一點。和不共線的三點A、B、C,滿足^OA-^yOB+zOC =k，則當七=1時，對于空間任一點。，總有P、A、B、C四點共面；當七芒1時，假設(shè)0E平面ABC，則P、A、B、C四點共面；假設(shè)0茫平面ABC，則P、A、B、C四點不共面.也ZUD四點共面O■忑5與而、麗共面?A5=xAB+yACOD={\-x-y）OAVxOB+yOC0芒平面ABC.空間向量基本定理如果三個向量怎、、不共面，那么對空間任一向量石，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使聲=—I-+y^+zu.推論設(shè)0、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z,使OP-xOA-\-yOB-hzOC115.射影公式已知向量血蟲和軸1,是f上與F同方向的單位向量?作A點在F上的射影叢作B點在F上的射影歡,則向量的直角坐標運算設(shè)茁=（知％爲），￡=（%爼鳥）則（1）茁+￡=（圧1+%旳+爲「色+鳥）；⑵莊一掃=⑷-A衛(wèi)？-婦礙-鳥）；⑶入莊=（加1以旳找込）（入GR）；⑷茁.￡=呦對+%◎+色鳥；設(shè)坷），B氏必耳）,貝Vab二ob-oa二-兀yi~y^z2~叼）.空間的線線平行或垂直—h —h設(shè)尬二輛Ji嗎），$二區(qū)必宀），貝y珂—JL兀2i71=軌4|仍o=見遠蓋6）o壇=雄；a丄7O■直?￡二0Oxix2十卩譏+ziz2=0.夾角公式丄r 皿1為4-tSnin+心業(yè)cos<a,bn= 丄設(shè)莊=（&i衛(wèi)2'色），心=@1，爼鳥），貝y J&i+的+也+鳥亠爲.推論⑷外+%鳥+^03）莖（珂+的"*■爲"*■鳥），此即三維柯西不等式.C6S0="感面正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為日，則 '割面。cosB二一特別地，對于正四面體每兩個面所成的角為耳，有121.異面直線所成角L嚴0劃二 丨聞+北乙+區(qū)邑|其中^0°<d<W為異面直線說/所成角，&上分別表示異面直線為掃的方向向量122.直線丿月與平面所成角“ ^AB-m住i= sm-^=p—=r-—（為平面①的法向量）.123.二面角2一0的平面角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角y=arccc-s ―=f- 丹■—說廠匸匚;os ——十 c丨啊岡或 ，為平面◎，戸的法向量.124折疊角定理設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線,AD是a的一條斜線AB在a內(nèi)的射影，且BD丄AD,垂足為D,設(shè)AB與a（AD）所成的角為耳，AD與AC所成的角為耳，AB與AC所成的角為?貝嚴汩二口妬口毘.125.空間兩點間的距離公式假設(shè)坷）,B氏必耳）,則圧-A.B=忑卜倔盂二J也—珂『十仇一乃^十②一.126.點◎到直線f距離血=厶/|恥『一（乩疔|釧（點血=厶/|恥『一（乩疔|釧（點P在直線^上,為直線』的方向向量,異面直線間的距離—I可刁HI（心盤是兩異面直線，其公垂向量為；，、衛(wèi)分別是1^2上任一點，國為間的距離）.點占到平面①的距離—I琴網(wǎng)十hl舟為平面①的法向量，丿亡仕，丿月是心的一條斜線段.異面直線上兩點距離公式d=yk2+^2+干2喘毗。呂日2液赴cos(pq}=E-A4‘-F（兩條異面直線a、b所成的角為。，其公垂線段山'的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F,AE=質(zhì)腫=用，EF=d）三個向量和的平方公式■+■■+—I■下-+2—j-+2 ~~~—I- -+—I-（a-￥b =a+bJr2abJr2bc-a=a=a+百+c+2|(s|■|QQs^a,h^+2|■|c|131.作截面的依據(jù)三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方；相應小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的立方比；相應小棱錐的的側(cè)面積與原棱錐的的側(cè)面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比.球的半徑是R,貝V其體積V=護，其外表積&= .134.球的組合體（1）球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.（2）球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.（3）球與正四面體的組合體：棱長為出的正四面體的內(nèi)切球的半徑為12°（正四面體高？門的4）,外接球的半徑為4門（正四面體高。的4）.柱體、錐體的體積比話=-^應詐3 ￡是柱體的底面積、曲是柱體的高.盼3 &是錐體的底面積、忌是錐體的高.分類計數(shù)原理加法原理："二附+吧分步計數(shù)原理乘法原理：“二叫淇黔/…匯叫.nI排列數(shù)公式：朋T）…依一喘+1）二譏一鍥）！?（用，喘GN*，且喘蘭用）.規(guī)定01=1.139.排列恒等式：（1朋二3-牌+1）裁；2%—匸懇3農(nóng)二曲貯；MW； 5船嚴代+曲T1（6）11+2.2!+3.31+-+?.?1=（^+1）1-1.

