2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組4

解三角形

考點(diǎn)一正弦定理與余弦定理

1.（2016課標(biāo)I文,4,5分）4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=VS,c=2,cosA=1,

則b=（）

A.V2B.V3

答案D由余弦定理得5=22+42X2bcosA,,.?cosA=1,.?.3b2-8b-3=0,；.b=3（=-：舍去）.

故選D.

評析本題考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了方程的思想方法.

2.（2016天津理,3,5分）在4ABC中，若AB=V13,BC=3,/C=120°,則AC=（）

答案A在AABC中，設(shè)A、B、C所對的邊分別為a,b,c,則由cJaZ+b'-ZabcosC,得

13=9+b-2X3bX（-0,即b2+3b-4=0,解得b=l（負(fù)值舍去），即AC=1.故選A.

評析本題考查了余弦定理的應(yīng)用和方程思想,屬容易題.

3.（2016課標(biāo)III理,8,5分）在AABC中,B吟BC邊上的高等于粉則cosA=（）

.3mVToVTo3VTO

*^o--To_

答案C解法一:過A作AD±BC,垂足為D,由題意知AD=BD^BC,則CD=gBC,AB=yBC,AC=yBC,

在AABC中，由余弦定理的推論可知,cos/BAC-.「一?*七一學(xué):一=_1,故選仁

2,2x苧BCx苧CB10

A

RDC

解法二:過A作AD1BC,垂足為D,由題意知AIABD^BC,則CD二|BC,在RtAADC

中，AC=^BC,sinNDAcS^,cosNDAC=E，又因?yàn)樗詂osZBAC=cosfZ4-

—)=cosZDAC?cos--sinZDAC?sin——X^1-^.x^.=-^2故選Q

4/44D25210

解法三:過A作AD±BC,垂足為D,由題意知AD=BD=1BC,則CD=|BC,AB=yBC,AC=yBC,而

---'?---=(---->+--->)?(---,+--->)=---12+---'---->+--->---->+--->----k=iBC2-

9

翔氣BC；所以cos/BACq二?二「爭"BJ呼，故選。

解法四：過A作AD1BC,垂足為D,設(shè)BC=3a(a>0),結(jié)合題意知AD=BD=a,DC=2a.以D為原

點(diǎn),DC,DA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以

—?=(-a,-a),--(2a,-a),所以I-*|=伍,|-11=修,所以

cos/BAC二__,彳：_:-之后二+氏一一吟,故選C.

IV2axv5a10

4.(2016山東文,8,5分)AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b“l(fā)-sinA).

則A=()

A.—B.-C.-D.J

4346

222?22

f22

答案C在aABC中，由b=c,得cosA二一-----22,Xa=2b(l-sinA),cosA=sinA,

即tanA=l,又知A￡(0,n)，所以A二;，故選C.

4

評析恰當(dāng)運(yùn)用余弦定理的變形形式是求解本題的關(guān)鍵.

5.(2015廣東文,5,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2,c=2g,<:海=日且

b〈c,則b=()

V2D.V3

答案C由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,Vb<c=2V3,/.b=2.

選C.

6.(2014課標(biāo)H理,4,5分)鈍角三角形ABC的面積是g,AB=1,BC=V5,則AC=()

B.V5

答案BSAABC4AB?BCsinB=|xlxV2sinB=1,

.,.sinB=y,.\B=45O或135°.若B=45°,則由余弦定理得AC=1,.?.△ABC為直角三角形，不符

合題意，因此B=135°,由余弦定理得

AC2=AB2+BC-2AB?BCcosB=l+2-2XlxV2X(-y)=5,：.AC=V5.故選B.

7.(2013課標(biāo)II文,4,5分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,B4,C=；,貝ij

64

△ABC的面積為()

A/3+2B.V3+1A/3-2D.A/3-1

答案B由——=—及已知條件得c=2戲.

又sinA=sin（B+C）=1x爭fx季更富從而S&、Bc=|bcsinA=1x2X2⑶耳力5+1.故選B.

8.（2013課標(biāo)I文,10,5分）已知銳角4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

a,b,c,23COS2A+COS2A=0,a=7,c=6,則b=（）

答案D由23cos?A+cos2A=0得25cos2A=1,

因?yàn)锳為銳角，所以cosA=i.又由a2=b2+c-2bccosA得49=b2+36-^b,整理得5b2-12b-65=0,

55

解得b=-晟（舍）或b=5,故選D.

9.（2019課標(biāo)II文,15,5分）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,

則B=.

