數(shù)字圖像處理的數(shù)學基礎

數(shù)字圖像處理的數(shù)學基礎第1頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章數(shù)字圖像處理的數(shù)學基礎線性系統(tǒng)調諧信號分析卷積與濾波相關函數(shù)二維系統(tǒng)灰度直方圖第2頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1線性系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)實際應用系統(tǒng)(線性系統(tǒng))f[*]u(t)y(t)當且僅當該系統(tǒng)具有如下性質時：該系統(tǒng)是線性的。第3頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1線性系統(tǒng)二、移不變系統(tǒng)輸入信號自變量t沿坐標軸平移T時刻，若滿足F(u(t-T))=y(t-T)則稱該系統(tǒng)具有移不變性。

對于移不變系統(tǒng)，平移輸入信號僅使輸出信號移動同樣長度，輸出信號的性質不變。若輸入圖像相對于其遠點有一平移，則輸出圖像除了相同的平移，其他不變。第4頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2調諧信號分析一、調諧信號

調諧信號可視為一個在復平面內以角速度ω旋轉的單位向量，且有ω=2πf第5頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月知識回顧——泰勒級數(shù)第6頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2調諧信號分析二、對調諧信號的響應對于線性移不變系統(tǒng)，若輸入調諧信號即則系統(tǒng)響應為若輸入調諧信號即則系統(tǒng)響應為第7頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2調諧信號分析輸入信號和輸出信號存在以下關系因此有從而有即所以有第8頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2調諧信號分析三、系統(tǒng)傳遞函數(shù)1.傳遞函數(shù)的形式(極坐標形式)2.線性移不變系統(tǒng)對余弦函數(shù)的輸出若輸入一余弦信號，且令其為某調諧信號的實部，即則由于系統(tǒng)對調諧輸入信號的響應為第9頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2調諧信號分析因此，系統(tǒng)的實際輸出為綜上所述，線性移不變系統(tǒng)具有以下性質：（1）調諧輸入產生同頻率的調諧輸出；（2）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一個僅依賴于頻率的復函數(shù)，它包含了系統(tǒng)的全部特征信息；（3）傳遞函數(shù)對調諧輸入信號僅產生幅值的縮放和相位的平移。

第10頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波一、連續(xù)卷積

根據(jù)數(shù)字信號處理理論，卷積的定義為其性質如下：交換率u*h=h*u

結合率(u*h)*y=u*(h*y)

分配率u*(h+y)=u*h+u*y交換率第11頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波卷積積分的圖解法步驟：（1）變量替換：將函數(shù)、的自由變量由t變換成τ；（2）反折：將函數(shù)以縱軸為軸線反折，得到對于縱軸的鏡像;（3）平移：將函數(shù)沿正向τ軸平移時間t，得到函數(shù)；（4）相乘求積分：將反折并平移后的函數(shù)乘以，并求積分值;（5）重復步驟（3）、（4），直到平移時間t覆蓋了整個時間軸-∞<t<∞.第12頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波例：求下圖所示的f1(t)與f2(t)的卷積積分F(t)2-2)(1tft10)(2tf021t(a)(b)步驟1第13頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波步驟2步驟3、4兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0即第14頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波步驟5第15頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波步驟5續(xù)第16頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波步驟5續(xù)第17頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0即步驟5續(xù)第18頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波最終結果第19頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月單位沖激信號的狄拉克(Dirac)定義從下面三點來理解沖激信號(1)除了之外取值處處為零；3.3卷積與濾波

知識拓展——沖激信號(3)在包含出現(xiàn)的位置的任意區(qū)間范圍內面積為1。(2)在處為無窮大；第20頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月沖激函數(shù)的性質（1）抽樣性（2）奇偶性（3）卷積性質3.3卷積與濾波

知識拓展——沖激信號第21頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波卷積運算的性質——與沖激信號的卷積

