第05章-大數(shù)定律與中心極限定理

第五章大數(shù)定律與中心極限定理第一節(jié)大數(shù)定律

第二節(jié)中心極限定理習題第一節(jié)

大數(shù)定律切比雪夫不等式或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.證我們只就連續(xù)型隨機變量的情況來證明.當方差已知時，切比雪夫不等式給出了隨機變量X與它的期望的偏差不小于的概率的估計式.如取可見，對任給的分布，只要期望和方差存在，則X取值偏離E(X)超過3

的概率小于0.111.例

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升白細胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)

P(5200X9400)

=P(-2100X-E(X)2100)

=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.大量隨機試驗中大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率生產(chǎn)過程中的廢品率字母使用頻率……例如：定義性質(zhì)注意:切比雪夫大數(shù)定律：設(shè)X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列，如果存在常數(shù)C，使得D(Xk)≤C(k=1,2,…)，則對于任意正數(shù)ε有也就是：故證明：切比雪夫不等式設(shè)nA

是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)ε>0，有貝努利大數(shù)定律：或也就是：證明:當重復試驗次數(shù)n充分大時，事件“頻率nA/n與概率p的偏差小于ε”概率趨于1。由實際推斷原理，實際上這個事件幾乎是必定要發(fā)生的。這就是所謂的“頻率穩(wěn)定性”。在實際應用中，當試驗次數(shù)很大時，就可以用事件的頻率來代替事件的概率。定理的理解:辛欽大數(shù)定律：設(shè)X1,X2,…是相互獨立，服從同一分布的隨機變量序列，且具有數(shù)學期望E(Xk)=μ(k=1,2,…)。則對于任意正數(shù)ε有前n個變量的算術(shù)平均也就是：第二節(jié)

中心極限定理

中心極限定理的客觀背景在客觀實際中，許多隨機變量是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的。而其中每一個別因素所起的作用都是微小的。例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素（如瞄準，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的。每個隨機因素的對彈著點（隨機變量和）所起的作用都是很小的。這樣的隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布！下面演示不難看到中心極限定理的客觀背景例:20個0-1分布的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)幾個(0,1)上均勻分布的和的分布0123xfgh由于無窮個隨機變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量.在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.一、中心極限定理定理1（獨立同分布情形下的中心極限定理）注

3、在一般情況下，我們很難求出

的分布函數(shù)。但當n很大時，可用正態(tài)分布來近似求解。定理2（德莫佛－拉普拉斯中心極限定理）

設(shè)隨機變量(n=1,2,‥‥)服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項分布，則對任意x，有證定理表明：二項分布的極限分布是正態(tài)分布，即證畢。定理3（李雅普諾夫中心極限定理）定理的理解:二、例題例1于是解:例2解習題例1

根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.由題給條件知，諸Xi獨立，16只元件的壽命的總和為且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119例2

在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.

設(shè)，k=1,2,…(1)至少應取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?(2)用中心極限定理計算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.（1)解：設(shè)應取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理例2解答：欲使即查表得從中解得即至少應取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.（2）解：在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為由中心極限定理,即其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.=0.6826例3

甲乙兩電影院在競爭1000名觀眾，假設(shè)每位觀眾在選擇時隨機的，且彼此相互獨立，問甲至少應設(shè)多少個座位，才能使觀眾因無座位而離去的概率小于1％？例3解答

設(shè)X表示來甲電影院的人數(shù)，甲至少設(shè)N個座位。例4(供電問題)某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車.設(shè)開工率為0.6,并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.問應供應多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗是觀察該臺車床在某時刻是否工作,工作的概率0.6,共進行200次獨立重復試驗.用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，依題意，X~B(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求滿足設(shè)需N臺車床工作，（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，N臺工作所