概率統(tǒng)計(jì)第八章

概率統(tǒng)計(jì)第八章第1頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8.1方差分析例8.1.0

在飼料養(yǎng)雞增肥的研究中，某研究所提出兩種飼料配方：A1是以魚粉為主的飼料，A2是以樹粉為主的飼料。為比較兩種飼料的效果，特選16只相似的雛雞隨機(jī)均分為兩組，每組各喂一種飼料，60天后觀察它們的重量。試驗(yàn)結(jié)果如下表所示：飼料A雞重（克）A110731009106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001第2頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分析：本例中，我們要比較的是兩種飼料配方下雞的平均重量是否相等。這是兩總體均值的比較問(wèn)題，可以采用兩樣本均值差的假設(shè)檢驗(yàn)方法來(lái)處理。兩樣本假設(shè)檢驗(yàn)中，一個(gè)分類變量把試驗(yàn)數(shù)據(jù)分為兩組，要研究這兩組的均值有沒有顯著差異。

例8.1.0,分類變量：飼料配方（2種）試驗(yàn)數(shù)據(jù)：雞的重量第3頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8.1.1

問(wèn)題的提出

實(shí)際工作中我們經(jīng)常碰到多個(gè)(>2）正態(tài)總體均值的比較問(wèn)題，處理這類問(wèn)題通常采用所謂的方差分析方法。第4頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.1.1

在飼料養(yǎng)雞增肥的研究中，某研究所提出三種飼料配方：A1是以魚粉為主的飼料，A2是以樹粉為主的飼料，A3是以苜蓿粉為主的飼料。為比較三種飼料的效果，特選24只相似的雛雞隨機(jī)均分為三組，每組各喂一種飼料，60天后觀察它們的重量。試驗(yàn)結(jié)果如下表所示：第5頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表8.1.1

雞飼料試驗(yàn)數(shù)據(jù)

飼料A雞重（克）A110731009106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001A310931029108010211022103210291048第6頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

分析：

本例中，我們的目的是比較三種飼料配方下雞的平均重量是否相等，假設(shè)檢驗(yàn)的方法不再適用。方差分析就是對(duì)多個(gè)總體均值進(jìn)行比較最常用的一種統(tǒng)計(jì)方法.

方差分析中，一個(gè)分類變量把試驗(yàn)數(shù)據(jù)分為多組，要研究多組樣本數(shù)據(jù)的均值有沒有顯著差異。例8.1.1,分類變量：飼料配方（3種）試驗(yàn)數(shù)據(jù)：雞的重量第7頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方差分析中，將分類變量稱為因子，試驗(yàn)數(shù)據(jù)稱為指標(biāo)。

本例中，有3種飼料，每種飼料獲得了8個(gè)試樣。

因子（分類變量）：飼料，記為A；

水平（因子不同取值）：三種不同的配方的飼料記為A1,A2,A3；

指標(biāo)（試驗(yàn)數(shù)據(jù)）：雞的重量，記為yij

，表示使用配方Ai下第j只雞60天后的重量，i=1,2,3,j=1,2,,10。方差分析的結(jié)論是因子的不同水平對(duì)指標(biāo)有無(wú)顯著影響。第8頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8.1.2

單因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型

在例8.1.1中我們只考察了一個(gè)因子，稱其為單因子試驗(yàn)。

通常，在單因子試驗(yàn)中，記因子為A,設(shè)其有r個(gè)水平，記為A1,A2,…,Ar.在每一水平下考察的指標(biāo)可以看成一個(gè)總體，現(xiàn)有r個(gè)水平，故有r個(gè)總體，假定：第9頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、正態(tài)性：每一總體均為正態(tài)總體，記為N(i,

i2)，i＝1,2,…,r；2、方差齊性：各總體的方差相同:1

2=22

=…=

r2=

2

；3、獨(dú)立性：從每一總體中抽取的樣本是相互獨(dú)立的，即所有的試驗(yàn)結(jié)果yij都相互獨(dú)立。

第10頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們要比較各水平下的均值是否相同,即:H0

：1=2=…=r

（8.1.1）備擇假設(shè)為H1

：1,2,…,r

不全相等在不引起誤解的情況下，H1常可省略不寫。

H0成立：因子A的r個(gè)水平均值相等，因子水平A沒有顯著差異，簡(jiǎn)稱因子A不顯著；

H0不成立：因子A的r個(gè)水平均值不全相同，因子A的不同水平間有顯著差異，簡(jiǎn)稱因子A顯著。

第11頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月記yij表示水平Ai下的第j次觀察結(jié)果，則一共得如下n=rm個(gè)試驗(yàn)結(jié)果：