答案j11

解析本題考查正弦定理及三角函數(shù)求值,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.

在aABC中，由已知及正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0,

VsinA^O,sinB+cosB=0,BPtanB=-l,

又BG（O,n）,...B=2n.

4

10.（2017課標(biāo)m文，15,5分）4人8（：的內(nèi)角48,（：的對邊分別為多1）,（;.已知C=60°,b=V^,c=3,

則A=.

答案75°

解析由正弦定理得一黑=旦，sinB=^,

sinoOsin2

又?；c>b,...B=45°,，A=75°.

易錯警示本題求得sinB亭后,要注意利用b<c確定B=45°,從而求得A=75°.

11.（2017課標(biāo)1J文，16,5分）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

2bcosB=acosC+ccosA,則B二.

答案60°

解析解法一：由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinC?cosA,即sin2B=sin（A+C）,即

sin2B=sin（180°-B）,可得B=60。.

222

解法二：由余弦定理得2b?；2=a?+-+c?：即b?'2-2=b,所以

aH-bJac,所以cosB=；,又0°<BG80°,所以B=60°.

思路分析利用正弦定理或余弦定理將邊角統(tǒng)一后求解.

12.（2016課標(biāo)H,理13,文15,5分）/i八8,的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

cosA=1,cosC=±a=l,則b=.

答案

解析由已知可得sinA=|,sinC=3則sinB=sin（A+C）4x^X^,再由正弦定理可得

513□13313bo

―二-芻

sinsin-13

13.（2016北京文，13,5分）在aABC中，/A號,a=V3c,貝iJ-=.

答案1

解析在AABC中，a2=b2+c2-2bc,cosA,

將NA=芋,a=V3c代入，

可得（V5c）2=b2+c2-2bc?

整理得2c2=b2+bc.

；cW0,.?.等式兩邊同時除以c）

得2---j-,即2=（一）+—.

令t=—（t>0）,有2-t2+t,即tJ+t-2=0,

解得t=l或t=-2（舍去）,

故一=1.

思路分析本題先由余弦定理列出關(guān)于b、c的方程，再將方程轉(zhuǎn)化為以一為變元的方程求解.

評析本題考查余弦定理的應(yīng)用及換元思想的應(yīng)用，屬中檔題.

14.（2015福建理，12,4分）若銳角△ABC的面積為10V5,且AB=5,AC=8,則BC等于.

答案7

解析設(shè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.由已知及;bcsinA=10/得sinA喙因?yàn)锳為銳

角，所以A=60°,cosA=1.由余弦定理得a=b2+c2-2bccosA=25+64-2X40X^=49,故a=7,即

BC=7.

評析本題考查了三角形的面積和解三角形,利用三角形的面積求出cosA是求解關(guān)鍵.

15.(2015安徽文，12,5分)在AABC中，AB=V6,ZA=75°,ZB=45°,貝UAC=.

答案2

解析由已知及三角形內(nèi)角和定理得/C=60°,由——=——知AC=—二^二空誓一2.

sinsinsmsin60

16.(2015福建文，14,4分)若AABC中,AC=“,A=45。，C=75°,則BC=.

答案V2

解析B=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得一=—，可得BC=方.

sinsin

17.(2015重慶文,13,5分)設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

a=2,cosC=--,3sinA=2sinB,貝c=.

4------------------

答案4

解析由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故

c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2X2X3X^-^=16,所以c=4.

18.(2015北京理，12,5分)在AABC中，a=4,b=5,c=6,則任一=

sin------------------

答案1

解析在4ABC中，由余弦定理的推論可得cosA=—2.——2_2金普;.2《Q，由正弦定理可知

22x5x64

sin2_2sincos_2,cos_2x4x^_^

sinsin6

評析本題主要考查正弦定理、余弦定理的推論以及二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求

解能力和知識的應(yīng)用轉(zhuǎn)化能力.

19.(2014課標(biāo)I理,16,5分)已知a,b,c分別為4ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且

(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則AABC面積的最大值為.

答案V3

解析因?yàn)閍=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化為(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,

由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA--\—=；,

又0<A<"，故Aq.因?yàn)閏osA手V~,所以bcW4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號.由三角

形面積公式知SAAK-=|bcsinA=|bc,禽,故AABC面積的最大值為8.

評析本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生對

知識的綜合應(yīng)用能力以及運(yùn)算求解能力.能把2代換成a是正確解決本題的關(guān)鍵.

