第二邏輯代數(shù)

第1頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算第2頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月變量的取值：邏輯0、邏輯1。與運(yùn)算或運(yùn)算非運(yùn)算變量的表示：用字母表示1、三種基本邏輯運(yùn)算一、邏輯變量二、基本邏輯運(yùn)算與基本邏輯門(mén)邏輯0和邏輯1不代表數(shù)值大小，僅表示相互矛盾、相互對(duì)立的兩種邏輯狀態(tài)下一頁(yè)前一頁(yè)退出第3頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月邏輯表達(dá)式F=A

B=AB與邏輯真值表與邏輯關(guān)系表1）與邏輯開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈F斷斷斷合合斷合合滅滅滅亮ABF101101000010ABF邏輯符號(hào)只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生與邏輯運(yùn)算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示運(yùn)算規(guī)則：見(jiàn)0為0,全1為1第4頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月邏輯表達(dá)式F=A+B或邏輯真值表2）或邏輯ABF1邏輯符號(hào)決定某一事件結(jié)果的任意條件成立時(shí)候，結(jié)果發(fā)生發(fā)生ABF101101001110N個(gè)輸入：F=A+

B+...+N或邏輯運(yùn)算符，也有用“∨”、“∪”表示運(yùn)算規(guī)則：見(jiàn)1為1,全0為0下一頁(yè)前一頁(yè)退出第5頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3）非邏輯當(dāng)決定某一事件的條件滿(mǎn)足時(shí)，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生，非邏輯真值表邏輯符號(hào)AF1AF0110邏輯表達(dá)式F=A“-”非邏輯運(yùn)算符2、復(fù)合邏輯運(yùn)算與非邏輯運(yùn)算F1=AB或非邏輯運(yùn)算F2=A+B與或非邏輯運(yùn)算F3=AB+CD第6頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1）異或運(yùn)算ABF101101001100ABF=1邏輯符號(hào)ABF1011010000112）同或運(yùn)算邏輯表達(dá)式F=AB=AB

ABF=1邏輯符號(hào)3、其他常見(jiàn)運(yùn)算運(yùn)算規(guī)則：相同為0,相異為1運(yùn)算規(guī)則：相同為1,相異為0下一頁(yè)前一頁(yè)退出邏輯表達(dá)式F=AB=AB+AB

第7頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ABF100100000111ABFVLVLVLVLVHVL0ABF01001011111VLVHVHVLVHVH電平關(guān)系正邏輯負(fù)邏輯高電平VH用邏輯1表示，低電平VL用邏輯0表示4、正邏輯與負(fù)邏輯（與門(mén)）（或門(mén)）高電平VH用邏輯0表示，低電平VL用邏輯1表示下一頁(yè)前一頁(yè)退出第8頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月邏輯符號(hào)：&=1=ABYABYABYABYYBAYBAYBAYBA國(guó)外符號(hào)：下一頁(yè)前一頁(yè)退出第9頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式第10頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、基本公式公理交換律結(jié)合律分配律00=001=10=011=10+0=00+1=1+0=11+1=1AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)第11頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0-1律重疊律互補(bǔ)律自等律A0=0A+1=1A1=AA+0=AAA=0A+A=1AA=AA+A=A

A=A還原律下一頁(yè)前一頁(yè)退出第12頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月AB=A+BA+B=AB反演律吸收律A+AB=A某乘積項(xiàng)的部分因子恰好是另一乘積項(xiàng)的全部，則該乘積項(xiàng)多余下一頁(yè)前一頁(yè)退出A

（A

+B）=A2、常用公式第13頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月AB+ABC=AB+C

某乘積項(xiàng)的部分因子恰好是另一乘積項(xiàng)的補(bǔ)，則該部分因子多余例：A+AB=A+B

消因律第14頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)包含律若兩個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子恰好互補(bǔ)，而第三個(gè)乘積項(xiàng)含有前兩項(xiàng)剩余因子之積，則第三個(gè)乘積項(xiàng)多余AB+AC+BCD=AB+AC下一頁(yè)前一頁(yè)退出第15頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3邏輯代數(shù)的基本定理第16頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、代入定理代入規(guī)則：任何一個(gè)含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個(gè)邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立例：

