高三數(shù)學(xué)-6-3第三講不等式的證明教師講義手冊(cè)課件(全國(guó)版)-文-新人教A版

●基礎(chǔ)知識(shí)一、比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為

、

．1．作差法①理論依據(jù)：a>b?

；a<b?

；a＝b?

.②證明步驟：

―→

―→

．作差法作商法a－b>0a－b<0a－b＝0作差變形判斷符號(hào)2．作商法①要證A>B(B>0)，只要證

；要證A<B(A>0)，只要證

.

②證明步驟：

―→

―→

．常用變形方法：一是配方法，二是分解因式．作商變形判斷與1的關(guān)系二、分析法 從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法．分析法的思想是“”：即從求證的不等式出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式．采用分析法證明不等式時(shí)，常用“

”的符號(hào)，有時(shí)，若為充要條件時(shí)，也常用“

”的符號(hào)．證明過(guò)程常表示為“要證……只要證……”．充分條件執(zhí)果索因??三、綜合法所謂綜合法，就是從

和已經(jīng)證明過(guò)的基本不等式和不等式的

推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，可簡(jiǎn)稱為

．在使用綜合法證明不等式時(shí)，要注意基本不等式的應(yīng)用．題設(shè)條件由因?qū)Ч再|(zhì)常用的基本不等式有：(1)若a，b∈R，則a2

0，|a|

0，(a±b)2

0，a2±2ab＋b2

0.(2)若a，b∈R，則a2＋b2

2ab(當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào))，

≥ab(當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào))；若a＋b＞0，且ab≠0，則

(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))；

a2＋b2＋c2≥

(當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào))等．

≥≥≥≥≥a＝ba＝b≥ab＋bc＋aca＝b＝c(3)若a，b∈R＋，則

≤

(4)若ab＞0，則

2.

(5)||a|－|b||≤

≤

.應(yīng)用上述基本不等式時(shí)，一要注意條件

；二要注意不等式

的條件．常用不等式：若a，b，m＞0，且a＜b，≥|a±b||a|＋|b|a，b的符號(hào)等號(hào)成立●易錯(cuò)知識(shí)不等式的性質(zhì)用錯(cuò)．1．a(chǎn)、b是正數(shù)，求證：

解題思路：注：錯(cuò)解：∵a2＋b2≥2ab，a＋b≥2

●回歸教材1．若a＞b，m＞0，則下列不等式恒成立的是 ()A．(a＋m)2＞(b＋m)2C．(a－m)3＞(b－m)3D．|am|＞|bm|解析：a＞b，m＞0?a－m＞b－m?(a－m)3＞(b－m)3.答案：C2．下列三個(gè)不等式：①a2＋2＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③(a2＋b2)(c2＋d2)＞(ac＋bd)2.其中，恒成立的有 ()A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)解析：對(duì)①a2＋2－2a＝(a－1)2＋1≥1＞0，①恒成立．對(duì)②a2＋b2－2(a－b－1)＝a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)取“＝”，②不恒成立．對(duì)③(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－2abcd－b2d2＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)取“＝”，③不恒成立．故選C.答案：C3．(教材P145題改編)已知a，b，c，d∈{正實(shí)數(shù)}且

則 ()解析：法一：∵a、b、c、d為正實(shí)數(shù)，只要比較a(b＋d)與b(a＋c)，即：ab＋ad與ab＋bc，即：ad與bc.又∵

∴ad＜bc，法二：可取特殊值，驗(yàn)證．如：a＝1，b＝2，c＝3，d＝4.顯然B、C、D不對(duì)，只有A符合要求．答案：A4．(2009·宜昌調(diào)研)若a，x，y是正數(shù)，且

恒成立，則a的最小值為 ()當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)．答案：BA．P≥Q B．P≤QC．P＞Q D．P＜Q答案：B【例1】已知a＞0，b＞0，求證：

[分析]

(1)將不等式左邊通分后，可以看到分子化為的形式，結(jié)合右邊的形式，可考慮用作差法．(2)作差后局部通分．(3)不等式兩邊都是正值，且左式通分后與右式有公因式，可考慮用作商法．[證明]

方法一：(作差比較法)方法二：(作商比較法)[總結(jié)評(píng)述]

