機器人軌跡規(guī)劃

機器人軌跡規(guī)劃第1頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月2

軌跡規(guī)劃問題通常是將軌跡規(guī)劃器看成“黑箱”，接受表示路徑約束的輸入變量，輸出為起點和終點之間按時間排列的操作機中間形態(tài)（位姿,速度和加速度）序列。路徑約束動力學(xué)約束路徑設(shè)定軌跡規(guī)劃器11.2機器人軌跡規(guī)劃的一般性問題

由初始點運動到終止點，所經(jīng)過的由中間形態(tài)序列構(gòu)成的空間曲線稱為路徑。第2頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月3

規(guī)劃操作機的軌跡有兩種常用的方法：第一種方法：要求使用者在沿軌跡選定的位置點上(稱為結(jié)節(jié)或插值點)顯式地給定廣義坐標(biāo)位置、速度和加速度的一組約束(例如，連續(xù)性和光滑程度等)。然后，軌跡規(guī)劃器從插值和滿足插值點約束的函數(shù)中選定參數(shù)化軌跡。顯然，在這種方法中，約束的給定和操作機軌跡規(guī)劃是在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中進行的。第二種方法：使用者以解析函數(shù)顯式地給定操作機必經(jīng)之路徑，例如，笛卡爾坐標(biāo)中的直線路徑。然后，軌跡規(guī)劃器在關(guān)節(jié)坐標(biāo)或笛卡幾坐標(biāo)中確定一條與給定路徑近似的軌跡。在這種方法中，路徑約束是在笛卡爾坐標(biāo)中給定的。第3頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月4

在第一種方法中，約束的給定和操作機軌跡規(guī)劃在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中進行。由于對操作機手部沒有約束，使用者難于跟蹤操作機手部運行的路徑。因此，操作機手部可能在沒有事先警告的情況下與障礙物相碰。在第二種方法中，路徑約束在笛卡爾坐標(biāo)中給定，而關(guān)節(jié)驅(qū)動器是在關(guān)節(jié)坐標(biāo)中受控制的。因此，為了求得一條逼近給定路徑的軌跡，必須用函數(shù)近似把笛卡爾坐標(biāo)中的路徑約束變換為關(guān)節(jié)坐標(biāo)中的路徑約束，再確定滿足關(guān)節(jié)坐標(biāo)路徑約束的參數(shù)化軌跡。軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)變量空間中進行，也可在笛卡爾空間進行。對于關(guān)節(jié)變量空間的規(guī)劃，要規(guī)劃關(guān)節(jié)變量的時間函數(shù)及其前二階時間導(dǎo)數(shù)，以便描述操作機的預(yù)定運動。在笛卡爾空間規(guī)劃中，要規(guī)劃操作機手部位置、速度和加速度的時間函數(shù)，而相應(yīng)的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度可根據(jù)手部信息導(dǎo)出。第4頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月5

面向笛卡爾空間方法的優(yōu)點是概念直觀，而且沿預(yù)定直線路徑可達到相當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確性?？墒怯捎诂F(xiàn)代還沒有可用笛卡爾坐標(biāo)測量操作機手部位置的傳感器，所有可用的控制算法都是建立在關(guān)節(jié)坐標(biāo)基礎(chǔ)上的。因此，笛卡爾空間路徑規(guī)劃就需要在笛卡爾坐標(biāo)和關(guān)節(jié)之間進行實時變換，這是一個計算量很大的任務(wù)，常常導(dǎo)致較長的控制間隔。由笛卡爾坐標(biāo)向關(guān)節(jié)坐標(biāo)的變換是病態(tài)的，因而它不是一一對應(yīng)的映射。如果在軌跡規(guī)劃階段要考慮操作機的動力學(xué)特性，就要以笛卡爾坐標(biāo)給定路徑約束，同時以關(guān)節(jié)坐標(biāo)給定物理約束(例如，每個關(guān)節(jié)電機的力和力矩、速度和加速度權(quán)限)。這就會使最后的優(yōu)化問題具有在兩個不同坐標(biāo)系中的混合約束。在笛卡爾空間進行軌跡規(guī)劃的特點：第5頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月6

在關(guān)節(jié)變量空間的規(guī)劃有三個優(yōu)點：直接用運動時的受控變量規(guī)劃軌跡；軌跡規(guī)劃可接近實時地進行；關(guān)節(jié)軌跡易于規(guī)劃。伴隨的缺點是難于確定運動中各桿件和手的位置，但是，為了避開軌跡上的障礙．常常又要求知道一些桿件和手位置。