AB=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個(gè)變量：利用反演律下一頁(yè)前一頁(yè)退出第17頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月反演規(guī)則：對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，做如下處理：若把式中的運(yùn)算符“.”換成“+”,“+”

換成“.”;常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；原變量換成反變量，反變量換成原變量那么得到的新函數(shù)式稱(chēng)為原函數(shù)式F的反函數(shù)式。注：①保持原函數(shù)的運(yùn)算次序--先與后或，必要時(shí)適當(dāng)?shù)丶尤肜ㄌ?hào)②不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)有兩種處理方法非號(hào)保留，而非號(hào)下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換將非號(hào)去掉，而非號(hào)下的函數(shù)式保留不變例：F(A、B、C)其反函數(shù)為或下一頁(yè)前一頁(yè)退出2、反演定理第18頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)偶式：對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)，做如下處理：1）若把式中的運(yùn)算符“.”換成“+”，“+”換成“.”；2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”得到新函數(shù)式為原函數(shù)式F的對(duì)偶式F′，也稱(chēng)對(duì)偶函數(shù)

對(duì)偶規(guī)則：如果兩個(gè)函數(shù)式相等，則它們對(duì)應(yīng)的對(duì)偶式也相等。即若F1=F2

則F1′=F2′。使公式的數(shù)目增加一倍。求對(duì)偶式時(shí)運(yùn)算順序不變，且它只變換運(yùn)算符和常量，其變量是不變的。注：函數(shù)式中有“”和“⊙”運(yùn)算符，求反函數(shù)及對(duì)偶函數(shù)時(shí)，要將運(yùn)算符“”換成“⊙”，“⊙”換成“”。

例：其對(duì)偶式下一頁(yè)前一頁(yè)退出3、對(duì)偶定理第19頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4邏輯函數(shù)及其表示方法第20頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月F

=f（A、B、C、...）稱(chēng)為邏輯函數(shù)。1、邏輯函數(shù)式2、邏輯圖輸入變量輸出變量例：F=ABF=A+BABF1下一頁(yè)前一頁(yè)退出一、邏輯函數(shù)及其表示方法

F=AB+C＆AB≥1CF第21頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月描述邏輯函數(shù)各個(gè)變量取值組合和函數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系的表格真值表的寫(xiě)法：列出所有變量的取值組合及相應(yīng)的輸出函數(shù)值n個(gè)變量有2n種組合ABF1011010000113、真值表ABF101101000011下一頁(yè)前一頁(yè)退出第22頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、波形圖反映輸入和輸出波形變化的圖形又叫時(shí)序圖第23頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：ABCF000001001011100110111011斷“0”合“1”亮“1”滅“0”C開(kāi)，F(xiàn)滅0000C合，A、B中有一個(gè)合，F(xiàn)亮11C合，A、B均斷，F(xiàn)滅0真值表到函數(shù)式挑出函數(shù)值為1的項(xiàng)1101111101111每個(gè)函數(shù)值為1的輸入變量取值組合寫(xiě)成一個(gè)乘積項(xiàng)這些乘積項(xiàng)作邏輯加輸入變量取值為1用原變量表示;反之，則用反變量表示ABC、ABC、ABCF=ABC+ABC+ABC下一頁(yè)前一頁(yè)退出二、各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換第24頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月F=ABC+ABC+ABC乘積項(xiàng)用與門(mén)實(shí)現(xiàn)，和項(xiàng)用或門(mén)實(shí)現(xiàn)下一頁(yè)前一頁(yè)退出函數(shù)式到邏輯圖第25頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1

＆＝1≥1ABC邏輯圖到函數(shù)式CBCA⊕BA⊕B+BCA⊕B+BCF=第26頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月真值表到波形圖ABCF00000100101110011011101100001101101111101111CAB第27頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式1、函數(shù)表達(dá)式的常用形式

一個(gè)邏輯函數(shù)可以寫(xiě)成幾種不同類(lèi)型的形式。例如：F(A、B、C)