yij，

i＝1,2,…,r，j＝1,2,…,m,

其中r為水平數(shù)，m為重復(fù)數(shù)。單因子試驗(yàn)中，因子為A,設(shè)有r個(gè)水平A1,A2,…,Ar.設(shè)對(duì)第i個(gè)水平Ai

作了m次重復(fù)觀察，得到m個(gè)試驗(yàn)結(jié)果。因子A

試驗(yàn)數(shù)據(jù)

A1y11

y12

…y1mA2y21

y22

…y2m┆┆Aryr1

yr2

…yrm第12頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在水平Ai下的試驗(yàn)結(jié)果yij與該水平下的指標(biāo)均值i一般總是有差距的，即有yij=

i+ij

（8.1.2）

其中i

表示水平Ai下的均值，ij為隨機(jī)誤差。（8.1.2）式稱為試驗(yàn)結(jié)果yij的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式。

第13頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

單因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型：yij=

i+ij，1≤i≤r，1≤j≤m

（8.1.3）

假定ij滿足：●ij相互獨(dú)立●同方差，零均值●正態(tài)分布(ij～N(0,2))

總均值與效應(yīng):

稱諸i的平均為總均值.

而稱第i水平下的均值i與總均值

的差:

ai=i-為Ai的效應(yīng)。

第14頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型（8.1.3）可以改寫為

(8.1.8)

即觀察值yij表示為總平均數(shù)μ、水平效應(yīng)αi、試驗(yàn)的隨機(jī)誤差εij之和。假設(shè)（8.1.1）可改寫為

H0

：a1

=a2=…=ar=0（8.1.9）

第15頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方差分析的實(shí)質(zhì)就是檢驗(yàn)多個(gè)正態(tài)總體均值是否相等。方差分析是將r個(gè)水平的試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為一個(gè)整體看待，試驗(yàn)數(shù)據(jù)波動(dòng)由兩方面引起：因子水平的不同引起；偶然誤差引起。方差分析的基本思想：試驗(yàn)數(shù)據(jù)波動(dòng)分解成兩部分，一部分反映由因子水平不同引起的波動(dòng)，另一部分反映由試驗(yàn)誤差引起的波動(dòng)?？偲钇椒胶头纸鉃榉从潮厝恍缘母鱾€(gè)因子的偏差平方和與反映偶然性的誤差平方和，并計(jì)算它們的平均偏差平方和（方差）。將兩者進(jìn)行比較，借助F檢驗(yàn)法，檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ0＝μ1＝μ2＝…＝μ，從而確定因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的的影響是否顯著。方差分析(analysisofvariance)是由統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher于1923年提出的。第16頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8.1.3

平方和分解

一、試驗(yàn)數(shù)據(jù)通常在單因子方差分析中可將試驗(yàn)數(shù)據(jù)列成如下頁(yè)表格形式。第17頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表8.1.2

單因子方差分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)

因子水平

試驗(yàn)數(shù)據(jù)

行和

行平均

A1y11

y12

…y1mT1A2y21

y22

…y2mT2┆┆┆┆Aryr1

yr2

…yrmTrT第18頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)據(jù)間是有差異的。數(shù)據(jù)yij與總平均間的偏差可用yij

表示，它可分解為二個(gè)偏差之和（8.1.10）記二、組內(nèi)偏差與組間偏差第19頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于

（8.1.11）所以yij-僅反映組內(nèi)數(shù)據(jù)與組內(nèi)平均的隨機(jī)誤差，稱為組內(nèi)偏差（組內(nèi)變差）；而

（8.1.12）除了反映隨機(jī)誤差外，還反映了第i個(gè)水平的效應(yīng)，稱為組間偏差（組間變差）。第20頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第21頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把k個(gè)數(shù)據(jù)y1,y2,…,yk分別對(duì)其均值=(y1+…+yk)/k的偏差平方和稱為k個(gè)數(shù)據(jù)的偏差平方和，它常用來(lái)度量若干個(gè)數(shù)據(jù)分散的程度。三、偏差平方和及其自由度第22頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在構(gòu)成偏差平方和Q的k個(gè)偏差y1