第22頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波二、離散卷積卷積和序列y(i)的長度為第23頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3卷積與濾波三、卷積與濾波數(shù)學上的卷積運算在信號處理和圖像處理學科上通常又稱為濾波。線性移不變系統(tǒng)輸入和輸出之間的關系，除了可以用傳遞函數(shù)來描述之外，還可以采用卷積的方法來表示。即線性移不變系統(tǒng)的輸出可通過輸入信號與代表了系統(tǒng)特性的沖激響應函數(shù)h(t)的卷積得到,即第24頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月

其中h(t)與系統(tǒng)的沖激響應一致，因此稱為沖激響應函數(shù)，即當輸入為單位沖激函數(shù)時3.3卷積與濾波第25頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月一、相關函數(shù)的定義

任意兩個信號的相關函數(shù)定義：

相關函數(shù)是信號之間相似性的一種量度。1.自相關函數(shù)若f(t)=h(t),則2.互相關函數(shù)若f(t)≠h(t),則而3.4相關函數(shù)第26頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月二、相關與卷積的關系數(shù)學上可以證明，相關本質上是一個信號反折后的卷積3.4相關函數(shù)第27頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算一、二維線性系統(tǒng)

若該系統(tǒng)輸入輸出滿足以下特性

則稱該二維系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。第28頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算

二、二維位置不變線性系統(tǒng)對于任意一個二維系統(tǒng)，若給定輸入f(x，y)，產生輸出g(x，y)

即：將輸入信號自變量x和y分別平移x0和y0，若滿足以下條件則稱為二維位置不變線性系統(tǒng)第29頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算二維位置不變線性系統(tǒng)的輸出對于二維連續(xù)系統(tǒng)對于二維離散系統(tǒng)第30頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算

復習——方向導數(shù)與梯度第31頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月一、方向導數(shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點

P處沿方向l

的方向導數(shù).在點處沿方向l(方向角為)

存在下列極限:記作

3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算

復習——方向導數(shù)與梯度第32頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月定理:則函數(shù)在該點沿任意方向

l

的方向導數(shù)存在,且有機動目錄上頁下頁返回結束即x軸和y軸到方向l的轉角3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算

復習——方向導數(shù)與梯度第33頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算三、二維系統(tǒng)的梯度算子1.連續(xù)系統(tǒng)梯度算子對于連續(xù)系統(tǒng)，在坐標位置(x,y)處的梯度向量為：

可寫為：由于梯度是向量，因此其幅值為梯度的方向為：

梯度的方向是f（x，y）變化最快的方向第34頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月2.離散系統(tǒng)梯度算子在數(shù)字圖像處理中，羅伯特算子、索貝爾算子、普瑞維特等各種梯度算子均以差分形式表示。3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算第35頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算梯度的幅值為：為避免平方根運算，可以采用梯度近似值：①②離散系統(tǒng)梯度幅值與近似值關系第36頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算矩陣基礎知識回顧1.逆矩陣Aˉ：AB=BA=E注：只有方陣才具有逆矩陣計算方法：其中為矩陣A的伴隨陣示例：求逆矩陣第37頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算矩陣基礎知識回顧2.矩陣的轉置：定義：將矩陣的行列互換所得到的矩陣。示例：第38頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算3.特征向量：