20.(2011課標(biāo)文，15,5分)AABC中,B=120°,AC=7,AB=5,則ZiABC的面積為.

答案

4

解析由余弦定理b2=a2+c-2accosB,及已知條件得

49=a2+25-2X5Xacosl200.

整理得a2+5a-24=0,

解得a=3或a=-8(舍).

SA耽=:acsinB=；-X3X5sinl20°

224

評析本題考查余弦定理、解三角形等知識,根據(jù)余弦定理正確求出a的值是解答本題的關(guān)

鍵.

21.(2016課標(biāo)H,13,5分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=&cosC=^,a=l,

513

貝ljb=.

答案卷

解析由cosC系0<C<n,得sinC考.

由cosA』,0<A<冗，得sinA=，.

所以sinB=sin[n-(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+sinCcosA=-6z3,

65

根據(jù)正弦定理得b-sin

sin13

22.(2020課標(biāo)IJ文，17,12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos2G+

A)+cosA=1.

⑴求A;

(2)若b-c=ya,證明：AABC是直角三角形.

解析(1)由已知得sin-A+cosA=7,即cos"A-cosA+|=0.

44

2

所以(cos-J=0,cosAq.由于0<A<兀,故A=y.

(2)由正弦定理及已知條件可得sinB-sinC=ysinA.

由(1)知B+C=,所以sinB-sing-B,qsi*.

即;sinB—cosB=1,sin（卷.

由于0<B〈等,故B成.從而aABC是直角三角形.

23.（2017山東文，17,12分）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知

=—

b—3,*?>6,SAABC^S,求A和a.

解析因?yàn)??--6,所以bccosA=-6,

又SZSABC=3,所以bcsinA=6,

因此tanA=-l,又0<A<K，所以A=—.

4

又b=3,所以c=2近.

由余弦定理a*2=b2+c-2bccosA,

得a=9+8-2X3X2讓X（-亨卜29,

所以a=V29.

24.（2016四川文，18,12分）在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且竺_+空

（1）證明：sinAsinB=sinC;

⑵若b2+cJ-a2=^bc,求tanB.

5

解析（1）證明：根據(jù)正弦定理，

貝!Ja=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.

代入—+22。匚中，有

，+-_==,變形可得

smsinsin

sinAsinB二sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).

SAABC中,由A+B+C=n,有sin(A+B)=sin(n-C)=sinC,

所以sinAsinB=sinC.

(2)由已知,b2+c2-a2=|bc,

5

2.2_2o

根據(jù)余弦定理,有cosA=—;----=7.

25

所以sinA=Vl-cos2A=7.

5

由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,

所以?sinB^cosB+jrSinB,

355

故tanB衛(wèi)二=4.

COS

方法總結(jié)解三角形中，要根據(jù)題干條件恰當(dāng)選取正、余弦定理，當(dāng)涉及邊較多時，可考慮余

弦定理,當(dāng)涉及角較多時,可考慮正弦定理.AABC中，也常用到sin（A+B）=sinC.

評析本題考查了正、余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正、余弦

定理是解題的關(guān)鍵.

25.（2016課標(biāo)I理,17,12分）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

2cosC（acosB+bcosA）=c.

⑴求C;

（2）若c=近,AABC的面積為竽,求AABC的周長.

解析（1）由已知及正弦定理得，

2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC,（2分）

2cosCsin（A+B）=sinC.

故2sinCcosC=sinC.（4分）

可得cosg,所以eg（6分）

（2）由已知，得;absinC=苧.

又C=1,所以ab=6.（8分）

由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.

故a2+b2=13,從而出+?=25.（10分）

所以4ABC的周長為5+V7.（12分）

解后反思本題屬解三角形問題中的常見題型，要先利用正弦、余弦定理，將已知中的“邊"

或“角”的關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為只有“邊”或只有“角”的方程形式，進(jìn)而通過三角函數(shù)或代數(shù)

知識求解方程.解題中要注意三角形的一些性質(zhì)應(yīng)用，例如:sin（A+B）=sinC,S^^absinC.

評析本題重點(diǎn)考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，同時，對三角恒等變換的公式

也有所考查.在解題過程中，要注意先將已知條件中的“邊”與“角”的關(guān)系，通過正弦定理

轉(zhuǎn)化為“角”之間的關(guān)系,再運(yùn)用三角函數(shù)知識求解.

26.（2016浙江理，16,14分）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.

(1)證明:A=2B;

2

(2)若4ABC的面積S^,求角A的大小.

解析(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,

故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,

于是sinB=sin(A-B).