,…,yk

間有一個(gè)恒等式這說(shuō)明在Q中獨(dú)立的偏差只有k1個(gè)。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中把平方和中獨(dú)立偏差個(gè)數(shù)稱為該平方和的自由度，常記為f，如Q的自由度為fQ=k1。自由度是偏差平方和的一個(gè)重要參數(shù)。

第23頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各yij間總的差異大小可用總偏差平方和

表示，其自由度為fT=n1；四、總平方和分解公式僅由重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)誤差引起的數(shù)據(jù)間的差異可以用組內(nèi)偏差平方和表示:

也稱為誤差偏差平方和，其自由度為fe=nr；第24頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于組間差異除了隨機(jī)誤差外，還反映了效應(yīng)間的差異，故由效應(yīng)不同引起的數(shù)據(jù)差異可用組間偏差平方和表示:

也稱為因子A的偏差平方和，其自由度為fA=r1；反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。第25頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理8.1.1

在上述符號(hào)下，總平方和ST可以分解為因子平方和SA與誤差平方和Se之和，其自由度也有相應(yīng)分解公式，具體為：

ST=SA+Se,fT=fA+fe

（8.1.16）（8.1.16）式通常稱為總平方和分解式。

第26頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月偏差平方和Q的大小與自由度有關(guān)，為了便于在偏差平方和間進(jìn)行比較，統(tǒng)計(jì)上引入了均方和的概念:MS=Q/fQ

，其意為平均每個(gè)自由度上有多少平方和，它比較好地度量了一組數(shù)據(jù)的離散程度。

8.1.4檢驗(yàn)方法第27頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)因子平方和SA與誤差平方和Se之間進(jìn)行比較，用其均方和MSA=SA

/fA

，MSe=Se

/fe進(jìn)行比較更為合理，故可用作為檢驗(yàn)H0的統(tǒng)計(jì)量。第28頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理8.1.2

在單因子方差分析模型(8.1.8)及前述符號(hào)下，有

(1)Se/

2~

2(nr)，從而E(Se)

＝(nr)

2

，進(jìn)一步，若H0成立，則有SA/

2~

2(r1)(2)SA與Se獨(dú)立。

由定理8.1.2，若H0成立，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F服從自由度為r-1和n-r的F分布.第29頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果H0不成立，則所以，即H0不成立時(shí)，有大于1的趨勢(shì)。所以H0為真時(shí)的小概率事件應(yīng)取在F值較大的一側(cè)。因此拒絕域?yàn)?/p>

W={FF1(fA,fe)}，cF單側(cè)檢驗(yàn)第30頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE1a

F分布F1-

(r-1,n-r)0拒絕H0不能拒絕H0F第31頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月通常將單因子方差分析的計(jì)算過(guò)程列成一張表格，稱為方差分析表。表8.1.3

單因子方差分析表來(lái)源平方和自由度均方和F比因子SAfA=r1MSA=SA/fAF＝MSA/MSe誤差Sefe=nrMSe=Se/fe總和STfT=n1第32頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)給定的，可作如下判斷：若F<

F1(fA,fe)

，則說(shuō)明因子A不顯著。該檢驗(yàn)的p值也可利用統(tǒng)計(jì)軟件求出，若以Y記服從F(fA,fe)的隨機(jī)變量，則檢驗(yàn)的

p值為p=P(YF)。如果F>=F1(fA,fe)，則認(rèn)為因子A顯著；第33頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用的各偏差平方和的計(jì)算公式如下：

（8.1.19）

一般可將計(jì)算過(guò)程列表進(jìn)行。

第34頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.1.2

采用例8.1.1的數(shù)據(jù)，將原始數(shù)據(jù)減去1000，列表給出計(jì)算過(guò)程：表8.1.4例8.1.2的計(jì)算表水平數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)-1000）TiTi2A17396012129281943763610024A210792-101099074122158534222560355A3932980212232294835412531620984113350517791363第35頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用(8.1.19)，可算得各偏差平方和為：把上述諸平方和及其自由度填入方差分析表第36頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表8.1.5例8.1.2的方差分析表