由于面向笛卡爾空間的方法有前述鐘種缺點，使得面向關(guān)節(jié)空間的方法被廣泛采用。它把笛卡爾結(jié)點變換為相應(yīng)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)，并用低次多項式內(nèi)插這些關(guān)節(jié)結(jié)點。這種方法的優(yōu)點是計算較快，而且易于處理操作機的動力學(xué)約束。但當(dāng)取樣點落在擬合的光滑多項式曲線上時，面向關(guān)節(jié)空間的方法沿笛卡爾路徑的準(zhǔn)確性會有損失。第6頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月7一般說來，生成關(guān)節(jié)軌跡設(shè)定點的基本算法是很簡單的：循環(huán)：等待下一個控制間隔；

時刻操作機關(guān)節(jié)所處的位置；若，則退出循環(huán)；轉(zhuǎn)向循環(huán)。

從上述算法可以看出，要計算的是在每個控制間隔中必須更新的軌跡函數(shù)(或軌跡規(guī)劃器)h(t)。因此，對規(guī)劃的軌跡要提出四個限制。第一，必須便于用迭代方式計算軌跡設(shè)定點；第二，必須求出并明確給定中間位置；第三，必須保證關(guān)節(jié)變量及其前二階時間導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，使得規(guī)劃的關(guān)節(jié)軌跡是光滑的；最后，必須減少額外的運動(例如，“游移”)。11.3關(guān)節(jié)插值軌跡第7頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月8

若某關(guān)節(jié)(例如關(guān)節(jié)i)的關(guān)節(jié)軌跡使用p個多項式，則要滿足初始和終止條件(關(guān)節(jié)位置、速度和加速度)，并保證這些變量在多項式銜接處的連續(xù)性，因而需要確定3(p十1)個系數(shù)。若給定附加的中間條件(例如位置)，則對每個中間條件需要增加一系數(shù)。通常，可以給定兩個中間位置，一個靠近初始位置；另一個靠近終止位置。這樣做，除了可以較好地控制運動外，還能保證操作機末端以適當(dāng)?shù)姆较螂x開起點和接近終點。因此，對于連接初始位置和終止位置的每個關(guān)節(jié)變量，一個七次多項式就足夠了，或者用兩段四次軌跡加一段三次軌跡（4—3—4），也可以用兩段三次軌跡加一段五次軌跡（3—5—3），或五段三次軌跡（3—3—3—3—3）。第8頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月9

為了控制操作機，在規(guī)劃運動軌跡之前，需要給定機器人在初始點和終止點的手臂形態(tài)。在規(guī)劃機器人關(guān)節(jié)插值運動軌跡時，需要注意下述幾點：1、抓住一個物體時，手的運動方向應(yīng)該指向離開物體支承表面的方向。否則，手可能與支承面相碰。2、若沿支承面的法線方向從初始點向外給定一個離開位置(提升點)，并要求手(即手部坐標(biāo)系的原點)經(jīng)過此位置，這種離開運動就是允許的。如果還給定由初始點運動到離開位置的時間，我們就可以控制提起物體運動的速度。3、對于手臂運動提升點的要求同樣也適用于終止位置運動的下放點(即必須先運動到支承表面外法線方向上的某點，再慢慢下移至終止點)。這樣，可獲得和控制正確的接近方向。4、對手臂的每一次運動，都設(shè)定上述四個點：初始點，提升點，下放點和終止點。第9頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月105、位置約束

(a)初始點：給定速度和加速度(一般為零)；

(b)提升點：中間點運動的連續(xù)；

(c)下放點：同提升點；

(d)終止點：給定速度和加速度(一般為零)。第10頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月116、除上述約束外，所有關(guān)節(jié)軌跡的極值不能超出每個關(guān)節(jié)變量的物理和幾何極限。7、時間的考慮

(a)軌跡的初始段和終止段：時間由手接近和離開支承表面的速率決定；也是由關(guān)節(jié)電機特性決定的某個常數(shù)。

(b)軌跡的中間點或中間段：時間由各關(guān)節(jié)的最大速度和加速度決定，將使用這些時間中的一個最長時間(即用最低速關(guān)節(jié)確定的最長時間來歸一化)。

在關(guān)節(jié)軌跡的典型約束條件之下，我們所要研究的是選擇一種n次(或小于n次)的多項式函數(shù)，使得在各結(jié)點(初始點，提升點，下放點和終止點)上滿足對位置、速度和加速度的要求，并使關(guān)節(jié)位置、速度和加速度在整個時間間隔[t0,tf]中保持連續(xù)。第11頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月121.位置(給定)2．速度(給定，通常為零)3.加速度(給定，通常為零)4.提升點位置(給定)5．提升點位置（與前一段軌跡連續(xù)）

