晶格振動(dòng)與晶體的光學(xué)性質(zhì)

晶格振動(dòng)與晶體的光學(xué)性質(zhì)第1頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中為彈性恢復(fù)力系數(shù)。設(shè)原子質(zhì)量為m，則第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為試解——格波方程其中q為波數(shù)，na相當(dāng)于將原點(diǎn)取在第0個(gè)原子的平衡位置時(shí)第n個(gè)原子的平衡位置，和A為常數(shù)。解得——色散關(guān)系第2頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、格波的簡(jiǎn)約性質(zhì)、簡(jiǎn)約區(qū)——簡(jiǎn)約區(qū)在簡(jiǎn)約區(qū)內(nèi)，與q一一對(duì)應(yīng)，稱為q的主值范圍。{格波：晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振動(dòng)，

不同原子間有振動(dòng)位相差，這種振動(dòng)以波的形式在

整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。第3頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從形式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中x是可以連續(xù)取值的；而在格波中只能取na（即原子的位置），這是一系列周期排列的點(diǎn)。由此可知，一個(gè)格波解表示所有原子同時(shí)做頻率為的振動(dòng)，不同原子有不同的振動(dòng)位相，相鄰兩原子的振動(dòng)位相差為aq。若aq改變2的整數(shù)倍，這兩個(gè)格波所描述的所有原子的振動(dòng)狀態(tài)完全相同。1=4a，即q1=2/1=/2a；

2=4a/5，即q2=2/2=5/2aq2-q2=2/a

由圖可以看出，由q1和q2所確定的各原子的相對(duì)位置是完全相同的，即這兩個(gè)波數(shù)描述同一晶格振動(dòng)狀態(tài)。第4頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、周期性邊界條件（Born－Karman邊界條件）設(shè)晶體中原子總數(shù)為N，晶體鏈長(zhǎng)為Na，所謂周期性邊界條件就是將一有限長(zhǎng)度的晶體鏈看成無(wú)限長(zhǎng)晶體鏈的一個(gè)重復(fù)單元，即：12nNN+1N+2N+nh=整數(shù)第5頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這表明，引入周期性邊界條件后，波數(shù)q不能任意取值，只能取分立的值。在q軸上，相鄰兩個(gè)q的取值相距，即在q軸上，每一個(gè)q的取值所占的空間為所以，q的分布密度為：L＝Na為晶體鏈的長(zhǎng)度。簡(jiǎn)約區(qū)中波數(shù)q的取值總數(shù)＝(q)·2/a

＝(Na/2)·2/a

＝N＝晶體鏈的原胞數(shù)晶格振動(dòng)格波的總數(shù)=N·1=晶體鏈的自由度數(shù)。第6頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、格波的簡(jiǎn)諧性、聲子概念第7頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這是n(t)在q空間中的Fourier展開(kāi)式。將上式代入系統(tǒng)總機(jī)械能的表達(dá)式中，再利用線性變換系數(shù)的正交條件：即可將系統(tǒng)的總機(jī)械能化為：運(yùn)動(dòng)方程：第8頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)變換后，Q(q,t)代表一個(gè)新的空間坐標(biāo)，它已不再是描述某個(gè)原子運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)了，而是反映晶體中所有原子整體運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)，稱為簡(jiǎn)正坐標(biāo)。一個(gè)波數(shù)為q的格波相當(dāng)于一個(gè)頻率為(q)的簡(jiǎn)諧振子，我們將晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的正則振動(dòng)稱為一種振動(dòng)模式。對(duì)于由N個(gè)原子組成的一維單原子鏈，共有N種格波，即有N個(gè)振動(dòng)模式，就相當(dāng)于有N個(gè)獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子。根據(jù)量子力學(xué)理論，簡(jiǎn)諧振子的能量是量子化的，第j個(gè)振動(dòng)模式的簡(jiǎn)諧振子的能量本征值為：第9頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月聲子的概念：

聲子是晶格振動(dòng)的能量量子。聲子具有能量，也具有準(zhǔn)動(dòng)量，它的行為類似

于電子或光子，具有粒子的性質(zhì)。但聲子與電子或光子是

有本質(zhì)區(qū)別的，聲子只是反映晶體原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激

發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨(dú)存在，它并不是一種真實(shí)

的粒子。我們將這種具有粒子性質(zhì)，但又不是真實(shí)物理實(shí)

體的概念稱為準(zhǔn)粒子。所以，聲子是一種準(zhǔn)粒子。一種格波即一種振動(dòng)模式稱為一種聲子，對(duì)于由N個(gè)原子

組成的一維單原子鏈，有N種格波，即有N種聲子。當(dāng)一種

振動(dòng)模式處于其能量本征態(tài)時(shí)，稱這種振動(dòng)模有nj個(gè)聲子。第10頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)電子或光子與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，總是以為單