來(lái)源平方和自由度均方和F比因子9660.083324830.04173.5948

誤差28215.9584211343.6171總和37876.041723若取=0.05，則F0.95

(2

,21)=3.47

，由于F=3.5948>3.47，故認(rèn)為因子A（飼料）是顯著的，即三種飼料對(duì)雞的增肥作用有明顯的差別。

第37頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8.1.5參數(shù)估計(jì)

在檢驗(yàn)結(jié)果為顯著時(shí)，我們可進(jìn)一步求出總均值、各主效應(yīng)ai和誤差方差2的估計(jì)。

第38頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、點(diǎn)估計(jì)由模型(8.1.8)知諸yij相互獨(dú)立，且yij~N(+ai,2)

，因此，可使用極大似然方法求出一般平均、各主效應(yīng)ai和誤差方差2的估計(jì):由極大似然估計(jì)的不變性，各水平均值i的極大似然估計(jì)為，由于不是2的無(wú)偏估計(jì)，可修偏：第39頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于可給出Ai的水平均值i的1-的置信區(qū)間為

其中。

二、i

的置信區(qū)間第40頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.1.3

繼續(xù)例8.1.2，此處我們給出諸水平均值的估計(jì)。因子A的三個(gè)水平均值的估計(jì)分別為從點(diǎn)估計(jì)來(lái)看，水平2（以槐樹粉為主的飼料）是最優(yōu)的。

第41頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月誤差方差的無(wú)偏估計(jì)為利用(8.1.23)可以給出諸水平均值的置信區(qū)間。此處，，若取＝0.05

，則t1-

/2(fe)=t0.95(21

)=2.0796，于是三個(gè)水平均值的0.95置信區(qū)間分別為第42頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在單因子試驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析中可得到如下三個(gè)結(jié)果：

因子是否顯著；

試驗(yàn)的誤差方差2的估計(jì)；

諸水平均值i的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。

在因子A顯著時(shí)，通常只需對(duì)較優(yōu)的水平均值作參數(shù)估計(jì)，在因子A不顯著場(chǎng)合，參數(shù)估計(jì)無(wú)需進(jìn)行。第43頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8.1.6重復(fù)數(shù)不等情形單因子方差分析并不要求每個(gè)水平下重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)全相等，在重復(fù)數(shù)不等場(chǎng)合的方差分析與重復(fù)數(shù)相等情況下的方差分析極為相似，只在幾處略有差別。

數(shù)據(jù)：設(shè)從第i個(gè)水平下的總體獲得mi個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，記為yi1

,yi2…,yim

，i=1,2,…r，統(tǒng)計(jì)模型為：

（8.1.24）

第44頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月總均值：諸i的加權(quán)平均（所有試驗(yàn)結(jié)果的均值的平均）（8.1.25）稱為總均值或一般平均。

效應(yīng)約束條件：

各平方和的計(jì)算：SA的計(jì)算公式略有不同

第45頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.1.4某食品公司對(duì)一種食品設(shè)計(jì)了四種新包裝。為考察哪種包裝最受顧客歡迎，選了10個(gè)地段繁華程度相似、規(guī)模相近的商店做試驗(yàn)，其中二種包裝各指定兩個(gè)商店銷售，另二個(gè)包裝各指定三個(gè)商店銷售。在試驗(yàn)期內(nèi)各店貨架排放的位置、空間都相同，營(yíng)業(yè)員的促銷方法也基本相同，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，記錄其銷售量數(shù)據(jù)，列于表8.1.6左半邊，其相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果列于右側(cè)。

第46頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表8.1.6銷售量數(shù)據(jù)及計(jì)算表

包裝類型

銷售量

miTiTi2/miA11218230450468A2141213339507509A319172135710831091A4243025414581476和n=10T=180第47頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此可求得各類偏差平方和如下