6.速度（與前一段軌跡連續(xù)）

7．加速度（與前一段軌跡連續(xù)）

8.下放點位置(給定)9．下放點位置（與前一段軌跡連續(xù)）

11.速度（與前一段軌跡連續(xù)）

11.加速度（與前一段軌跡連續(xù)）

12.位置(給定)13.速度(給定，通常為零)14.加速度(給定，通常為零)終止位置中間位置初始位置

規(guī)劃關(guān)節(jié)插值軌跡的約束條件：第12頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月13一種方法是為每個關(guān)節(jié)規(guī)定一個七次多項式函數(shù)式中，未知系數(shù)aj可由已知的位置和連續(xù)條件確定。但用這種高次多項式內(nèi)插給定的結(jié)點也許不能令人滿意，因為它的極值難求，而且容易產(chǎn)生額外的運動。另一種辦法是將整個關(guān)節(jié)空間軌跡分割成幾段，在每段軌跡中用不同的低次多項式來插值。有幾種分割軌跡的方法，每種方法的特性各不相同。4—3—4軌跡每個關(guān)節(jié)有下面三段軌跡：第一段由初始點到提升點的軌跡用四次多項式表示。第二段(或中間段）由提升點到下放點的軌跡用三次多項式表示。最后一段由下放點到終止點的軌跡由四次多項式表示。第13頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月14

3—5—3軌跡每個關(guān)節(jié)也有下面三段軌跡：第一段用三次多項式，第二段用五次多項式，最后一段用三次多項式。

(3—3—3—3—3)軌跡再增加二個中間點，且對五段軌跡都使用三次多項式樣條函數(shù)。注意，上述討論對每個關(guān)節(jié)軌跡都是有效的，即每個關(guān)節(jié)軌跡可分割成三段或五段。11.44—3—4關(guān)節(jié)軌跡的計算

由于在每段軌跡中要確定N條關(guān)節(jié)軌跡，引用歸一化時間變量是方便的，它使我們能用同樣的方法處理每個關(guān)節(jié)每段軌跡的方程。時間變化范圍均由(各段軌跡的初始時間)變到(各段軌跡的終止時間)。第14頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月15定義下列變量：

軌跡是由多項式序列hi(t)構(gòu)成的，這些多項式合起來形成關(guān)節(jié)j的軌跡。在每段軌跡中關(guān)節(jié)變量的多項式用歸一化時間表示為:第15頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月16這些關(guān)節(jié)軌跡分段多項式所應(yīng)滿足的邊界條件為:第16頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月174—3—4關(guān)節(jié)軌跡的邊界條件如圖示。第17頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月18這些多項式對實際時間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)。可寫成第一段軌跡的基本多項式是四次的第18頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月19對于t=0(這段軌跡的初始位置)，要滿足此位置的邊界條件，則第19頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月20用求出的這些未知量得到對于t=1(這段軌跡的終點)，在此位置，我們放寬插值多項式必須準(zhǔn)確通過該點的要求，僅要求在此位置的速度和加速度必須與下一段軌跡起點的速度和加速度連續(xù)。此處的速度和加速度為第二段軌跡的基本多項式是三次的第20頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月21對于t=0(提升點)，此點的速度和加速度分別為由于此點的速度和加速度必須分別與前一段軌跡終點的速度和加速度連續(xù)，故可得第21頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月22或或

對于t=1(下放點)，該點的速度和加速度必須與下一段軌跡起點處的速度和加速度連續(xù)?？煞謩e求得此位置的速度和加速度為第22頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月23末段軌跡的基本多項式是四次的如果在上式中以代替t，我們就把歸一化時間t由

移至。第23頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月24可得對于

(這段軌跡的終點)，要滿足軌跡終點的邊界條件，即對于

(這段軌跡的起點)，要滿足軌跡起點的邊界條件，即第24頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月25在此下放點的速度和加速度連續(xù)性條件是：或第25頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月26可以求出相連軌跡段間關(guān)節(jié)角之差為

軌跡多項式其余未知系數(shù)可由以上的速度、加速度連續(xù)約束條件的聯(lián)立方程解出，用矩陣矢量符號改寫這些方程，可得其中第26頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月27或C矩陣的結(jié)構(gòu)便于計算未知系數(shù)，若時間間隔ti

為正值，C的逆矩陣總