③“與非―與非”式②“或―與”式④“或非―或非”式⑤“與―或―非”式上述①式為“與-或”表達(dá)式，也稱(chēng)“積之和”表達(dá)式；②式為“或-與”表達(dá)式也稱(chēng)“和之積”表達(dá)式；兩者為邏輯函數(shù)的基本形式①“與―或”式下一頁(yè)前一頁(yè)退出第28頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最小項(xiàng)：n個(gè)變量有2n個(gè)最小項(xiàng)，記作mi3個(gè)變量有23（8）個(gè)最小項(xiàng)m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個(gè)變量的乘積項(xiàng)（每個(gè)變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）1）最小項(xiàng)和最大項(xiàng)乘積項(xiàng)和項(xiàng)最小項(xiàng)二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)最小項(xiàng)編號(hào)i-各輸入變量取值看成二進(jìn)制數(shù)，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)2、邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

下一頁(yè)前一頁(yè)退出第29頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三變量的最小項(xiàng)

最小項(xiàng)的性質(zhì)：同一組變量取值任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)的乘積為0。即mimj=0(i≠j)全部最小項(xiàng)之和為1，即任意一組變量取值，只有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1，其它最小項(xiàng)的值均為0具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可合并成一項(xiàng)并消去一個(gè)因子。

相鄰性：兩個(gè)最小項(xiàng)僅有一個(gè)因子不同

例：ABC+ABC=AB第30頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）標(biāo)準(zhǔn)積之和(最小項(xiàng)）表達(dá)式式中的每一個(gè)乘積項(xiàng)均為最小項(xiàng)F(A、B、C、D)例：求函數(shù)F(A、B、C)的標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式解：F(A、B、C)利用反演律利用互補(bǔ)律，補(bǔ)上所缺變量C下一頁(yè)前一頁(yè)退出第31頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例：已知函數(shù)的真值表，寫(xiě)出該函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)積之和表達(dá)式

從真值表找出F為1的對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)解:011331101551110661111771然后將這些項(xiàng)邏輯加F(A、B、C)下一頁(yè)前一頁(yè)退出第32頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3）最大項(xiàng)n個(gè)變量有2n個(gè)最大項(xiàng)，記作in個(gè)變量的邏輯函數(shù)中，包括全部n個(gè)變量的和項(xiàng)（每個(gè)變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次）同一組變量取值任意兩個(gè)不同最大項(xiàng)的和為1。即Mi+Mj=1(i≠j)全部最大項(xiàng)之積為0，即任意一組變量取值，只有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0，其它最大項(xiàng)的值均為1最大項(xiàng)：最大項(xiàng)的性質(zhì)：下一頁(yè)前一頁(yè)退出第33頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4）最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系相同編號(hào)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)存在互補(bǔ)關(guān)系即:

mi

=Mi

Mi

=mi若干個(gè)最小項(xiàng)之和表示的表達(dá)式F，其反函數(shù)F可用等同個(gè)與這些最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)之積表示。

例：m1m3m5m7==下一頁(yè)前一頁(yè)退出第34頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.5邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)第35頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的簡(jiǎn)化依據(jù)

邏輯電路所用門(mén)的數(shù)量少

每個(gè)門(mén)的輸入端個(gè)數(shù)少

邏輯電路構(gòu)成級(jí)數(shù)少

邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性下一頁(yè)前一頁(yè)退出第36頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方法：并項(xiàng)：利用將兩項(xiàng)并為一項(xiàng)，且消去一個(gè)變量B消項(xiàng)：利用A+AB=A消去多余的項(xiàng)AB配項(xiàng)：利用和互補(bǔ)律、重疊律先增添項(xiàng)，再消去多余項(xiàng)BC消元：利用消去多余變量A一、公式法的化簡(jiǎn)下一頁(yè)前一頁(yè)退出第37頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：試簡(jiǎn)化函數(shù)解：利用反演律配項(xiàng)加AB消因律消項(xiàng)AB下一頁(yè)前一頁(yè)退出第38頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

k圖為矩形圖。n個(gè)變量的函數(shù)--k圖有2n個(gè)小方格，分別對(duì)應(yīng)2n個(gè)最小項(xiàng)；

k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，1、卡諾圖（K圖）三變量K圖二變量K圖四變量K圖AB1010

m0

m1

m2

m3ABC0100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m70001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD二、圖形法的化簡(jiǎn)第39頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月K圖的特點(diǎn)

k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，圖中幾何相鄰的最小項(xiàng)在邏輯上相鄰。有三種幾何相鄰：鄰接、相對(duì)（行列兩端）和對(duì)稱(chēng)0001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD四變量K圖2、卡諾圖的特點(diǎn)上下左右?guī)缀蜗噜彽姆礁駜?nèi)，只有一個(gè)因子不同下一頁(yè)前一頁(yè)退出第40頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、已知函數(shù)為最小項(xiàng)之和表達(dá)式(最大項(xiàng)之積表達(dá)式），存在的最小（大）項(xiàng)對(duì)應(yīng)的格填1（0），其余格均填0（1）。2、若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的方格填1，其余格均填0。例子3、函數(shù)為一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)算式，則先將其變成與或式(或與式)，再用直接法填寫(xiě)。例子3、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)下一頁(yè)前一頁(yè)退出例子第41頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)（1）畫(huà)圈①相鄰的1