方差分析表如表8.1.8所示

.若?。?.01，查表得F0.99(3,6)=9.78，由于F=11.22>9.78，故我們可認(rèn)為各水平間有顯著差異。

第48頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表8.1.7例8.1.4的方差分析表

來(lái)源平方和自由度均方和F比因子A25838611.22誤差e4667.67總和T3049第49頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于因子顯著，我們還可以給出諸水平均值的估計(jì)。因子A的四個(gè)水平均值的估計(jì)分別為由此可見，第四種包裝方式效果最好。誤差方差的無(wú)偏估計(jì)為第50頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月進(jìn)一步，利用(8.1.23)也可以給出諸水平均值的置信區(qū)間，只是在這里要用不同的mi代替那里相同的m。此處，，若取＝0.05，則t1-/2(fe)=t0.95(6)=2.4469，，于是效果較好的第三和第四個(gè)水平均值的0.95置信區(qū)間分別為

第51頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8.2

多重比較

8.2.1效應(yīng)差的置信區(qū)間如果方差分析的結(jié)果因子A顯著，則等于說(shuō)有充分理由認(rèn)為因子A各水平的效應(yīng)不全相同，但這并不是說(shuō)它們中一定沒有相同的。就指定的一對(duì)水平Ai與Aj，我們可通過(guò)求i-j的區(qū)間估計(jì)來(lái)進(jìn)行比較。

第52頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于，故由此給出i-j的置信水平為1-的置信區(qū)間為

(8.2.1)其中是2的無(wú)偏估計(jì)。這里的置信區(qū)間與第六章中的兩樣本的t區(qū)間基本一致，區(qū)別在于這里2的估計(jì)使用了全部樣本而不僅僅是兩個(gè)水平Ai,Aj下的觀測(cè)值。第53頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.2.1

繼續(xù)例8.1.2，，fe=21，?。?.05

，則t1-/2(fe)=t0.975(21)=2.0796，于是可算出各個(gè)置信區(qū)間為

可見第一個(gè)區(qū)間在0的左邊，所以我們可以概率95%斷言認(rèn)為1

小于2，其它二個(gè)區(qū)間包含0點(diǎn)，雖然從點(diǎn)估計(jì)角度看水平均值估計(jì)有差別，但這種差異在0.05水平上是不顯著的。

第54頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8.2.2多重比較問(wèn)題

在方差分析中，如果經(jīng)過(guò)F檢驗(yàn)拒絕原假設(shè)，表明因子A是顯著的，即r個(gè)水平對(duì)應(yīng)的水平均值不全相等，此時(shí)，我們還需要進(jìn)一步確認(rèn)哪些水平均值間是確有差異的，哪些水平均值間無(wú)顯著差異。同時(shí)比較任意兩個(gè)水平均值間有無(wú)明顯差異的問(wèn)題稱為多重比較，多重比較即要以顯著性水平同時(shí)檢驗(yàn)如下r(r1)/2個(gè)假設(shè)：（8.2.2）

第55頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月直觀地看，當(dāng)H0ij成立時(shí)，不應(yīng)過(guò)大，因此，關(guān)于假設(shè)(8.2.2)的拒絕域應(yīng)有如下形式

諸臨界值應(yīng)在（8.2.2）成立時(shí)由P(W)=確定?？煞种貜?fù)數(shù)相等和不等分別介紹臨界值的確定。

第56頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

8.2.3重復(fù)數(shù)相等場(chǎng)合的T法

在重復(fù)數(shù)相等時(shí)，由對(duì)稱性自然可以要求諸cij相等，記為c.記，則由給定條件不難有

第57頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是當(dāng)(8.2.2)成立時(shí)，1==r=，可推出其中，稱為t化極差統(tǒng)計(jì)量，其分布可由隨機(jī)模擬方法得到。于是,其中q1(r,fe)表示q(r,fe)的1分位數(shù)，其值在附表8中給出。第58頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月重復(fù)數(shù)相同時(shí)多重比較可總結(jié)如下：

1、對(duì)給定的的顯著性水平，查多重比較的分位數(shù)q(r,fe)表，計(jì)算；

2、比較諸與c的大小，若則認(rèn)為水平Ai與水平Aj間有顯著差異，反之，則認(rèn)為水平Ai與水平Aj間無(wú)明顯差別。這一方法最早由Turkey提出，因此稱為T法。