又A,B￡(0,冗)，故0<A-B<所以,B二--(A-B)或B=A-B,

因此A二人(舍去)或A=2B,

所以,A=2B.

2,]2,,1

(2)由S=~1得/bsinC=~j-,故有sinBsinC=jsin2B=sinBcosB,

因sinB#0,得sinC=cosB.

又B,CW(0,n),所以c或士B.

當(dāng)B+C=yB'f,A=y；

當(dāng)C-B=1時,A4

綜上,或A=y.

思路分析(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式將已知條件轉(zhuǎn)化為NA與NB的三角函數(shù)關(guān)

系,利用A,B的范圍誘導(dǎo)公式得出/A與NB的關(guān)系；

(2)利用三角形的面積公式將已知條件轉(zhuǎn)化為/C與NB的三角函數(shù)關(guān)系,再由NB,ZC的范

圍及誘導(dǎo)公式求NA的大小.

評析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，同時考查

運(yùn)算求解能力.

27.(2015課標(biāo)H理，17,12分)Z\ABC中，D是BC上的點(diǎn),AD平分/BAC,Z\ABD面積是aADC面

積的2倍.

⑴求一

sinZ

(2)若AD=1,DC=y,求BD和AC的長.

解析(DSAAM4AB?ADsinZBAD,

SAMI所;AC,ADsinZCAD.

因?yàn)镾AAMFZSAABC,ZBAD=ZCAD,所以AB=2AC.

由正弦定理可得當(dāng)一~3

sinZ2

(2)因?yàn)镾A?：SAADC=BD:DC,所以BD=V2.

在aABD和4ADC中，由余弦定理知

AB2=AD2+BD2-2AD?BDcosZADB,

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC.

故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

由⑴知AB=2AC,所以AC=1.

評析本題考查正弦定理,余弦定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式.屬常規(guī)題，中等偏易.

28.(2015課標(biāo)I文,17,12分)已知a,b,c分別為aABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sintuZsinAsinC.

(1)若a=b,求cosB;

⑵設(shè)B=90°,且a=V2,求4ABC的面積.

解析(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.

又a=b,可得b=2c,a=2c.

由余弦定理可得cosB=———=；.(6分)

(2)由(1)知b?=2ac.

因?yàn)锽=90°，由勾股定理得a、c2=b2.

故a2+c2=2ac,得c=a=V2.

所以aABC的面積為1.(12分)

評析本題考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法，屬容易題.

29.(2015浙江理，16,14分)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知

A喙b2-a24c2.

(1)求tanC的值；

(2)若4ABC的面積為3,求b的值.

解析⑴由及正弦定理得sin2B-^sin2C,所以-cos2B二sin2c.

又由A=Y，即B+C=^n,得-cos2B=sin2c=2sinCcosC,

解得tanC=2.

(2)由tanC=2,CW(0,n)得sinC=竺,cosC=*.

55

又因?yàn)閟inB=sin(A+C)=sin(：+C),所以sinB二號會.

由正弦定理得C岑b,

又因?yàn)锳=^-,|bcsinA=3,所以bc=62,故b=3.

評析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力.

30.(2015山東理，16,12分)設(shè)f(x)=sinxcosx-cos,(+：)?

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f(v)=0,a=l,求aABC面積的最大值.

解析⑴由題意知f(x)普一"(:妗)

sin2l-sin2.1

=------——=s1n2nx--.

222

由_1+2kJIW2xW；+2kJi,keZ,可得一2+knWxW二+kn,kCZ;

2244

由]+2kJiW2xW?+2kn.kSZ,可得:+knWxW；+kn,k￡Z.

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是卜;+k貝，；+kn拄CZ);

單調(diào)遞減區(qū)間是R+kn,?+kn](kGZ).

(2)由f(萬卜sinA-g=0,得sinA=1,

由題意知A為銳角，所以cosA=^.

由余弦定理a=b2+c2-2bccosA,

可得l+V3bc=b2+c2>2bc,

即bc<2+V3,且當(dāng)b=c時等號成立.

因此gbcsinAW3處.

所以aABC面積的最大值為竽.

評析本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及解三角形等基礎(chǔ)知識和基本方

法,對運(yùn)算能力有較高要求.屬中等難度題.

31.(2015陜西理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,“b)與

n=(cosA,sinB)平行.

⑴求A;

(2)若b=2,求AABC的面積.

解析(1)因?yàn)閙〃n,所以asinB-V3bcosA=0,

由正弦定理,得sinAsinB-V3sinBcosA=0,

又sinBWO,從而tanA=VX

由于O〈A〈n,所以A=g.