定義：設A是n階方陣，若存在數(shù)λ和n維非零列向量x，使Ax=λx成立，則稱λ為方陣A的特征值，非零列向量x稱為方陣A的對應于特征值λ的特征向量。Ax=λx特征向量方程：（A-λE）x=0特征方程：F（λ）=|A-λE|=0第39頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算4.矩陣的跡：定義：設有n階矩陣A，那么矩陣的跡就等于A的特征值的總和，也即A矩陣的主對角線元素的總和。示例：求特征值和特征向量特征值：-1，2，2；矩陣的跡為3第40頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算續(xù)上例當特征值為-1時，解方程（A+E）x=0，由得基礎解系得基礎解系當特征值為2時，解方程（A-2E）x=0，由特征向量kp1特征向量k1p2+k2p3第41頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算MATLAB中的矩陣運算1.定義矩陣例：>>A=[123;456;789]2.矩陣A的逆：inv（A）3.矩陣的轉置：（A’）4.矩陣的跡：trace(A)5.矩陣的特征值與特征向量：eig（A）①.E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成向量E；②.[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成對角陣D，并求A的特征向量構成V的列向量；6.方陣的行列式det（A）第42頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6灰度直方圖一、直方圖的定義與性質1.直方圖的定義灰度直方圖是灰度級的函數(shù)，描述的是圖像中該灰度級的像素個數(shù)。即：橫坐標表示灰度級，縱坐標表示圖像中該灰度級出現(xiàn)的個數(shù)。1234565456214123456643221166466345666146623136466灰度直方圖第43頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月另一種定義方式圖示中，有一條灰度級為D1的輪廓線，在更高的灰度級D2處還畫有第二條輪廓線。

A1表示第一條輪廓線所包圍區(qū)域的面積，同樣，A2表示第二條輪廓線所包圍的區(qū)域的面積。3.6灰度直方圖第44頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月

在一幅連續(xù)圖像中，將具有灰度級D的所有輪廓線所包圍的面積，稱為灰度級D的閾值面積函數(shù)，用A(D)表示，則直方圖可定義為：對于離散函數(shù)，固定△D為1，則上述定義變?yōu)椋?/p>

H(D)=A(D)-A(D+1)

3.6灰度直方圖)()()()(lim0DAdDdDDDADADHD-=DD+-=?D第45頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月

設r代表圖像中像素灰度級，作歸一化處理后，r將被限定在［0,1］之內。在灰度級中，r=0代表黑，r=1代表白。對于一幅給定的圖像來說，每一個像素取得［0,1］區(qū)間內的灰度級是隨機的，即r是隨機變量。假定對每一瞬間，它們是連續(xù)的隨機變量，則可以用概率密度函數(shù)pr(r)來表示原始圖像的灰度分布。若橫軸代表灰度級r，縱軸代表灰度級的概率密度函數(shù)pr(r)，這樣就可以針對一幅圖像在該坐標系中作出一條曲線。這條曲線在概率論中就是概率密度曲線，如圖所示。

圖像灰度分布概率密度函數(shù)第46頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月直方圖表明每一個灰度有多少個象素3.6灰度直方圖第47頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6灰度直方圖四種基本圖像類型圖像及其灰度直方圖(暗、亮、低對比度、高對比度)第49頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6灰度直方圖四種基本圖像類型圖像及其灰度直方圖(暗、亮、低對比度、高對比度)第50頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月2.直方圖的性質性質一直方圖是一幅圖像中各像素灰度值出現(xiàn)次數(shù)（或頻數(shù)）的統(tǒng)計結果，它只反映該圖像中不同灰度值出現(xiàn)的次數(shù)（或頻數(shù)），而未反映某一灰度值像素所在位置。3.6灰度直方圖第51頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月空間信息丟失3.6灰度直方圖第52頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月性質二

任一幅圖像，都能唯一地確定出一幅與它對應的直方圖，但不同的圖像，可能有相同的直方圖。也就是說，圖像與直方圖之間是多對一的映射關系。3.6灰度直方圖第53頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6灰度直方圖性質三若某一幅圖像由若干子圖像區(qū)域構成，那么各子區(qū)域直方圖之和就等于原圖像的直方圖。第54頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6灰度直方圖3.直方圖的作用1）用于判斷圖像量化是否恰當直方圖給出了一個簡單可見的指示，用來判斷一幅圖象是否合理的利用了全部被允許的灰度級范圍。若圖像亮度具有超出數(shù)字化器所能量化的范圍，則這些灰度級將被置為0或255.。第55頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6灰度直方圖第56頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月較暗圖象的直方圖