用作差法證明不等式的三個(gè)步驟中關(guān)鍵的步驟是“變形”，一般變形的手段是把不等式因式分解、配方等．變形結(jié)果往往是：(1)變形為常數(shù)；(2)變形為非負(fù)實(shí)數(shù)(如完全平方數(shù)、絕對(duì)值等)；(3)變形為n個(gè)因式的乘積(或商)的形式．總之，變形的目的是有利于下一步判斷符號(hào)．在判斷符號(hào)時(shí)，要有詳細(xì)的敘述過(guò)程，有時(shí)還要局部地用基本不等式進(jìn)行證明或者分類討論．在使用作商法比較時(shí)，要注意說(shuō)明分母的符號(hào)．一般來(lái)說(shuō)，證明指數(shù)不等式時(shí)常用作商法，而證整式不等式、分式不等式、對(duì)數(shù)不等式時(shí)常用作差法，其原則是看是否有利于變形．(2009·福州)設(shè)a＞b＞0，求證：

分析：本題主要考查證明不等式的基本方法——比較法，可用作差法或作商法來(lái)證．證明：方法一：∵a＞b＞0，總結(jié)評(píng)述：用作商法時(shí)，不能不討論除式的符號(hào)而盲目得結(jié)論.例2】(2009·煙臺(tái))設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1.

[證明]

(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

[總結(jié)評(píng)述]

本題多次利用均值不等式，但取等號(hào)的條件卻是相同的．要把握不等號(hào)方向的一致性，除了已知基本不等式的直接使用，還應(yīng)掌握由已知不等式簡(jiǎn)單變形而得到的一些結(jié)論：如等．利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，要揭示條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系及不等式兩端的差異與聯(lián)系．a(chǎn)，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc＝1，求證：

解析：證法一：由左式?右式∵abc＝1，且a，b，c為互不相等的正數(shù)證法二：右式?左式∵a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc＝1.【例3】是否存在常數(shù)C，使得不等式

對(duì)任意正數(shù)x，y恒成立？試證明你的結(jié)論．[分析]

本題主要考查用分析法證明不等式及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．可先令x，y為具體的值，確定出常數(shù)C，再給出一般證明．下面給出證明：只需證3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)，即x2＋y2≥2xy，這顯然成立，只需證：3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)，即2xy≤x2＋y2，這顯然成立，[總結(jié)評(píng)述]

當(dāng)要證的不等式較復(fù)雜，兩端差異難以消除或者已知條件信息量太少，已知與待證間的聯(lián)系不明顯時(shí)，一般可采用分析法，分析法是步步尋求不等式成立的充分條件，而實(shí)際操作時(shí)往往是先從要證的不等式出發(fā)，尋找使不等式成立的必要條件，再考慮這個(gè)必要條件是否充分，這種“逆求”過(guò)程，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，也是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題時(shí)常用的思考方法．已知a＞b＞0，

證明：欲證原不等式成立，因a＞b＞0，故上式顯然成立，∴原不等式成立．總結(jié)評(píng)述：通過(guò)等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之，亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過(guò)一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出特征的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч?，為溝通?lián)系的途徑，證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析法與綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到解決欲證不等式的目的.【例4】對(duì)于任意x∈N＋，求證：

[探究]

①利用放縮法證明不等式應(yīng)適當(dāng)掌握放縮尺度，否則放的過(guò)大或縮的過(guò)小，如解析一中若從第二項(xiàng)

開(kāi)始放大，結(jié)果為這樣顯然放的過(guò)大．②本題是通過(guò)改變n2中一個(gè)因式或兩個(gè)因式的大小達(dá)到放縮的目的，對(duì)于多項(xiàng)式可通過(guò)添上或去掉個(gè)別項(xiàng)達(dá)到放縮的目的．③均值不等式、絕對(duì)值不等式等一些重要不等式都可以作為放縮公式，另外自己應(yīng)該總結(jié)一些常見(jiàn)的放縮公式，如：

n！＞2n－1(n≥3)、2n－1＞n＋1(n≥4)．解法二：∵x∈N*，n≥2時(shí)，n2＞n2－1＝(n＋1)(n－1)證明不等式：思路點(diǎn)撥：考慮不等式自身的特點(diǎn)，可用放縮法、構(gòu)造函數(shù)法或數(shù)學(xué)歸納法．解析：方法一：(放縮法)方法二：(構(gòu)造函數(shù)法)∴f(k＋1)＞f(k)，即f(n)是n∈N*上的增函數(shù)．∴f(n)≥f(1)＝2－1＝1＞0，總結(jié)評(píng)述：放縮法、構(gòu)造法是證明不等式的常用方法．放縮法證明不等式時(shí)，放縮要適度，必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，常用的放縮法有增項(xiàng)、減項(xiàng)，利用分式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，函數(shù)的性質(zhì)等，構(gòu)造法證明不等式，往往利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，幾何圖形的性質(zhì)等解決問(wèn)題．1．作差比較法證明不等式時(shí)