用（用一1）--（斥一啊+1） 斥！140.組合數(shù)公式：G二九二 1顯2波…x用 二喘I-（能一湖（怎GN*,廉亡M，且喘蘭用）.141.組合數(shù)的兩個性質(zhì):⑴二匚；";（2）亡；'二匸爲.規(guī)定142.組合恒等式用一唧+1;2n-m;24r-04r-0它；⑹図+^+空+…+①+…+㈡二尸⑺炭+亡：+⑴+…二哦+戌+代+…嚴.⑻疣+2U；+近+…+血；》嚴.嚴孑嚴QI嚴嚴1 | |嚴Q丁嚴丫宀（9） J戰(zhàn)J” 純 55二JjH+K.（10） （UF+W+（U"+??‘+?；）—%143?排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系：農(nóng)二吵瞬.單條件排列以下各條的大前提是從總個元素中取喘個元素的排列1“在位”與“不在位”①某特元必在某位有種；②某特元不在某位有4i&_i補集思想=A-iA-i著眼位置二&-1+心-14-1著眼元素種.2緊貼與插空即相鄰與不相鄰①定位緊貼：耳上蘭陀蘭對個元在固定位的排列有種.

②浮動緊貼：旳個元素的全排列把k個元排在一起的排法有康種.注：此類問題常用捆綁法；插空：兩組元素分別有k、h個上蘭曲+1,把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有卅衛(wèi)：+1種.3兩組元素各相同的插空喘個大球挖個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？心十1_rfiSK~J脛+1當科〉唧+1時，無解；當用壬幫+1時，有g(shù) 種排法.4兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為分配問題1（平均分組有歸屬問題）將相異的喘川個物件等分給胸個人，各得總件，其分配方法數(shù)共有JHT-r-￥M廠H r-fM rfMrfM !2（平均分組無歸屬問題）將相異的喘"個物體等分為無記號或無順序的胸堆，其分配方法數(shù)共有3（非平均分組有歸屬問題）將相異的P〔P二冃十耳十…十口』個物體分給將個人，物件必須被分完，分別得到灼，溝，…，耳件，且灼，溝，…，忌這喘個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有4（非完全平均分組有歸屬問題）將相異的P〔PF十耳十…十珥）個物體分給將個人，物件必須被分完，分別得到叫,?%件，且灼，吟，…，％這喘個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)p\m\

p\m\5（非平均分組無歸屬問題）將相異的P於門】十耳十」加』個物體分為任意的?,,…，件無記號的喘堆,N二一?-一且?，吟，…，耳這喘個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有 陰…唧.6（非完全平均分組無歸屬問題）將相異的P〔PF十耳十…十珥）個物體分為任意的◎,%,???,%件無記號 的喘堆,且?,，,???，“這搐個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有 即珀…兔心⑻已…）.7（限定分組有歸屬問題）將相異的戸戸二％十恢十…十％個物體分給甲、乙、丙，……等喘個人，物體必須被分完，如果指定甲得灼件，乙得吟件，丙得嗎件，…時，則無論耳，％,…，％等將個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有N二氏'?