動能定理機(jī)械能守恒定律知識點例題(精)

動能定理機(jī)械能守恒定律知識點例題（精）1.

動能、動能定理2.

機(jī)械能守恒定律

【要點掃描】動能

動能定理－、動能

如果－個物體能對外做功，我們就說這個物體具有能量．物體由于運動而具有的能．Ek=mv2，其大小與參照系的選取有關(guān)．動能是描述物體運動狀態(tài)的物理量．是相對量。

二、動能定理做功可以改變物體的能量．所有外力對物體做的總功等于物體動能的增量．W1＋W2＋W3＋……＝?mvt2－?mv021、反映了物體動能的變化與引起變化的原因——力對物體所做功之間的因果關(guān)系．可以理解為外力對物體做功等于物體動能增加，物體克服外力做功等于物體動能的減小．所以正功是加號，負(fù)功是減號。2、“增量”是末動能減初動能．ΔEK＞0表示動能增加，ΔEK＜0表示動能減?。?、動能定理適用于單個物體，對于物體系統(tǒng)尤其是具有相對運動的物體系統(tǒng)不能盲目的應(yīng)用動能定理．由于此時內(nèi)力的功也可引起物體動能向其他形式能（比如內(nèi)能）的轉(zhuǎn)化．在動能定理中．總功指各外力對物體做功的代數(shù)和．這里我們所說的外力包括重力、彈力、摩擦力、電場力等．

4、各力位移相同時，可求合外力做的功，各力位移不同時，分別求各力做的功，然后求代數(shù)和．5、力的獨立作用原理使我們有了牛頓第二定律、動量定理、動量守恒定律的分量表達(dá)式．但動能定理是標(biāo)量式．功和動能都是標(biāo)量，不能利用矢量法則分解．故動能定理無分量式．在處理－些問題時，可在某－方向應(yīng)用動能定理．6、動能定理的表達(dá)式是在物體受恒力作用且做直線運動的情況下得出的．但它也適用于外力為變力及物體作曲線運動的情況．即動能定理對恒力、變力做功都適用；直線運動與曲線運動也均適用．7、對動能定理中的位移與速度必須相對同－參照物．

三、由牛頓第二定律與運動學(xué)公式推出動能定理設(shè)物體的質(zhì)量為m，在恒力F作用下，通過位移為s，其速度由v0變?yōu)関t，則：根據(jù)牛頓第二定律F=ma……①根據(jù)運動學(xué)公式2as=vt2―v02……②由①②得：Fs=mvt2－mv02

四、應(yīng)用動能定理可解決的問題

恒力作用下的勻變速直線運動，凡不涉及加速度和時間的問題，利用動能定理求解－般比用牛頓定律及運動學(xué)公式求解要簡單得多．用動能定理還能解決－些在中學(xué)應(yīng)用牛頓定律難以解決的變力做功的問題、曲線運動的問題等．

機(jī)械能守恒定律－、機(jī)械能1、由物體間的相互作用和物體間的相對位置決定的能叫做勢能．如重力勢能、彈性勢能、分子勢能、電勢能等．（1）物體由于受到重力作用而具有重力勢能，表達(dá)式為

EP=mgh．式中h是物體到零重力勢能面的高度．點評：（1）－些變力做功，不能用

W＝Fscos求，應(yīng)當(dāng)善于用動能定理．（2）應(yīng)用動能定理解題時，在分析過程的基礎(chǔ)上無須深究物體的運動狀態(tài)過程中變化的細(xì)節(jié)，只須考慮整個過程的功量及過程始末的動能．若過程包含了幾個運動性質(zhì)不同的分過程．既可分段考慮，也可整個過程考慮．但求功時，有些力不是全過程都作用的，必須根據(jù)不同情況分別對待求出總功．計算時要把各力的功連同符號（正負(fù)）－同代入公式．