第59頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8.2.4重復(fù)數(shù)不等場(chǎng)合的S法在重復(fù)數(shù)不等時(shí)，若假設(shè)(8.2.2)成立，則或從而可以要求，在此要求下可推出第60頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可以證明，從而亦即第61頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例8.2.3

在例8.1.4中，我們指出包裝方式對(duì)食品銷量有明顯的影響，此處r=4,fe=6,

，若取

=0.05，則F0.95(3,6)=4.76。注意到m1=m4=2，m2=m3=3，故第62頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于這說(shuō)明A1,A2,

A3間無(wú)顯著差異，A1,A2與A4有顯著差異，但A4與A3的差異卻尚未達(dá)到顯著水平。綜合上述，包裝A4銷售量最佳。

第63頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8.3方差齊性檢驗(yàn)

在進(jìn)行方差分析時(shí)要求r個(gè)方差相等，這稱為方差齊性。理論研究表明，當(dāng)正態(tài)性假定不滿足時(shí)對(duì)F檢驗(yàn)影響較小,即F檢驗(yàn)對(duì)正態(tài)性的偏離具有一定的穩(wěn)健性，而F檢驗(yàn)對(duì)方差齊性的偏離較為敏感。所以r個(gè)方差的齊性檢驗(yàn)就顯得十分必要。所謂方差齊性檢驗(yàn)是對(duì)如下一對(duì)假設(shè)作出檢驗(yàn)：（8.3.1）

第64頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月很多統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了一些很好的檢驗(yàn)方法，這里介紹幾個(gè)最常用的檢驗(yàn)，它們是：

Hartley檢驗(yàn)，僅適用于樣本量相等的場(chǎng)合；

Bartlett檢驗(yàn)，可用于樣本量相等或不等的場(chǎng)合，但是每個(gè)樣本量不得低于5；

修正的Bartlett檢驗(yàn)，在樣本量較小或較大、相等或不等場(chǎng)合均可使用。

第65頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8.3.1Hartley檢驗(yàn)

當(dāng)各水平下試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)相等時(shí)，即

m1=m2==mr=m,Hartley提出檢驗(yàn)方差相等的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：（8.3.2）

這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布無(wú)明顯的表達(dá)式，但在諸方差相等條件下，可通過(guò)隨機(jī)模擬方法獲得H分布的分位數(shù)，該分布依賴于水平數(shù)r

和樣本方差的自由度f(wàn)=m1，因此該分布可記為H(r，f)，其分位數(shù)表列于附表10上。

第66頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月直觀上看，當(dāng)H0成立，即諸方差相等（12=22==r2）時(shí)，H的值應(yīng)接近于1，當(dāng)H的值較大時(shí)，諸方差間的差異就大，H愈大，諸方差間的差異就愈大，這時(shí)應(yīng)拒絕(8.3.1)中的H0。由此可知，對(duì)給定的顯著性水平，檢驗(yàn)H0的拒絕域?yàn)?/p>

W={H>H1(r,f)}

（8.3.3）其中H1(r,f)為H分布的1分位數(shù)。

第67頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例8.3.1

有四種不同牌號(hào)的鐵銹防護(hù)劑（簡(jiǎn)稱防銹劑），現(xiàn)要比較其防銹能力。數(shù)據(jù)見表8.3.1。這是一個(gè)重復(fù)次數(shù)相等的單因子試驗(yàn)。我們考慮用方差分析方法對(duì)之進(jìn)行比較分析，為此，首先要進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)。第68頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本例中，四個(gè)樣本方差可由表8.3.1中諸Qi求出，即由此可得統(tǒng)計(jì)量H的值

在

=0.05時(shí)，由附表10查得H0.95(4,9)=6.31，由于H<6.31，所以應(yīng)該保留原假設(shè)H0，即認(rèn)為四個(gè)總體方差間無(wú)顯著差異。

第69頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8.3.2Bartlett檢驗(yàn)

在單因子方差分析中有r個(gè)樣本，設(shè)第i個(gè)樣本方差為：由于幾何平均數(shù)總不會(huì)超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，故有GMSe≤MSe

,其中

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)諸si2彼此相等，若諸si2間的差異愈大，則此兩個(gè)平均值相差也愈大。

第70頁(yè)，課件共76頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此可見，在比值GMSe/MSe較大時(shí)，就意