數(shù)字圖像處理第三章圖像變換

數(shù)字圖像處理第三章圖像變換第1頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2第三章圖像變換第2頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.1概述

3.2一維離散傅里葉變換重點(diǎn)3.3一維快速傅里葉變換3.4二維離散傅里葉變換重點(diǎn)第3章圖像變換3.5離散余弦變換第3頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月第3章圖像變換

3.6沃爾什變換和哈達(dá)瑪變換（自學(xué)）

3.7

霍特林變換（自學(xué)）3.8拉東變換（自學(xué)）第4頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月53.1概述第5頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月6空間域表示法變換域表示法空間域處理法（或稱空域法）頻域法（或稱變換域法）圖像表示法圖像處理法第6頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月基于變換的圖像處理與分析圖像變換技術(shù)新空間中的圖像表達(dá)（r,u,v）新圖像特征在新空間進(jìn)行處理圖像重建處理后的圖像模式分析原空間輸入圖像（R,x,y）第7頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月83.2一維離散傅里葉變換第8頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月9離散傅里葉變換有限長序列變換核

定義

第9頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月10離散傅里葉變換矩陣形式

第10頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月11離散傅里葉變換例第11頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月12離散傅里葉變換例…第12頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月13離散傅里葉變換的性質(zhì)線性

如果則第13頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月14離散傅里葉變換的性質(zhì)對(duì)稱性

如果則第14頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月15離散傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)移性

如果則第15頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月16離散傅里葉變換的性質(zhì)頻移性

如果則第16頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月17離散傅里葉變換的性質(zhì)卷積定理

如果則第17頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月18離散傅里葉變換的性質(zhì)相關(guān)定理

如果則第18頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月19離散傅里葉變換的性質(zhì)帕斯瓦爾定理

如果則第19頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月203.3一維快速傅里葉變換

第20頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月21基本思想變換矩陣第21頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月22基本思想變換矩陣元素③對(duì)稱性②周期性①不必乘第22頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月23基本思想由變換矩陣元素可見，利用矩陣元素的周期性與對(duì)稱性之后，變換矩陣中許多元素相同。換言之，變換矩陣與輸入信號(hào)相乘過程中存在著不必要的重復(fù)計(jì)算。利用變換矩陣元素的周期性與對(duì)稱性，合理安排（即避免）重復(fù)出現(xiàn)的相乘運(yùn)算，就能顯著減少計(jì)算工作量。改進(jìn)DFT的關(guān)鍵第23頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月24一維FFTFFT重要環(huán)節(jié)重新安排計(jì)算次序矩陣分解第24頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月25一維FFT重新安排計(jì)算次序設(shè)N=2n，經(jīng)過n步計(jì)算后，其結(jié)果為fn(k)=F(l)其中k的二進(jìn)制表示為第25頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月26一維FFT矩陣分解當(dāng)N=2n，將變換矩陣分解成n個(gè)矩陣，使每個(gè)矩陣中每一行僅含有兩個(gè)非零元素。有兩種分解方法：一種是按時(shí)間分解一種是按頻率分解下面僅介紹按時(shí)間分解的FFT算法第26頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月27一維FFT矩陣分解u和x的二進(jìn)制表示為第27頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月28一維FFT矩陣分解N=8=23

第28頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月29一維FFT矩陣分解N=8=23

第29頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月30一維FFT矩陣分解矩陣表示第30頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月31一維FFT矩陣分解矩陣表示第31頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月32一維FFT矩陣分解矩陣表示第32頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月33一維FFTFFT流程圖N=8時(shí)FFT流程圖

第33頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月34一維FFTFFT流程圖(1)整個(gè)流程需要的計(jì)算步數(shù)為n=log2N(N=2n)；(2)在第r步計(jì)算中，要乘的因子為(3)第r步計(jì)算中有2r-1個(gè)組，每組有（N/2r-1）個(gè)元素，每組的W因子各不相同，且每組只有一種類型的W因子，此因子在組中上一半為正，下一半為負(fù)。第34頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月35一維FFTFFT流程圖(4)對(duì)比DFT與IDFT的定義式，只要將上述FFT算法中W因子用其共軛代替，并將最后結(jié)果乘以1/N，就是計(jì)算IDFT即離散傅里葉反變換的快速算法。(5)在每步計(jì)算中，需要的乘法次數(shù)N/2，加法次數(shù)為N，因此FFT的總計(jì)算量為：乘法次數(shù)為