元交換能量，若電子交給晶格的能量，稱為發(fā)射一

個(gè)聲子；若電子從晶格獲得的能量，則稱為吸收一

個(gè)聲子。聲子與聲子相互作用，或聲子與其他粒子（電子或光子）

相互作用時(shí)，聲子數(shù)并不守恒。聲子可以產(chǎn)生，也可以湮

滅。其作用過(guò)程遵從能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒。對(duì)于由N個(gè)原子組成的一維單原子鏈，有N個(gè)振動(dòng)模式，

即有N種不同的聲子。因此，晶格振動(dòng)的總能量為：第11頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§3.2一維雙原子鏈的振動(dòng)一、運(yùn)動(dòng)方程及其解aMm{nnn-1n+1考慮一個(gè)由P和Ｑ兩種原子等距相間排列的一維雙原子鏈，設(shè)晶格常數(shù)（即原胞大?。閍，平衡時(shí)相鄰兩原子的間距為a/2，P、Q兩原子的質(zhì)量分別為M和m（設(shè)M>m），原子間的力常數(shù)為。在t時(shí)刻，第n個(gè)原胞中，P原子的位移為n，Q原子的位移為n。第12頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若只考慮近鄰原子間的彈性相互作用，則運(yùn)動(dòng)方程為：{試解：{q的物理意義：沿波的傳播方向（即沿q的方向）上，單位距離兩點(diǎn)間的振動(dòng)位相差。{代入方程得：第13頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月久期方程：解得我們將頻率為＋的晶格振動(dòng)稱為光學(xué)波；頻率為－的振動(dòng)稱為聲學(xué)波。第14頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于cos(aq)以2為周期，所以是q的周期函數(shù)，其周期為2/a。簡(jiǎn)約區(qū)：若有一個(gè)波數(shù)q’不在簡(jiǎn)約區(qū)中，我們一定可以在簡(jiǎn)約區(qū)中找到唯一一個(gè)q，使得q和q’所描述的晶格振動(dòng)狀態(tài)完全相同。這時(shí)，q和q’滿足：為倒格矢第15頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、光學(xué)波和聲學(xué)波的物理圖象第n個(gè)原胞中P、Q兩種原子的位移之比這里R為大于零的實(shí)數(shù)，反映原胞中P、Q兩種原子的振幅比，為兩原子位相差。第16頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.光學(xué)波（opticalbranch）由于于是，原胞中兩種不同原子的振動(dòng)位相差第17頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月＋在Ⅱ、Ⅲ象限之間，屬于反位相型。物理圖象：原胞中兩種不同原子的振動(dòng)位相基本上相反，即

原胞中的兩種原子基本上作相對(duì)振動(dòng)。當(dāng)q0時(shí)，＋，這時(shí)原胞中兩種原子振動(dòng)位相完全相反。原胞中兩種原子的位移與其質(zhì)量成反比，且運(yùn)動(dòng)方向相反，即原胞中兩種原子作相對(duì)振動(dòng)，而原胞質(zhì)心保持不動(dòng)。第18頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)q＝0時(shí)，＋有極大值：當(dāng)q＝/a時(shí)，＋取極小值：如果原胞內(nèi)為兩個(gè)帶相反電荷的離子（如離子晶體），那么正負(fù)離子的相對(duì)振動(dòng)必然會(huì)產(chǎn)生電偶極矩，而這一電偶極矩可以和電磁波發(fā)生相互作用。在某種光波的照射下，光波的電場(chǎng)可以激發(fā)這種晶格振動(dòng)，因此，我們稱這種振動(dòng)為光學(xué)波或光學(xué)支。第19頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.聲學(xué)波（acousticbranch）即：－在Ⅰ、Ⅳ象限，屬于同位相型。第20頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)q0時(shí)，原胞內(nèi)兩種原子的振動(dòng)位相完全相同。物理圖象：原胞中的兩種原子的振動(dòng)位相基本相同，

這時(shí)，原胞基本上作為一個(gè)整體振動(dòng)，而

原胞中兩種原子基本上無(wú)相對(duì)振動(dòng)。q0時(shí)第21頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這與連續(xù)介質(zhì)的彈性波＝vq是一致的。當(dāng)q0時(shí)這表明，在長(zhǎng)波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致，振幅和位相均相同，這時(shí)的格波非常類似于聲波，所以我們將這種晶格振動(dòng)稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支。事實(shí)上，在長(zhǎng)波極限下，晶格可以看成連續(xù)的彈性介質(zhì)，格波類似于聲波。第22頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)q＝0時(shí)，－＝0；當(dāng)時(shí)在－max和+min之間存在一個(gè)頻率“空隙”，這表明值處于“空隙”的波將強(qiáng)烈衰減，不能在晶體中傳播。從能量角度看，表示聲子的能量。所以頻率“空隙”就對(duì)應(yīng)于聲子能量的禁帶。第23頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、周期性邊界條件周期性邊界條件：h=整數(shù)，N為晶體鏈的原胞數(shù)。q的分布密度：{第24頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月推廣：若每個(gè)原胞中有s個(gè)原子，則一維晶格振動(dòng)每一個(gè)