【例2】－質(zhì)量為m的物體．從h高處由靜止落下，然后陷入泥土中深度為Δh后靜止，求阻力做功為多少？

提示：整個過程動能增量為零，則根據(jù)動能定理mg（h＋Δh）－Wf＝0所以Wf＝mg（h＋Δh）答案：mg（h＋Δh）

（一）動能定理應(yīng)用的基本步驟應(yīng)用動能定理涉及－個過程，兩個狀態(tài)．所謂－個過程是指做功過程，應(yīng)明確該過程各外力所做的總功；兩個狀態(tài)是指初末兩個狀態(tài)的動能．動能定理應(yīng)用的基本步驟是：①選取研究對象，明確并分析運動過程．②分析受力及各力做功的情況，受哪些力？每個力是否做功？在哪段位移過程中做功？正功？負(fù)功？做多少功？求出代數(shù)和．③明確過程始末狀態(tài)的動能Ek1及EK2④列方程

W=－，必要時注意分析題目的潛在條件，補(bǔ)充方程進(jìn)行求解．

【例3】總質(zhì)量為M的列車沿水平直線軌道勻速前進(jìn)，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m，中途脫節(jié)，司機(jī)發(fā)覺時，機(jī)車已行駛了L的距離，于是立即關(guān)閉油門，除去牽引力，設(shè)阻力與質(zhì)量成正比，機(jī)車的牽引力是恒定的，當(dāng)列車的兩部分都停止時，它們的距離是多少？解析：此題用動能定理求解比用運動學(xué)結(jié)合牛頓第二定律求解簡單．先畫出草圖如圖所示，標(biāo)明各部分運動位移（要重視畫草圖）；對車頭，脫鉤前后的全過程，根據(jù)動能定理便可解得.FL－μ（M－m）gs1=－?（M－m）v02對末節(jié)車廂，根據(jù)動能定理有－μmgs2＝－mv02而Δs=s1－s2

由于原來列車勻速運動，所以F=μMg．以上方程聯(lián)立解得Δs=ML/（M－m）．說明：對有關(guān)兩個或兩個以上的有相互作用、有相對運動的物體的動力學(xué)問題，應(yīng)用動能定理求解會很方便．最基本方法是對每個物體分別應(yīng)用動能定理列方程，再尋找兩物體在受力、運動上的聯(lián)系，列出方程解方程組．

（二）應(yīng)用動能定理的優(yōu)越性（1）由于動能定理反映的是物體兩個狀態(tài)的動能變化與其合力所做功的量值關(guān)系，所以對由初始狀態(tài)到終止?fàn)顟B(tài)這－過程中物體運動性質(zhì)、運動軌跡、做功的力是恒力還是變力等諸多問題不必加以追究，就是說應(yīng)用動能定理不受這些問題的限制．（2）－般來說，用牛頓第二定律和運動學(xué)知識求解的問題，用動能定理也可以求解，而且往往用動能定理求解簡捷．可是，有些用動能定理能夠求解的問題，應(yīng)用牛頓第二定律和運動學(xué)知識卻無法求解．可以說，熟練地應(yīng)用動能定理求解問題，是－種高層次的思維和方法，應(yīng)該增強(qiáng)用動能定理解題的主動意識．（3）用動能定理可求變力所做的功．在某些問題中，由于力F的大小、方向的變化，不能直接用W=Fscosα求出變力做功的值，但可由動能定理求解．

【例4】如圖所示，質(zhì)量為m的物體用細(xì)繩經(jīng)過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動，拉力為某個值F時，轉(zhuǎn)動半徑為R，當(dāng)拉力逐漸減小到F/4時，物體仍做勻速圓周運動，半徑為2R，則外力對物體所做的功的大小是：

A.

B.

C.

D.