給…算=——F董' E用］!挖J“錯位問題”2封信與2個信封全部錯位排列數(shù)：1；3封信與3個信封全部錯位排列數(shù)：2；4封信與4個信封全部錯位排列數(shù)：9；5封信與5個信封全部錯位排列數(shù)：44；一般記著上面的就夠了推廣貝努利裝錯箋問題:信總封信與占個信封全部錯位的組合數(shù)為八*訕引41 ?’顯.推廣：芒個元素與用個位置，其中至少有將個元素錯位的不同組合總數(shù)為孑佢同二屈一①3-即十氏3-即一蘭佢一列十①心一4）I-…+（-1）9帥-沙+…+〔-1）9噩斥-初!不定方程 険的解的個數(shù)⑴方程七尹…+耳二聊用嚴e礦的正整數(shù)解有匚匚個.⑵方程= 的非負整數(shù)解有匚二個.⑶方程^十冷十…憶二聊衛(wèi)嚴e礦滿足條件(七e礦，2乞讓科-1)的非負整數(shù)解有Um個.148.二項式定理@+占)"二悄汕+睜叫+覺嚴滬+…+U；『"V+…+U；護;二項展開式的通項公式審1二久廠‘擴(『二°，12「對.畑二3十瓊二唧+…乜定的展開式的系數(shù)關(guān)系：卻+阿+口2 嗎二/⑴；卻一陽+色+…+〔一1尸嗎二了(T)；卻二了(°)。P(A)=—TOC\o"1-5"\h\z149?等可能性事件的概率： 皿.150?互斥事件A,B分別發(fā)生的概率的和：P(A+B)=P(A)+P(B).151?怎個互斥事件分別發(fā)生的概率的和：P(A+A+——A)=P(A)+P(A)+——P(A).1 2 n 1 2 n獨立事件A,B同時發(fā)生的概率：P(A?B)二P(A)?P(B).n個獨立事件同時發(fā)生的概率：P(A?A A)=P(A)?P(A) P(A)\o"CurrentDocument"1 2 n 1 2 nn次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率:匕(対二亡:嚴Q-F)4\離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)1呂二12…)；2嘰+珂+…二1.數(shù)學期望:玩二氓fA…+%P嚴…157.數(shù)學期望的性質(zhì)1E(a^b)=aE(i)^-b2假設(shè)云?鞏足P）,則丑F二零.“睨二丄⑶ 假設(shè)醐服從幾何分布，且^=^=g^P）=^f月，貝UF.方差：刀占=+（吃-碼）‘丹+…+氏-硏廣為+…標準差：兀二方差的性質(zhì)⑴糾站戀）二/砂；（2假設(shè)云?月仏功，則口直二零〔1一戸）.D芝二—⑶假設(shè)云服從幾何分布，且F（d能滬嚴月，則一錄方差與期望的關(guān)系：砂二聘-【跨）[1E162?正態(tài)分布密度函數(shù)：WpSW,式中的實數(shù)口，"">0是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標準差.]-匚標準正態(tài)分布密度函數(shù)：‘s_転『用珂對于盹巧，取值小于x的概率：鞏山4寧」嗆15<x2)=F^cx2)-P(x<x1)165.回歸直線方程其中166.相關(guān)系數(shù)：|r|W1,且|r|越接近于1,相關(guān)程度越大；|r|越接近于0,相關(guān)程度越小.167.特殊數(shù)列的極限limq1=\\limq1=\\、不存在kl<i§i|?|cl或？=-1lim0不存在(占7(k>f)169.函數(shù)的夾逼性定理如果函數(shù)