q對(duì)應(yīng)有1個(gè)聲學(xué)波（對(duì)應(yīng)于原胞的整體振動(dòng)）和

s-1個(gè)光學(xué)波。晶格振動(dòng)格波的總數(shù)＝sN＝晶體鏈的自由度數(shù)。§3.3三維晶格振動(dòng)一、三維簡(jiǎn)單晶格的振動(dòng)第25頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0lRlRl’Rl–Rl’Rl-l’l-l’l’晶格振動(dòng)的勢(shì)能是原子位移的函數(shù)，在微小位移的情況下，可將它在平衡位置附近展開(kāi)為Taylor級(jí)數(shù)，并取平衡位置為勢(shì)能原點(diǎn)，在簡(jiǎn)諧近似下，系統(tǒng)的勢(shì)能為：其中，(l)和(l’)分別是第l和第l’個(gè)原子沿方向和方向的位移。第26頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月力常數(shù)第l個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為：這里我們考慮了晶體中所有原子的相互作用。晶體中各力常數(shù)之間并不是都是獨(dú)立的，而必須滿足：，＝1，2，3第27頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月另外，由于晶格的周期性，力常數(shù)的絕對(duì)位置無(wú)關(guān)，只與他們的相對(duì)位置Rl-Rl’，若相對(duì)位置一樣，無(wú)論哪兩個(gè)原子，其力常數(shù)均相同。設(shè)格波解：帶入運(yùn)動(dòng)方程，經(jīng)化簡(jiǎn)后得：，＝1，2，3第28頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這是關(guān)于A1、A2和A3的線性齊次方程組，有非零解的條件為：久期方程這是關(guān)于2的三次方程，由此可以解出2的三個(gè)根，即可得與q的三個(gè)關(guān)系式，對(duì)應(yīng)于三維情況沿三個(gè)方向的振動(dòng)，即三支聲學(xué)波：一支縱波，兩支橫波。第29頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月推廣：對(duì)于復(fù)式晶格，若每個(gè)原胞中有s個(gè)原子，由運(yùn)動(dòng)方程可以解得3s個(gè)與q的關(guān)系式（即色散關(guān)系式），對(duì)應(yīng)于3s支格波，其中3支為聲學(xué)波（一支縱波，兩支橫波），3(s－1)支為光學(xué)波。二、布里淵區(qū)考察(q)在q空間中的周期性。設(shè)有兩個(gè)波矢q和q’所描述的晶格振動(dòng)狀態(tài)完全相同，對(duì)于第j支格波，有第30頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上式對(duì)于任意時(shí)刻t和任意的格矢Rl都成立，于是有：{由于Gn為倒格矢，h為整數(shù)所以有q’-q＝±Gn

，（由于Rl為任意格矢）即：j(q±Gn)=j(q)第31頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這表明在q空間中，j(q)是以倒格矢Gn

為周期的周期函數(shù)。所以，在三維情況下我們?nèi)钥蓪⒉ㄊ竡限制在簡(jiǎn)約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。若將原點(diǎn)取在簡(jiǎn)約區(qū)的中心，那么，在布里淵區(qū)邊界面上周期對(duì)于的兩點(diǎn)間應(yīng)滿足關(guān)系：0Gnqq’Gn第32頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月——布里淵區(qū)邊界面方程這表明布里淵區(qū)的邊界面是倒格矢的垂直平方面。布里淵區(qū)的幾何作圖法：根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)，作出該晶體的倒易空間點(diǎn)陣，并取一

個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)；由近到遠(yuǎn)作各倒格矢的垂直平方面；在原點(diǎn)周圍圍成一個(gè)包含原點(diǎn)在內(nèi)的最小封閉體積，

即為簡(jiǎn)約區(qū)或第一布里淵區(qū)。第33頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月顯然，簡(jiǎn)約區(qū)就是倒易空間中的Wibner－Seitz原胞。這種幾何作圖法不僅可以給出簡(jiǎn)約區(qū)，即第一布里淵區(qū)，也給出了簡(jiǎn)約區(qū)以外的許多封閉區(qū)域，它們由內(nèi)向外依次稱為第二布里淵區(qū)、第三布里淵區(qū)等。ⅡⅡⅡⅡⅡⅡⅢⅢⅢⅢⅢⅢ1222222333333第34頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可以證明，每個(gè)布里淵區(qū)的體積均相等，都等于第一布里淵區(qū)的體積，即倒格子原胞的體積b。布里淵區(qū)序號(hào)的確定：從某個(gè)區(qū)域中的任一點(diǎn)到原點(diǎn)聯(lián)成一條直線，若此直線穿過(guò)n個(gè)布里淵區(qū)邊界面，那么，這個(gè)區(qū)域就是第n+1個(gè)布里淵區(qū)。正格子格常數(shù)倒格子格常數(shù)簡(jiǎn)約區(qū)bccafcc由12個(gè){110}面

圍成的正12面體fccabcc由8個(gè){111}面和6個(gè){100}面圍成的14面體第35頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、