(2)解法一：由余弦定理,得a2=b：'+c2-2bccosA,

及a=V7,b-2,

得7=4+C2-2C,即C2-2C-3=0,

因?yàn)閏>0,所以c=3.

故AABC的面積為樂csinA考.

解法二：由正弦定理,得￡=士，

sin-r-sin

從而sinB當(dāng)，

又由a>b,知A>B,所以cosB=^.

故sinC=sin(A+B)=sin(+￡)

=sinBcos^+cosBsi

所以aABC的面積為%bsinC考.

32.(2014課標(biāo)II文，17,12分)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2.

(1)求C和BD;

(2)求四邊形ABCD的面積.

解析(1)由題設(shè)及余弦定理得

BD=BC2+CD-2BC?CDcosC

二13T2cosC,①

BD2=AB2+DA2-2AB?DAcosA

=5+4cosC.②

由①,②得cosC=g,故C=60°,BD=V7.

(2)四邊形ABCD的面積

S=；AB?DAsinA+iBC?CDsinC

=Qx1x2+；x3x2）sin60。

=2V3.

評析本題考查余弦定理的應(yīng)用和四邊形面積的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化的思想,把

四邊形分割成兩個三角形是求面積的常用方法.

33.（2014浙江理，18,14分）在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

a^b,c=V3,cos'A-cos2B=V3sinAcosA~\/3sinBcosB.

（1）求角C的大?。?/p>

（2）若sin/\4求AABC的面積.

D

解析（1）由題意得

l+cos2l+cos2V3.V3.

-------二5s1nn2AA-ysin2oBn,

CPysin2A-^cos2A=ysin2B-|cos2B,

sin（2-f）=sin（2-1）.

由a#b,得A#B,又A+BG（0,n）,得

2A-1+2B-1=n,

即A+B號，

所以cq-.

（2）由（1）及c=V3,sinA=2,--=--,得a士

5smsin5

由a<c,得A<C.從而cosA=^,

故sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC--4-^,

所以，AABC的面積為S=|acsinB二空3

評析本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面積公式等

基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力.

34.（2013課標(biāo)H理,17,12分）/XABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

⑴求B;

⑵若b=2,求AABC面積的最大值.

解析(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinC-sinB.①

又A=n-(B+C),

故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②

由①②和CW(0,冗)得sinB=cosB.

又B￡(0,五)，所以

(2)AABC的面積S=1acsinB=Yac.

由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos4-

又a2+c2^2ac,故acW六，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立.

因此aABC面積的最大值為調(diào)+1.

35.(2012課標(biāo)理，17,12分)已知a,b,c分別為AABC三個內(nèi)角A,B,C的對

邊，acosC+V3asinC-b-c=0.

⑴求A;

(2)若a=2,AABC的面積為質(zhì),求b,c.

解析(1)由acosC+V3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+V3sinAsinC-sinB-sinC=0.

因?yàn)锽=n-A-C,所以V5sinAsinC-cosAsinOsinC=0.

由于sinC#0,所以sin(-看片

又0<A<Jt，故A《.

(2)AABC的面積S=|bcsinA=V3,故bc=4.

而a"=b*+c-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.

評析本題考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.靈活運(yùn)用正、余弦定理是求

解關(guān)鍵.

考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用

1.(2020課標(biāo)III文，11,5分)在4ABC中，cosC^,AC=4,BC=3,則tanB=()

A.V5V5V5V5

答案C解法一：由余弦定理及cosC4,AC=4,BC=3,知AB=3,于是cosB=普號1>0,所以

sinB=^,所以tanB=4倔故選C.

解法二：作BD1AC于D,由cosC=1,BC=3,知CD=2,即D為邊AC的中點(diǎn)，所以三角形ABC是等

腰三角形，且BD=V^,

o2x-^._

于是tan-故tanB二一魯4痣，故選C.

2Vo

2.（2019課標(biāo)I文，H,5分）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知

asinA-bsinB=4csinC,cosA=--,貝ij—二()

4

答案A本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用；考查考生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解

能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理.

由正弦定理及asinA-bsinB=4csinC得a2-b2=4c：;,由余弦定理可得cosA=―---------

224

所以一二6.故選A.

3.(2017課標(biāo)I文,11,5分)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知

sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=V2,貝ijC=()

答案B本題考查正弦定理和兩角和的正弦公式.

