數(shù)學(xué)物理方程和定解條件

數(shù)學(xué)物理方程和定解條件第1頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月◆靜電勢和引力勢滿足的拉普拉斯方程◆波的傳播所滿足的波動方程◆熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題中的熱傳導(dǎo)方程◆描寫電磁場運(yùn)動變化的麥克斯韋方程組◆作為微觀物質(zhì)運(yùn)動基本規(guī)律的薛定諤方程和狄拉克方程第2頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月用數(shù)理方程研究物理問題的步驟：導(dǎo)出或?qū)懗龆ń鈫栴}求解定解問題討論解的適定性（存在性、唯一性、穩(wěn)定性），作物理解釋建立數(shù)理方程確定定解條件第3頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)理方程的建立：

將所研究的系統(tǒng)中的一小部分分割出來根據(jù)物理學(xué)的規(guī)律，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)這個(gè)規(guī)律（牛頓第二定律、能量守恒定律等）

化簡整理第4頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月定解條件初始條件：物理過程初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式

t的n階偏微分方程需要n-1個(gè)初始條件才能確立一個(gè)特解邊界條件：物理過程邊界狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式銜接條件：不同介質(zhì)組成的系統(tǒng)，在兩種不同介質(zhì)的交界處需要給定的條件第5頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月定解問題的求解方法形波法分離變量法積分變換法格林函數(shù)法保角變換法變分法第6頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三類定解問題方程+初始條件=初值問題方程+邊界條件=邊值問題積分變換法方程+初始條件+邊界條件=混合問題第7頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月第十二章數(shù)學(xué)物理方程和定解條件數(shù)學(xué)物理方法——第8頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月常微分方程

具有有限多個(gè)自由度的系統(tǒng)物理問題中的微分方程物理規(guī)律的數(shù)學(xué)描述偏微分方程

具有無限多個(gè)自由度的連續(xù)介質(zhì)或場描述對象以下導(dǎo)出常見的幾個(gè)數(shù)學(xué)物理方程第9頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月物理問題12.1弦的橫振動方程完全柔軟的均勻弦，沿水平直線繃緊后以某種方式激發(fā)，在鉛直平面內(nèi)作小振動，求弦的橫振動方程。

取弦的平衡位置為x軸，兩端分別為x

=0和x

=l，設(shè)u(x,

t)為弦上一點(diǎn)x在時(shí)刻t的橫向位移。如圖，弦上一小段dx兩端x和x

+dx處受到彈性力F的作用。第10頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月∵弦完全柔軟∴F=T

：切向應(yīng)力，無法向力

dx足夠小，可視為質(zhì)點(diǎn)，它在x方向及垂直方向上的動力學(xué)方程為：牛頓第二定律忽略了重力的作用均勻弦第11頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月方程變?yōu)椋杭葱≌駝酉覂啥说奈灰浦顄(x+dx,

t)

－u(x,

t)與dx相比是一個(gè)小量因此，在準(zhǔn)確到的一級項(xiàng)的條件下，（略去了的三級項(xiàng)）（略去了的二級項(xiàng)）方程化為：（弦中各點(diǎn)張力相等，T不隨x變化）第12頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月令，則a：弦的振動傳播速度（后面證明）第13頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月可以證明：小振動條件下，張力T與時(shí)間t無關(guān)。一小段弦的伸長：∵弦的總長度不隨時(shí)間變化由胡克定律知，引起弦長度變化的應(yīng)力T不隨時(shí)間變化，前面已證T不隨x變化∴T

是一個(gè)恒量第14頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)弦在橫向上受到外力作用時(shí)，有f：單位長度上所受的外力因此，非齊次項(xiàng)是單位質(zhì)量所受的外力第15頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月12.2桿的縱振動方程類似地處理?xiàng)U的縱振動方程

一根均勻細(xì)桿沿桿長方向作小振動，假設(shè)在垂直桿長方向的任一截面上各點(diǎn)的振動情況（即位移）完全相同，并且不考慮在垂直方向上相應(yīng)發(fā)生的形變。