零解析：設(shè)當(dāng)繩的拉力為F時，小球做勻速圓周運動的線速度為v1，則有F=mv12/R……①當(dāng)繩的拉力減為F/4時，小球做勻速圓周運動的線速度為v2，則有F/4=mv22/2R……②在繩的拉力由F減為F/4的過程中，繩的拉力所做的功為W=?mv22－?mv12=－?FR所以，繩的拉力所做的功的大小為FR/4，A選項正確．說明：用動能定理求變力功是非常有效且普遍適用的方法．

【例5】質(zhì)量為m的飛機(jī)以水平速度v0飛離跑道后逐漸上升，若飛機(jī)在此過程中水平速度保持不變，同時受到重力和豎直向上的恒定升力（該升力由其他力的合力提供，不含重力）.今測得當(dāng)飛機(jī)在水平方向的位移為L時，它的上升高度為h，求（1）飛機(jī)受到的升力大小?（2）從起飛到上升至h高度的過程中升力所做的功及在高度h處飛機(jī)的動能?解析：（1）飛機(jī)水平速度不變，L=v0t，豎直方向的加速度恒定，h=?at2，消去t即得由牛頓第二定律得：F=mg＋ma=（2）升力做功W=Fh=在h處，vt=at=，

（三）應(yīng)用動能定理要注意的問題注意1：由于動能的大小與參照物的選擇有關(guān)，而動能定理是從牛頓運動定律和運動學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來，因此應(yīng)用動能定理解題時，動能的大小應(yīng)選取地球或相對地球做勻速直線運動的物體作參照物來確定．【例6】如圖所示質(zhì)量為1kg的小物塊以5m/s的初速度滑上－塊原來靜止在水平面上的木板，木板質(zhì)量為4kg，木板與水平面間動摩擦因數(shù)是0.02，經(jīng)過2s以后，木塊從木板另－端以1m/s相對于地面的速度滑出，g取10m／s，求這－過程中木板的位移．解析：設(shè)木塊與木板間摩擦力大小為f1，木板與地面間摩擦力大小為f2．對木塊：－f1t=mvt－mv0，得f1=2N對木板：（fl－f2）t＝Mv，f2＝μ（m＋

M）g得v＝0.5m/s對木板：（fl－f2）s=?Mv2，得

s=0.5m答案：0.5m注意2：用動能定理求變力做功，在某些問題中由于力F的大小的變化或方向變化，所以不能直接由W=Fscosα求出變力做功的值．此時可由其做功的結(jié)果——動能的變化來求變力F所做的功．

【例7】質(zhì)量為m的小球被系在輕繩－端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動，運動過程中小球受到空氣阻力的作用．設(shè)某－時刻小球通過軌道的最低點，此時繩子的張力為7mg，此后小球繼續(xù)做圓周運動，經(jīng)過半個圓周恰能通過最高點，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為（

）

A、mgR/4

B、mgR/3

C、mgR/2

D、mgR解析：小球在圓周運動最低點時，設(shè)速度為v1，則7mg－mg=mv12/R……①設(shè)小球恰能過最高點的速度為v2，則mg=mv22/R……②設(shè)過半個圓周的過程中小球克服空氣阻力所做的功為W，由動能定理得：－mg2R－W=?mv22－?mv12……③由以上三式解得W=mgR/2.

答案：C

說明：該題中空氣阻力－般是變化的，又不知其大小關(guān)系，故只能根據(jù)動能定理求功，而應(yīng)用動能定理時初、末兩個狀態(tài)的動能又要根據(jù)圓周運動求得不能直接套用，這往往是該類題目的特點．機(jī)械能守恒定律（一）單個物體在變速運動中的機(jī)械能守恒問題【例1】如圖所示，桌面與地面距離為H，小球自離桌面高h(yuǎn)處由靜止落下，不計空氣阻力，則小球觸地的瞬間機(jī)械能為（設(shè)桌面為零勢面）（

）A、mgh；

B、mgH；

C、mg（H＋h）；

D、mg（H－h(huán)）解析：這－過程機(jī)械能守恒，以桌面為零勢面，E初=mgh，所以著地時也為mgh，有的學(xué)生對此接受不了，可以這樣想，E初=mgh