在AABC中，sinB=sin(A+C),則sinB+sinA(sinC-cosC)

=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,

EPsinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

cosAsinC+sinAsinC=0,VsinC^O,.'.cosA+sinA=0,即tanA=-l,即A—Ji.

又O<c<p故選B.

方法總結(jié)解三角形問題首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次還要注意應(yīng)用三角形內(nèi)角和

定理，以達(dá)到求解三角函數(shù)值時消元的目的，例如本題中sinB=sin（A+C）的應(yīng)用.

4.（2014四川文,8,5分）如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為

75°,30°,此時氣球的高是60m,則河流的寬度BC等于（）

60m

A.240(73-DmB.180(V2-l)m

C.120(V3-l)mD.30(V3+l)m

答案C如圖，ZACD=30°,ZABD=75°,AD=60m,在RtAACD中，CD=--------=6°~60>/3ni,

tanZtan30

在RtAABD

中,BD=---------叱-060=6。(2-8)m,BC=CD-BD=60V3-60(2-V3)=120(V3-Dm.

tanZtan752+v3

A30°

呼…

60m；\、、、

nRc

5.(2018課標(biāo)I文，16,5分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

bsinC+csinB=4asinBsinC,b'+c2-a'=8,UlijAABC的面積為.

答案等

解析本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用以及三角形面積的求解.

由已知條件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinA,sinBsinC,易知sinBsinC^O,.,.sinA=^,又

22244

b+c-a=8,/.cosA=~------■>cosA>0,/.COSA=Y?即-bc=^f

???AABC的面積S=|bcsinA-X苧X：畔.

乙乙J4J

解題關(guān)鍵正確利用正弦定理將“邊”轉(zhuǎn)化為“角”，求出sinA是解決本題的關(guān)鍵.

6.(2017浙江,14,5分)已知AABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則

△BDC的面積是,cosZBDC=.

分案逗.叵

口樂214

解析本題考查余弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,二倍角公式,三角形面積公式,考查

運(yùn)算求解能力.

2J.R2-A2j

VAB=AC=4,BC=2,AcosZABC=——--

2,,4

VZABC為三角形的內(nèi)角，...sin/ABC岑，

4

AsinZCBD=—,故SACBD4X2X2X-.

4242

VBD=BC=2,AZABC=2ZBDC.又cosZABC-,

4

.\2COS2ZBDC-14,得COS2ZBDC=^,

48

又NBDC為銳角，；.cosNBDC上工

4

7.(2015課標(biāo)I理，16,5分)在平面四邊形ABCD中,ZA=ZB=ZC=75°,BC=2,則AB的取值范

圍是.

答案(傷-2,V6+V2)

解析依題意作出四邊形ABCD,連接BD.令BD=x,AB=y,ZCDB=a,NCBD=8.在ABCD中，由正

弦定理得」由題意可知，ZADC=135°,則NADB=135°-a.在^ABD中，由正弦定理

sinsm75

得sin75°~sin(135°-)*所以sin(135。-廠sin，即

2sin(1350-)2sin[900-(-45°)]2cos(-45°)播(cos+sin)

y=--------------------=----------------------------=------------------=----------------------.

sinsinsinsin

因?yàn)?°<3<75°,a+B+75°=180°,所以30°<a<105°,

當(dāng)a=90°時，易得y=&;

當(dāng)a#90。時，y=回竺±13=75(―+1\

1

又tan30°=4,tanl05°=tan(60°+45°)=:儂；"=：：=-2-禽,結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)

3l-tan60tan45

知,—e(V3-2,V3),且，W0,所以y=V2f—+1)e(&-夜,北)U(夜,V6+V2).

tantan\tan/

綜上所述:ye(V6~\/2,V6+V2).

評析本題考查了三角函數(shù)和解三角形.利用函數(shù)的思想方法是求解關(guān)鍵,屬偏難題.

8.(2015重慶理，13,5分)在AABC中，B=120°,AB=V2,A的角平分線AD=V3,則

AC=.

答案V6

解析依題意知NBDA=/C+：NBAC,由正弦定理得—,.,.sinfz+

2sinZsin\

|ZBAC）=^,

VZC+ZBAC=180°-ZB=60°,AZC+|ZBAC=45°,

Z.ZBAC=30°,ZC=30°.從而AC=2?ABcos30°=V6.

9.（2015湖北,理13,文15,5分）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測

得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°

的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.

答案100通

解析依題意有AB=600,ZCAB=30°,

ZCBA=180°-75°=105°,ZDBC=30°,DC±CB.

