第25講圓弧長(zhǎng)和圖形面積計(jì)算

第25講圓的弧長(zhǎng)和圖形面積的計(jì)算數(shù)學(xué)1．(2017·重慶)如圖，在矩形ABCD

中，AB＝4，AD＝2，分別以A，C

為圓心，AD，CB

為半徑畫弧，交AB

于點(diǎn)E，交CD

于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積是(

)πA．4－2π

B．8－

2C．8－2π

D．8－4π2【解析】∵AD＝CB＝2，∴S

陰影＝S

矩形－S

半圓＝2×4－1π×22＝8－2π，故選C.C︵2．(2017·舟山)如圖，小明自制一塊乒乓球拍，正面是半徑8

cm

的⊙O，AB＝90°，弓形(陰影部分)粘貼膠皮，則膠皮面積為

cm2.32＋48π以圓心角∠AOB＝90°，則S

空白＝S

扇形AOB－S△AOB＝【解析】連結(jié)OA，OB，因?yàn)榛B

的度數(shù)是90°，所90π×823602－1

×82＝16π－32(cm2)，S

陰影＝S

圓－S

空白＝32＋48π(cm2)3．(2017·湖州)如圖，O

為Rt△ABC

的直角邊上一點(diǎn)，以O(shè)C

為半徑的⊙O與斜邊AB

相切于點(diǎn)D，交OA

于點(diǎn)E.已知BC＝

3，AC＝3.求AD

的長(zhǎng)；求圖中陰影部分的面積．解：(1)在

Rt△ABC

中，AB＝

AC2＋BC2＝2

3.∵BC⊥OC，∴BC

是⊙O的切線．∵AB

是⊙O

的切線，∴BD＝BC＝

3，∴AD＝AB－BD＝2

3－

3＝3(2)

在Rt△ABC

中，sinA＝AB＝2

3BC

3

1＝2，∴∠A＝30°.∵AB

切⊙O

于點(diǎn)D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°－∠A＝60°.OD∵AD＝tanA＝tan30°，∴OD3

3＝

3

，∴OD＝1，∴S

陰影＝36060π×12

π＝

64．(2015·金華)如圖，在矩形ABCD

中，點(diǎn)F

在邊BC

上，且AF＝AD，過(guò)點(diǎn)D

作DE⊥AF，垂足為E.(1)求證：DE＝AB.(2)以D

為圓心，DE

為半徑作圓弧交AD

于點(diǎn)G，若BF＝FC︵＝1，試求EG的長(zhǎng)．解：(1)∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°，又∵四邊形ABCD

是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAE＝∠AFB，∠AED＝∠B＝90°，又∵AF＝AD，∴△ADE≌△FAB(AAS)，∴DE＝AB

(2)∵BF＝FC＝1，∴AD＝BC＝BF＋1FC＝2，又∵△ADE≌△FAB，∴AE＝BF＝1，∴在Rt△ADE

中，AE＝2AD，nπR∴∠ADE＝30°，又∵DE＝

AD2－AE2＝

22－12＝

3，∴E︵G的長(zhǎng)＝

180

＝30π×

3180

3＝

6

π1．(原創(chuàng)題)如圖，陰影部分是兩個(gè)半徑為1

的扇形，若α＝120°，β＝60°，則大扇形與小扇形的面積之差為(

)πA.3π

5π

5πB.

6

C.

3

D.