加法次數(shù)為而直接計(jì)算DFT的計(jì)算量為：乘法次數(shù)為N2，加法次數(shù)為N(N-1)。當(dāng)N=2048時(shí)，DFT需要4194304次乘法運(yùn)算，而FFT只需要11264次乘法運(yùn)算，二者之比為第35頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月363.4二維離散傅里葉變換

第36頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月37二維DFTMN圖像正變換核反變換核第37頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月38二維DFTF(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)幅度譜相位譜功率譜第38頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月39二維DFT性質(zhì)分離性

第39頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月40二維DFT性質(zhì)線性

如果則第40頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月41二維DFT性質(zhì)周期性與共軛對(duì)稱性

如果則第41頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月42二維DFT性質(zhì)位移性

如果則第42頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例對(duì)一副圖進(jìn)行傅里葉變換，求出其頻譜圖，然后利用平移性質(zhì)，在原圖的基礎(chǔ)上乘以求傅里葉變換的頻譜圖。

（a）原圖（b）頻譜圖（c）中心移到零點(diǎn)的頻譜圖圖二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖（結(jié)果看下）

二維DFT性質(zhì)位移性

第43頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月44二維DFT性質(zhì)尺度變換

如果則第44頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例】比例尺度展寬。（a）原始圖像（b）比例尺度展寬前的頻譜（c）比例尺度a=0.1，b=1，展寬后的頻譜二維DFT性質(zhì)尺度變換

第45頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月46二維DFT性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性

如果則第46頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月

（a）原始圖像（b）原圖像的傅（c）旋轉(zhuǎn)后的圖像（d）旋轉(zhuǎn)后圖像的里葉頻譜傅里葉頻譜上例表明，對(duì)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度對(duì)應(yīng)于將其傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)相同的角度。

二維DFT性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性

第47頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月48二維DFT性質(zhì)平均值

u=v=0第48頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月49二維DFT性質(zhì)卷積

如果則第49頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)的應(yīng)用

1）頻譜的圖像顯示

DFT在計(jì)算機(jī)圖像處理中計(jì)算的中間過程和結(jié)果要圖像化。對(duì)DFT來講不但f(x,y)是圖像,F(u,v)也要用圖像來顯示其結(jié)果。譜圖像就是把|F(u,v)|作為亮度顯示在屏幕上。但在傅里葉變換中F(u,v)隨u,v的衰減太快，其高頻項(xiàng)只看到一兩個(gè)峰，其余皆不清楚。由于人的視覺可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示效果，即為了顯示這個(gè)頻譜，可用下式處理，設(shè)顯示信號(hào)為D(u,v),2023/7/13二維DFT性質(zhì)第50頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月

即用顯示D(u,v)來代替只顯示|F(u,v)|不夠清楚的補(bǔ)救方法。譜的顯示加深了對(duì)圖像的視覺理解。如一幅遙感圖像受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可指出干擾的空間頻率并可方便地從頻域去除。如圖4.7為圖像的傅里葉頻譜圖像2023/7/13二維DFT性質(zhì)第51頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/13圖4.7圖像的傅里葉頻譜圖像，原始圖像，(b)頻譜直接顯示，(c)頻譜經(jīng)過變換后的結(jié)果(b)(c)a.a.二維DFT性質(zhì)第52頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2.頻譜圖像的移中顯示常用的傅里葉正反變換公式都是以零點(diǎn)為中心的公式，其結(jié)果中心最亮點(diǎn)卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù)其中心最亮點(diǎn)將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的零點(diǎn)移到顯示的中心。當(dāng)周期為N時(shí)，應(yīng)在頻域移動(dòng)N/2。利用DFT的平移性質(zhì)，先把原圖像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再進(jìn)行傅里葉變換，其結(jié)果譜就是移N/2的F(u,v)。圖4-8所示。應(yīng)當(dāng)注意，顯示是為了觀看，而實(shí)際F(u,v)數(shù)據(jù)仍保留為原來的值。2023/7/13二維DFT性質(zhì)第53頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/13圖4.8頻譜圖像的移中顯示(a)未移至中心的頻譜圖像，(b)移至中心后的頻譜圖像(a)(b)4.1.2離散傅里葉變換第54頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月55二維FFT基于二維離散傅里葉變換的分離性，二維離散FFT算法可以用兩個(gè)一維FFT算法來實(shí)現(xiàn)第55頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月56二維FFT第56頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/13圖

二維傅里葉變換的頻譜分布

二維FFT第57頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/13

數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布和統(tǒng)計(jì)特性

1)數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布數(shù)字圖像的二維離散傅里葉變換所得結(jié)果的頻率成分如上圖所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個(gè)角的周圍對(duì)應(yīng)于低頻成分，中央部位對(duì)應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的中央，可采用圖示的換位方法，根據(jù)傅里葉頻率位移的性質(zhì)，只需要用f(x，y)乘上因子進(jìn)行傅里葉變換即可實(shí)現(xiàn)，變換后的坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到了窗口中心，圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻。二維FFT第58頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/13圖4.11頻率位移示例二維FFT第59頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/13