；.NACB=45",

在^ABC中，由第

sinZ

得6。0=----------

sin45°sin30°,

有CB=300V2,

在RtABCD中，CD=CB?tan300=100通，

則此山的高度CD=100V6m.

10.（2014課標(biāo)I理,16,5分）如圖,為測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn).

從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角NMAN=60°,C點(diǎn)的仰角NCAB=45°以及NMAC=75°;從C點(diǎn)測得

NMCA=60°.已知山高BC=100m,則山高M(jìn)N=m.

答案150

解析在Rtz2sABC中，/CAB=45°,BC=100m,所以AC=100匹m.

在△AMC中，NMAC=75°，/MCA=60°,從而NAMC=45°,

由正弦定理得，.心-.小。,因此AM=100V3m.

在RtAMNA^,AM=100V3m,ZMAN=60°,

由一=sin60°得MN=100gx4150(11,故填150.

11.(2011課標(biāo)理,16,5分)在AABC中，B=60°,AC=V3,則AB+2BC的最大值為.

答案2中

解析設(shè)AC=b=V3,AB=c,BC=a,

在4ABC中，一?一——----2,

sinsinsin

Aa=2sinA,c=2sinC,KA+C=120°,

AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA

=2sinC+4sin(120°-C)

=4sinC+2V3cosC=2V7sin(C+4)),

具中sin(l)=-^,cos4)=—

/.4)G(30°,60°)，而C￡(0°,120°),J6+C￡(30°,180°)，當(dāng)C+6=90°時，AB+2BC有

最大值2小.

評析本題主要考查正弦定理的應(yīng)用及三角函數(shù)性質(zhì)和公式的應(yīng)用，熟練掌握定理、公式和

三角函數(shù)的性質(zhì)是正確解題的關(guān)鍵.

12.(2020課標(biāo)I文,18,12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知B=150°.

(1)若a=“c,b=2V7,求AABC的面積；

⑵若sinA+V3sinC=y,求C.

解析(1)由題設(shè)及余弦定理得28=31+(?-2*V5c,XcoslSO。.

解得Ci=-2(舍去)，C2=2,從而a=2>/3.

△ABC的面積為gx2%X2Xsinl50°=<3.

(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以

sinA+V3sinC=sin(30°-C)+V3sinC=sin(30°+C).故sin(30°+C)=r.

而0。<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.

13.(2020江蘇，16,14分)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=3,c=V2,B=45".

(1)求sinC的值；

(2)在邊BC上取一點(diǎn)D,使得cos/ADC=W求tan/DAC的值.

D

解析本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函

數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力.

⑴在△ABC中，因?yàn)閍=3,c=V2,B=45°,

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得l/=9+2-2X3X伍os45°=5,所以b=V5.

在4ABC中，由正弦定理一=一

smsm

得一條所以sinC^.

sin45sm5

(2)在4ADC中，因?yàn)閏os/ADC=C，所以/ADC為鈍角,

而NADC+NC+NCAD=180°,所以NC為銳角，

故cosO41-sin2c二竺,則tanC=出一二：,

5cos2

因?yàn)閏osNADO」,所以sinZADC=V1-cos2ZADC=",

55

tanNADOsinZ3

cosZT

44_2

從而tanNDAC=tan(1800-ZADC-ZC)=-tan(ZADC+ZC)=-tanZ+tan

1-tanZ,tanwr斤

14.(2018天津,理15,文16,13分)在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.己知

bsinA=acos(-yj.

(D求角B的大?。?/p>

(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.

解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦

與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力.

(1)在4ABC中，

由正弦定理--=--，可得bsinA=asinB,

又由bsinA=acos一：),得asinB=acos(-7)'

即sinB二cos(-可得tanB=VS.

又因?yàn)锽e(0,n),可得B三?.

(2)在△ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=g,

有b2=a2+c;!-2accosB=7,故b=V7.

由bsinA=acos(一亍)，可得sinA=^.

因?yàn)閍<c,故cosA=^.

因此sin2A=2sinAcosA=^~,cos2A=2cosJA-l=1.所

IU,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=^XX*號.

解題關(guān)鍵(1)利用正弦定理合理轉(zhuǎn)化bsinA=acos(-9)是求解第(1)問的關(guān)鍵；

(2)由余弦定理及已知條件求得sinA,利用a<c確定cosA>0是求解第(2)問的關(guān)鍵.