圈在一起，，圈為矩形。②圈中1的個(gè)數(shù)為2n個(gè)③圈越大越好④所有的1必須圈完⑤1

可以重復(fù)圈，但每個(gè)圈中至少有一個(gè)未被圈過(guò)的1下一頁(yè)前一頁(yè)退出第42頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）合并最小項(xiàng)每個(gè)圈一項(xiàng)保留未變化的因子0100011110001110CDAB例：Y=AB+AC+BC+CDAB1111AC1111

BC1111CD1111Y=C+D+AB

最后將全部積項(xiàng)邏輯加即得最簡(jiǎn)與或表達(dá)式下一頁(yè)前一頁(yè)退出第43頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0100011110001110CDAB例：Y=A+DY=ABC+ABD+CD+ABC+ACD+ACD111111111111例：Y=ABC+AB+AD+C+BD0100011110001110CDAB11111111111111Y=C+D+B下一頁(yè)前一頁(yè)退出第44頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0100011110001110CDAB例：1111111Y=ABCD+ABD+ACD+ABCDY=AC+BD0100011110001110CDAB例：Y=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD1

111

1

1Y=BC+BD下一頁(yè)前一頁(yè)退出第45頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：Y=∏M(5,7,13,15)下一頁(yè)前一頁(yè)退出0100011110001110CDAB0000

1111

11

11

1111Y=b+d第46頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月AB5、具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)（1）約束項(xiàng)約束：對(duì)輸入變量所加的限制，這組變量叫做具有約束的變量例：水塔中裝有兩個(gè)水位檢測(cè)傳感器，當(dāng)水位高于傳感器時(shí)，輸出為1，否則為0，當(dāng)水位高于A時(shí)，水位溢出報(bào)警器Y1輸出為1，當(dāng)水位低于B時(shí)，水位過(guò)低報(bào)警器Y2輸出為1。

A

BY1Y2

00010100101110約束項(xiàng)：不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)下一頁(yè)前一頁(yè)退出第47頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果在輸入變量的某些取值下，不管函數(shù)值是0還是1,都不影響邏輯電路的功能；那末，在這些變量取值下，其值等于1的最小項(xiàng)稱(chēng)為任意項(xiàng).

約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱(chēng)為無(wú)關(guān)項(xiàng).（2）任意項(xiàng)（3）無(wú)關(guān)項(xiàng)（4）無(wú)關(guān)項(xiàng)的表示無(wú)關(guān)項(xiàng)可用∑d(……）表示。例：∑d(m2，m5，m7）約束項(xiàng)也可表示為m2＋m5＋m7＝0下一頁(yè)前一頁(yè)退出或d（m2+m5+m7）第48頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月AB（6）具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)例：水塔中裝有兩個(gè)水位檢測(cè)傳感器，當(dāng)水位高于傳感器時(shí)，輸出為1，否則為0，當(dāng)水位高于A時(shí)，水位溢出報(bào)警器Y1輸出為1，當(dāng)水位低于B時(shí)，水位過(guò)低報(bào)警器Y2輸出為1。

A

BY1Y2

00010100101110

在卡諾圖和真值表中，無(wú)關(guān)項(xiàng)對(duì)用的取值用×（Φ）表示××AB1010

AB1010

Y1Y200×110×0Y1=AY2=B×可圈可不圈第49頁(yè)，課件共56頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：已知函數(shù)：

求其最簡(jiǎn)與或式0100011110001110CDAB解：填函數(shù)的卡諾圖111111100000化簡(jiǎn)不考慮約束條件時(shí)：考慮約束條件時(shí)：0100011110001110CDAB1111111××××00000下一頁(yè)前一頁(yè)