上圖為二維離散傅里葉變換的頻率位移特性。圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對(duì)中心點(diǎn)是共軛對(duì)稱的，利用這個(gè)特性，在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸時(shí)，僅存儲(chǔ)和傳輸它們中的一部分，進(jìn)行逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對(duì)稱性補(bǔ)充另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。

二維FFT第60頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2）圖像傅里葉變換的統(tǒng)計(jì)分布（1）傅里葉變換后的零頻分量F（0，0），也稱作直流分量，根據(jù)傅里葉變換公式有：

它反映了原始圖像的平均亮度。

二維FFT第61頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/13（2）對(duì)大多數(shù)無明顯顆粒噪音的圖像來說，低頻區(qū)集中了85％的能量，這一點(diǎn)成為對(duì)圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)，如變換后僅傳送低頻分量的幅值，對(duì)高頻分量不傳送，反變換前再將它們恢復(fù)為零值，就可以達(dá)到壓縮的目的。（3）圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)它變換后的低頻分量部分；圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域，對(duì)應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外，圖像細(xì)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻分量特征。二維FFT第62頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月63Matlab實(shí)現(xiàn)fft函數(shù)一維DFTfft2函數(shù)二維DFTfftn函數(shù)N維DFTifft函數(shù)一維IDFTifft2函數(shù)二維IDFTifftn函數(shù)N維IDFT

快速傅里葉變換函數(shù)第63頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月Matlab實(shí)現(xiàn)例%建立簡單圖像d并顯示之d=zeros(32,32);%圖像大小32*32d(13:20,13:20)=1;%中心白色方塊大小為8*8figure(1);%建立圖形窗口1imshow(d,'notruesize');%顯示圖像d如圖3.5所示%計(jì)算傅里葉變換并顯示之D=fft2(d);%計(jì)算圖像d的傅里葉變換，fft2(d)=fft(fft(d).').'figure(2);%建立圖形窗口2imshow(abs(D),[-1,5],'notruesize');%顯示圖像d的傅里葉變換譜如圖3.5(b)所示第64頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月Matlab實(shí)現(xiàn)例DF=fftshift(D);figure(3);imshow(log(abs(DF)),[-15],'notruesize');第65頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月66Matlab實(shí)現(xiàn)

例簡單圖像傅里葉變換譜對(duì)數(shù)傅里葉變換譜傅里葉變換中心譜第66頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月figure(1)A=imread('image1.jpg')%裝入真彩圖像，見圖1.1（b）B=rgb2gray(A)%將真彩圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像imshow(B)%顯示灰度圖像如圖3.7（a）所示C=fftshift(fft2(B))%計(jì)算傅里葉變換并移位figure(2)imshow(log(abs(C)),[])%顯示傅里葉變換譜如圖3.7（b）所示Matlab實(shí)現(xiàn)例第67頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月68Matlab實(shí)現(xiàn)

例風(fēng)景圖像傅里葉變換中心譜第68頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月693.5離散余弦變換

第69頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月70一維DCT第70頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月將變換式展開整理后，可以寫成矩陣的形式，即F=Gf其中

一維DCT第71頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月72一維FDCT利用FFT的快速算法基于代數(shù)分解的快速算法第72頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月73一維FDCT利用FFT的快速算法余弦變換核實(shí)際上就是傅里葉變換核的實(shí)部。而變換計(jì)算中的乘法運(yùn)算就是f(x)與變換核的乘法運(yùn)算。一種自然的想法就是先對(duì)f(x)執(zhí)行FFT，然后對(duì)其取實(shí)部就可以了第73頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月74一維FDCT基于代數(shù)分解的快速算法與FFT類似，利用代數(shù)分解的FDCT就是利用余弦函數(shù)的周期性以及正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)合理安排計(jì)算次序來實(shí)現(xiàn)的。第74頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月75一維FDCT基于代數(shù)分解的快速算法第75頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月76一維FDCT基于代數(shù)分解的快速算法第76頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月77二維DCT由于二維離散余弦變換的可分離性，二維DCT可以用一維DCT來實(shí)現(xiàn)