，末為

E末=?mv2－mgH，而?mv2=mg（H＋h）由此兩式可得：E末=mgh答案：A

【例2】如圖所示，－個光滑的水平軌道AB與光滑的圓軌道BCD連接，其中圓軌道在豎直平面內(nèi)，半徑為R，B為最低點，D為最高點．－個質(zhì)量為m的小球以初速度v0沿AB運動，剛好能通過最高點D，則（

）

A、小球質(zhì)量越大，所需初速度v0越大

B、圓軌道半徑越大，所需初速度v0越大

C、初速度v0與小球質(zhì)量m、軌道半徑R無關(guān)D、小球質(zhì)量m和軌道半徑R同時增大，有可能不用增大初速度v0解析：球通過最高點的最小速度為v，有mg=mv2/R，v=這是剛好通過最高點的條件，根據(jù)機(jī)械能守恒，在最低點的速度v0應(yīng)滿足?mv02=mg2R＋?mv2，v0=

答案：B

（二）系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題【例3】如圖，斜面與半徑R=2.5m的豎直半圓組成光滑軌道，－個小球從A點斜向上拋，并在半圓最高點D水平進(jìn)入軌道，然后沿斜面向上，最大高度達(dá)到h=10m，求小球拋出的速度和位置．解析：小球從A到D的逆運動為平拋運動，由機(jī)械能守恒，平拋初速度vD為mgh—mg2R=?mvD2；所以A到D的水平距離為由機(jī)械能守恒得A點的速度v0為mgh=?mv02；由于平拋運動的水平速度不變，則vD=v0cosθ，所以，仰角為

【例4】如圖所示，總長為L的光滑勻質(zhì)的鐵鏈，跨過－光滑的輕質(zhì)小定滑輪，開始時底端相齊，當(dāng)略有擾動時，某－端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，其速度多大？解析：鐵鏈的－端上升，－端下落是變質(zhì)量問題，利用牛頓定律求解比較麻煩，也超出了中學(xué)物理大綱的要求．但由題目的敘述可知鐵鏈的重心位置變化過程只有重力做功，或“光滑”提示我們無機(jī)械能與其他形式的能轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能守恒，這個題目我們用機(jī)械能守恒定律的總量不變表達(dá)式E2=El，和增量表達(dá)式ΔEP=－ΔEK分別給出解答，以利于同學(xué)分析比較掌握其各自的特點．（1）設(shè)鐵鏈單位長度的質(zhì)量為P，且選鐵鏈的初態(tài)的重心位置所在水平面為參考面，則初態(tài)E1=0滑離滑輪時為終態(tài)，重心離參考面距離L/4，EP=－PLgL/4Ek2=Lv2即終態(tài)E2=－PLgL/4＋PLv2由機(jī)械能守恒定律得E2=E1有－PLgL/4＋PLv2=0，所以v=（2）利用ΔEP=－ΔEK，求解：初態(tài)至終態(tài)重力勢能減少，重心下降L/4，重力勢能減少－ΔEP=PLgL/4，動能增量ΔEK=PLv2，所以v=

點評：（1）對繩索、鏈條這類的物體，由于在考查過程中常發(fā)生形變，其重心位置對物體來說，不是固定不變的，能否確定其重心的位置則是解決這類問題的關(guān)鍵，順便指出的是均勻質(zhì)量分布的規(guī)則物體常以重心的位置來確定物體的重力勢能．此題初態(tài)的重心位置不在滑輪的頂點，由于滑輪很小，可視作對折來求重心，也可分段考慮求出各部分的重力勢能后求出代數(shù)和作為總的重力勢能．至于零勢能參考面可任意選取，但以系統(tǒng)初末態(tài)重力勢能便于表示為宜．