失分警示(D由于忽略a<c這一條件,從而導(dǎo)致cosA有兩個值,最終結(jié)果出現(xiàn)增解;

(2)由于不能熟記二倍角公式以及兩角差的正弦公式,從而導(dǎo)致結(jié)果出錯.

15.(2018北京理，15,13分)在AABC中,a=7,b=8,cosB="1.

⑴求A;

(2)求AC邊上的高.

解析⑴在△ABC中，因?yàn)閏osB=-；,所以BG(5，11)，所以sinB=，l-cos2B=^.

由正弦定理得sinA—^

因?yàn)锽e(-,n),

所以AG(0,3),所以4參

(2)SAABC中,sinC=sin(A+B)=sinf+1)=：sinB+fcosB=型，

三角形ABC的面積SAABc=jabsinC=6V3,

設(shè)AC邊上的高為h,

貝ljSAABc^bh=1x8?h=6通,

所以h考,

即AC邊上的高為竽.

方法總結(jié)處理解三角形相關(guān)的綜合題目時.，首先要掌握正弦、余弦定理,其次結(jié)合圖形分析

哪些邊、角是已知的，哪些邊、角是未知的，然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程，最后通

過解方程求出邊或角.

16.（2017天津理，15,13分）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

a>b,a=5,c=6,sinB上

（1）求b和sinA的值；

（2）求sin（2+?）的值.

解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦公式，兩角和的正弦公

式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)算求解能力.

（1）在AABC中，因?yàn)閍>b,故由sinB=1,可得cosB=|.由已知及余弦定理,有

55

b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=VT3.

由正弦定理——得sinA=3二=萼.

sinsin13

所以,b的值為JR,sinA的值為警.

（2）由（1）及a<c,得cosA等，

所以sin2A=2sinAcosA*,cos2A=l-2sin2A=一.

故sin（2+2）二sin2AcosZ+cos2Asin2二坐.

方法總結(jié)1.利用正、余弦定理求邊或角的步驟：（1）根據(jù)已知的邊和角畫出相應(yīng)的圖形，并

在圖中標(biāo)出；（2）結(jié)合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解；（3）在運(yùn)算和求解過程中注意三

角恒等變換和三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用.

2.解決三角函數(shù)及解三角形問題的滿分策略：（1）認(rèn)真審題,把握變形方向；（2）規(guī)范書寫,合

理選擇公式；（3）計(jì)算準(zhǔn)確,注意符號.

17.（2017天津文，15,13分）在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知

asinA=4bsinB,ac=V5（aJ-b2-c2）.

⑴求cosA的值；

⑵求sin（2B-A）的值.

解析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦、余弦公式、兩角差的正弦公

式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)算求解能力.

(1)由asinA=4bsinB,及^~~=——,得a=2b.

sinsin

由ac=V5(a2-b2-c2),

及余弦定理，得cosA=2-2-ydC—

20

(2)由(1),可得sinA=萼代入asinA=4bsinB,

5

得sinBQ^屋.

45

由⑴知,A為鈍角，所以COSBW1-si/B二孚.

于是sin2B=2sinBcosB=4,cos2B=l-2sin2B=r,

55

故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=-X(-三)-2><空^=-逋.

5\57555

規(guī)律總結(jié)解有關(guān)三角形問題時應(yīng)注意：

(1)在解有關(guān)三角形的題目時,要有意識地考慮用哪個定理更適合或兩個定理都要用，要抓住

能夠利用某個定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定

理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式,要考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要

考慮到兩個定理都有可能用到.(2)解三角形問題時應(yīng)注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的

范圍.

18.(2016北京理，15,13分)在AABC中，a2+c2=b2+V2ac.

(1)求/B的大小；

(2)求方cosA+cosC的最大值.

解析⑴由余弦定理及題設(shè)得cosB=:「二―

又因?yàn)?<ZB<n,

所以/B=；.(6分)

4

⑵由⑴知NA+NC當(dāng).

4

V2cosA+cosC=V2cosA+cos^^--Aj

=V2cosA-ycosA+YSinA

V2.A

=-cosA+—sinA

22

=cos(_?).(11分)

因?yàn)?<NA<W，

4

所以當(dāng)NAW?時,V2cosA+cosC取得最大值1.(13分)

4

思路分析第(1)問條件中有邊的平方和邊的乘積,顯然用余弦定理求解.第(2)問用三角形

內(nèi)角和定理將原三角函數(shù)式化為只含一個角的三角函數(shù)式,再注意角的取值范圍，問題得解.

評析本題考查余弦定理,三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì).屬中檔題.

19.(2016山東