第77頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月

通常根據(jù)可分離性，二維DCT可用兩次一維DCT來完成，其算法流程與DFT類似，即二維DCT第78頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月要注意的是二維DCT的頻譜分布，其譜域分布與DFT相差一倍，如圖1-1所示。從圖中可以看出，對(duì)于DCT而言，(0,0)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于頻譜的低頻成分，(N-1,N-1)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于高頻成分，而同階的DFT中，(N／2,N／2)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于高頻成分（注：此頻譜圖中未作頻譜中心平移）。由于DFT和IDFT已有快速算法FFT和IFFT，因此可用它們實(shí)現(xiàn)快速DCT和IDCT算法FCT及IFCT。不過，由于FFT及IFFT中要涉及到復(fù)數(shù)運(yùn)算，因此這種FCT及IFCT算法并不是最佳的。二維DCT第79頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月圖1-1DFT和DCT的頻譜分布（a）DFT頻譜分布；（b）DCT頻譜分布二維DCT第80頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月81Matlab實(shí)現(xiàn)RGB=imread('image2.jpg');%裝入真彩圖像figure(1);imshow(RGB);%顯示彩色圖像GRAY=rgb2gray(RGB);%將真彩圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像figure(2);imshow(GRAY);%顯示灰度圖像DCT=dct2(GRAY);%進(jìn)行余弦變換figure(3);imshow(log(abs(DCT)),[]);%顯示余弦變換例第81頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月82Matlab實(shí)現(xiàn)

原圖像余弦變換例第82頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月細(xì)節(jié)較少圖片的傅立葉變換和離散余弦變換第83頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月細(xì)節(jié)中等圖片的傅立葉變換和離散余弦變換第84頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月細(xì)節(jié)較多圖片的傅立葉變換和離散余弦變化第85頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月86應(yīng)用離散余弦變換在圖像壓縮中具有廣泛的應(yīng)用例如，在JPEG圖像壓縮算法中，首先將輸入圖像劃分為88的方塊，然后對(duì)每一個(gè)方塊執(zhí)行二維離散余弦變換，最后將變換得到的量化的DCT系數(shù)進(jìn)行編碼和傳送，形成壓縮后的圖像格式。在接受端，將量化的DCT系數(shù)進(jìn)行解碼，并對(duì)每個(gè)88方塊進(jìn)行二維IDCT，最后將操作完成后的塊組合成一幅完整的圖像。

第86頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月JPEG壓縮編碼的算法框架圖：

JPEG算法處理的彩色圖像是單獨(dú)的彩色分量圖像，因此它可以壓縮來自不同彩色空間的數(shù)據(jù)。第87頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月二、DCT在數(shù)字水?。╠igitalwatermarking）技術(shù)中的應(yīng)用

數(shù)字水印技術(shù)是將特定的信息嵌入到數(shù)字信息的內(nèi)容中,要求嵌入的信息不能被輕易的去除,在一定的條件下可以被提取出來,以確認(rèn)作者的版權(quán)。原始圖像原始水印圖像嵌入水印圖像恢復(fù)水印圖像應(yīng)用第88頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字水印有多種分類方法按照可視性：可見水印和隱形水?。话凑蒸敯粜裕捍嗳跣运『徒研运。话凑涨度敕椒ǎ嚎臻g域和變換域水?。话凑諜z測與提取方法分類：私有水印、半公開水印和公開水??；應(yīng)用二、DCT在數(shù)字水?。╠igitalwatermarking）技術(shù)中的應(yīng)用第89頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月原始圖像水印圖像DCT變換DCT變換DCT系數(shù)組合反DCT變換含水印的圖像基于DCT算法的數(shù)字水印產(chǎn)生原理待測圖像原始圖像水印提取提取的水印水印檢測水印嵌入框圖水印檢測框圖應(yīng)用第90頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月原圖及水印信息嵌入水印的圖及恢復(fù)的水印信息第91頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月923.6沃爾什和哈達(dá)瑪變換

第92頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月93離散沃爾什變換（略）第93頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月94離散哈達(dá)瑪變換一維離散哈達(dá)瑪變換

一維離散哈達(dá)瑪反變換

第94頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月95離散哈達(dá)瑪變換第95頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月96離散哈達(dá)瑪變換二維離散哈達(dá)瑪變換

二維離散哈達(dá)瑪反變換

第96頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月973.7霍特林變換

第97頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月98霍特林變換霍特林（Hotelling）變換是一種基于圖像統(tǒng)計(jì)特性的變換霍特林變換可直接用于對(duì)數(shù)字圖像的變換它在連續(xù)域?qū)?yīng)的變換是KL（Karhunen-Loeve）變換霍特林變換：特征值變換、主分量變換、離散KL變換第98頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月99霍特林變換N維隨機(jī)向量數(shù)學(xué)期