6B去較小的面積即可.360°

360°【解析】利用扇形的面積公式分別求出兩個(gè)扇形的面積，再用較大面積減（360°－60°）π×12

（360°－120°）π×12

π-

＝6，故選B.2．如圖，AB

為⊙O

的直徑，C，D

為⊙O

上的兩點(diǎn)，∠BAC＝∠DAC，過(guò)點(diǎn)C做直線EF⊥AD，交AD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BC.求證：EF

是⊙O

的切線；︵若DE＝1，BC＝2，求劣弧BC的長(zhǎng)l.【解析】(1)連結(jié)OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC＝∠OCA，求得∠DAC＝∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF＝∠AEC＝90°，于是得到結(jié)論；(2)連結(jié)OD，DC，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠ECD＝30°，得到∠OCD＝60°，利用公式求得弧長(zhǎng)．解：(1)連結(jié)OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA∴AD∥OC，∵∠AEC＝90°，∴∠OCF＝∠AEC＝90°，∴EF

是⊙O

的切線1

1(2)連結(jié)OD，DC，∵∠DAC＝2∠DOC，∠OAC＝2∠BOC，∴∠DOC＝1∠BOC，∴DC＝BC＝2，∵ED＝1，DC＝2，∴sin∠ECD＝DE＝

，∴∠ECDDC

2＝30°，∴∠OCD＝60°，∵OC＝OD，∴△DOC

是等邊三角形，∴∠BOC＝∠COD＝60°，OC＝2，∴l(xiāng)＝60π×21802＝3π3．(2018·預(yù)測(cè))如圖，AB

為⊙O

的直徑，點(diǎn)C

在⊙O

上，若∠OCA＝50°，︵AB＝4，則BC的長(zhǎng)為(

)3A.10π9B.10π918C.5π

D

5

π.B【解析】∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴B︵C的長(zhǎng)＝100π×218010＝

9

π.故選B.4．在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)分別延長(zhǎng)CB，F(xiàn)D，相交于點(diǎn)G，∠A＝60°，⊙O的半徑為6，求陰影部分的面積．【解析】(1)連結(jié)OD，由等腰三角形的性質(zhì)證出∠A＝∠ODB，得出OD∥AC，證出DF⊥OD，即可得出結(jié)論；(2)證明△OBD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BOD＝60°，求出∠G＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出OG＝2OD＝2×6＝12，由勾股定理得出DG的長(zhǎng)，陰影部分的面積＝△ODG的面積－扇形OBD的面積，即可得出答案．解：(1)連結(jié)OD，∵AC＝BC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠A，∠ABC＝∠ODB∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD

是⊙O

的半徑∴DF

是⊙O

的切線(2)∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC

是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD

是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵DF⊥OD，∴∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，∴OG＝2OD＝2×6＝12，∴DG＝

3OD＝6

3，1∴陰影部分的面積＝△ODG

的面積－扇形

OBD

的面積＝2×6×6

3－60π×62360＝18

3－6π5．“趕陀螺”是一項(xiàng)深受人們喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)，如圖所示是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖，已知底面圓的直徑AB＝8cm，圓柱體部分的高BC＝6cm，圓錐體部分的高CD＝3

cm，求這個(gè)陀螺的表面積．【解析】∵圓錐體底面圓的直徑為8cm，高為3cm，∴母線長(zhǎng)為5cm，∴陀螺的表面積＝π×4×5＋42π＋8π×6＝84π

cm2.解：84π

cm26．如圖，有一直徑是2米的圓形鐵皮，現(xiàn)從中剪出一個(gè)圓周角是90°的最大扇形ABC，求：(1)AB

的長(zhǎng)；(2)用該扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐，求所得圓錐的底面圓的半徑．【解析】由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，從而可求半徑．解：(1)∵∠BAC＝90°，∴BC

為⊙O

的直徑，即BC＝

2，∴AB＝

22

BC＝1

(2)設(shè)所得圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr＝90·π·1180，解得1r＝47．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為18

cm，圓心角為240°的扇形，則這個(gè)圓錐的底面半徑長(zhǎng)是(A．6

cm B．9

cmC．12

cmD．18cmC)240×π×18180＝24π.設(shè)圓錐底面半徑為r，∴2πr＝24π【解析】扇形弧長(zhǎng)為得r＝12

cm.8．直角三角形兩直角邊長(zhǎng)是3cm和4cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，求其表面積．(結(jié)果保留π)解：三角形斜邊＝