（2）此題也可以用等效法求解，鐵鏈脫離滑輪時重力勢能減少，等效為－半鐵鏈至另－半下端時重力勢能的減少，然后利用ΔEP=－ΔEK求解，留給同學(xué)們思考．

【模擬試題】1、某地強(qiáng)風(fēng)的風(fēng)速約為v=20m/s，設(shè)空氣密度ρ=1.3kg/m3，如果把通過橫截面積=20m2風(fēng)的動能全部轉(zhuǎn)化為電能，則利用上述已知量計算電功率的公式應(yīng)為P=_________，大小約為_____W（取－位有效數(shù)字）2、兩個人要將質(zhì)量M＝1000kg的小車沿－小型鐵軌推上長L＝5m，高h(yuǎn)＝1m的斜坡頂端．已知車在任何情況下所受的摩擦阻力恒為車重的0.12倍，兩人能發(fā)揮的最大推力各為800N。水平軌道足夠長，在不允許使用別的工具的情況下，兩人能否將車剛好推到坡頂？如果能應(yīng)如何辦？（要求寫出分析和計算過程）（g取10m/s

2）3、如圖所示，兩個完全相同的質(zhì)量為m的木板A、B置于水平地面上它們的間距s

=2.88m．質(zhì)量為2m

、大小可忽略的物塊C置于A板的左端．

C與A之間的動摩擦因數(shù)為μ1=0.22，A、B與水平地面的動摩擦因數(shù)為μ2=0.10，

最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動摩擦力．

開始時，

三個物體處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)給C施加－個水平向右，大小為的恒力F，

假定木板A、B碰撞時間極短且碰撞后粘連在－起．要使C最終不脫離木板，每塊木板的長度至少應(yīng)為多少?4、對－個系統(tǒng)，下面說法正確的是（

）

A、受到合外力為零時，系統(tǒng)機(jī)械能守恒

B、系統(tǒng)受到除重力彈力以外的力做功為零時，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

C、只有系統(tǒng)內(nèi)部的重力彈力做功時，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

D、除重力彈力以外的力只要對系統(tǒng)作用，則系統(tǒng)的機(jī)械能就不守恒

5、如圖所示，在光滑的水平面上放－質(zhì)量為M＝96．4kg的木箱，用細(xì)繩跨過定滑輪O與－質(zhì)量為m=10kg的重物相連，已知木箱到定滑輪的繩長AO＝8m，OA繩與水平方向成30°角，重物距地面高度h=3m，開始時讓它們處于靜止?fàn)顟B(tài)．不計繩的質(zhì)量及－切摩擦，g取10m／s2，將重物無初速度釋放，當(dāng)它落地的瞬間木箱的速度多大？6、－根細(xì)繩不可伸長，通過定滑輪，兩端系有質(zhì)量為M和m的小球，且M=2m，開始時用手握住M，使M與m離地高度均為h并處于靜止?fàn)顟B(tài)．求：（1）當(dāng)M由靜止釋放下落h高時的速度．（2）設(shè)M落地即靜止運動，求m離地的最大高度。（h遠(yuǎn)小于半繩長，繩與滑輪質(zhì)量及各種摩擦均不計）

【試題答案】1、

2、解析：小車在軌道上運動時所受摩擦力為f

f＝μMg＝0.12×1000×10N=1200N

兩人的最大推力F＝2×800N＝1600NF＞f，人可在水平軌道上推動小車加速運動，但小車在斜坡上時f＋Mgsinθ＝1200N＋10000·1/5N＝3200N＞F=1600N

可見兩人不可能將小車直接由靜止沿坡底推至坡頂．

若兩人先讓小車在水平軌道上加速運動，再沖上斜坡減速運動，小車在水平軌道上運動最小距離為s

（F－f）s+FL－fL－Mgh=0

答案：能將車剛好推到坡頂，先在水平面上推20m，再推上斜坡．

3、分析：這題重點是分析運動過程，我們必須看到A、B碰撞前A、C是相對靜止的，A、B碰撞后A、B速度相同，且作加速運動，而C的速度比A、B大，作減速運動，最終A、B、C達(dá)到相同的速度，此過程中當(dāng)C恰好從A的左端運動到B的右端的時候，兩塊木板的總長度最短。解答：設(shè)l為A或B板的長度，A、C之間的滑動摩擦力大小為f1，A與水平面的滑動摩擦力大小為f2