32＋42＝5(cm)，當(dāng)以

3

cm

的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何體的表面積＝π·42

1·5·2π·4＝36π(cm2)；當(dāng)以

4

cm＋2的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何體的表面積＝π·32＋1·5·22π·3＝24π(cm2)；當(dāng)以5

cm

的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何5體為共一個(gè)底面的兩圓錐，其底面圓的半徑＝12

cm，所以此幾何體的表面積＝1

12

1

12

8422·2π·

5

·3＋2·2π·

5

·4＝

5

π(cm

)9．(2018·預(yù)測(cè))如圖，矩形ABCD

中，E

是BC

上一點(diǎn)，連結(jié)AE，將矩形沿AE

翻折，使點(diǎn)B

落在CD

邊F

處，連結(jié)AF，在AF

上取點(diǎn)O，以O(shè)

為圓心OF

長(zhǎng)為半徑作⊙O

與

AD

相切于點(diǎn)P.若

AB＝6，BC＝3

3，求

S

陰影．AD

3解：連結(jié)OG，作OH⊥FG

交CD

于H，∵sin∠AFD＝AF＝

2

，∴∠AFD＝60°，∵OF＝OG，∴△OFG

為等邊三角形；同理△OPG

為等邊三角形；∴∠POG＝∠FOG＝60°，由題可求得⊙O

的半徑為

2，∴OH＝

3

＝

32

OGS

扇形OPG＝S

扇形OGF，∴S

陰影＝(S

矩形OPDH－S

扇形OPG－S△OGH)＋(S

扇形OGF－S△OFG)＝S

3

3

1

3矩形OPDH－2S△OFG＝2×3－2×(2×2×3)＝

210．如圖，在⊙O

中，半徑OA⊥OB，過(guò)OA

的中點(diǎn)C

作FD∥OB

交⊙O

于D︵F

兩點(diǎn)，且CD＝

3，以O(shè)

為圓心，OC

為半徑作CE，交OB

于E

點(diǎn)．求⊙O

的半徑OA

的長(zhǎng)；計(jì)算陰影部分的面積．【解析】(1)首先證明OA⊥DF，由OD＝2CO推出∠CDO＝30°，設(shè)OC＝x，則OD＝2x，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；(2)根據(jù)S陰影＝S△CDO＋S扇形OBD－S扇形OCE計(jì)算即可．解：(1)連結(jié)OD，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵CD∥OB，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD

中，∵C

是AO

中點(diǎn)，CD＝

3，∴OD＝2CO，設(shè)OC＝x，∴x2＋(

3)2＝(2x)2，∴x＝1，∴OD＝2，∴⊙O

的半徑為

2

(2)∵sin∠CDOCO＝OD1＝2，∴∠CDO＝30°，∵FD∥OB，∴∠DOB＝∠ODC＝30°，∴S

陰影＝S△CDO1＋S

扇形OBD－S

扇形OCE＝2×1×3＋—

330π×22

90π×12

π360

360

＝

2

＋1211．(2018·預(yù)測(cè))如圖，AB

是圓

O

的直徑，弦

CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4

3，求

S

陰影．解：如圖，假設(shè)線段CD，AB

交于點(diǎn)E，∵AB

是⊙O

的直徑，弦CD⊥AB∴CE＝ED＝2

3，又∵∠BCD＝30°，∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，∠ODE

3＝30°，∴OE＝DE·tan30°＝2

3×

3

＝2，OD＝2OE＝4，∴S陰影＝S扇形ODB－S△DOE＋S△BEC＝3601

160π×OD2

8π8π－2OE×DE＋2BE·CE＝

3

－2

3＋2

3＝

312．如圖，在△ABC

中，∠C＝90°，∠BAC

的平分線交BC

于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB

上，以點(diǎn)O

為圓心，OA

為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，分別交AC，AB

于點(diǎn)E，F(xiàn).試判斷直線BC

與⊙O

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；若

BD＝2

3，BF＝2，求陰影部