取桿長方向?yàn)閤軸方向，垂直于桿長方向的截面均用它的平衡位置x標(biāo)記，在任一時(shí)刻t，此截面相對于平衡位置的位移為u(x,

t)，對于桿的一小段(x,x+dx)通過兩端截面所受到的彈性力分別為P(x,

t)S和P(x+dx,

t)S。如圖，其中P(x,t)為x處的截面在時(shí)刻t時(shí)，單位面積所受的彈性力。第16頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月若桿的密度為r，則略去桿長方向的形變，根據(jù)胡克定律，由牛頓第二定律可知E是桿的楊氏模量，是物質(zhì)常數(shù)第17頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月令，則桿的縱振動方程為桿的縱振動弦的橫振動機(jī)理不完全相同，偏微分方程形式完全一樣。波動方程：是拉普拉斯算符第18頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月12.3熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的方法與前面完全相同

不同之處：具體的物理規(guī)律不同波動方程——牛頓第二定律、胡克定律熱傳導(dǎo)方程——能量守恒定律、熱傳導(dǎo)的傅里葉定律熱傳導(dǎo)的傅里葉定律設(shè)u(x,y,z,t)表示連續(xù)介質(zhì)內(nèi)空間坐標(biāo)為(x,y,z)點(diǎn)在時(shí)刻t的溫度，若介質(zhì)內(nèi)存在溫度差，而溫度變化不大時(shí)，則熱流密度與溫度梯度成正比，比例系數(shù)k稱為熱導(dǎo)率，k的大小與介質(zhì)材料和溫度有關(guān)，若溫度變化不大時(shí)，k近似地與溫度u無關(guān)。負(fù)號表示熱流方向與溫度變化方向相反，即熱量由高溫流向低溫。第19頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻各向同性介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)方程

如圖，介質(zhì)內(nèi)部的一個(gè)長方體微元，建立坐標(biāo)系使坐標(biāo)面與長方體表面重合。從時(shí)刻t到時(shí)刻t+dt，沿x軸方向流入長方體微元的熱量為：第20頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，在dt時(shí)間內(nèi)沿y、z方向流入體積微元的熱量分別為：流入體積微元的凈熱量為：第21頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月令，則若體積微元內(nèi)沒有其它熱源或消耗，由能量守恒定律可知：凈流入的熱量等于介質(zhì)在此時(shí)間內(nèi)溫度升高所需的熱量。r：介質(zhì)密度c：比熱容k

為溫度傳導(dǎo)率第22頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月令，則若體積微元內(nèi)有熱量產(chǎn)生（化學(xué)反應(yīng)、電流通過等），單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的熱量為F(x,y,z,t)，則有：第23頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月令（熱流強(qiáng)度），則上式變?yōu)槿艚橘|(zhì)不均勻，則熱導(dǎo)率k與坐標(biāo)有關(guān)熱傳導(dǎo)方程變?yōu)椋哼B續(xù)性方程第24頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月對于各向異性的介質(zhì)，熱導(dǎo)率k與坐標(biāo)方向x、y、z相關(guān)，傅立葉定律變?yōu)椋菏?×3矩陣，則熱傳導(dǎo)方程為：

從分子運(yùn)動的層面看，溫度的高低表征了物質(zhì)分子熱運(yùn)動的劇烈程度。分子熱運(yùn)動的不平衡通過碰撞交換能量，宏觀上就表現(xiàn)為熱量的傳遞。第25頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣地，若物質(zhì)的內(nèi)部濃度不均勻，通過分子運(yùn)動發(fā)生物質(zhì)交換，宏觀上就表現(xiàn)為分子的擴(kuò)散。熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散的這種微觀機(jī)理上的相似性，決定了擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程具有相同的形式：其中，u(x,y,z,t)代表分子濃度，D是擴(kuò)散系數(shù)，

f(x,y,z,t)是單位時(shí)間內(nèi)在單位體積中該種分子的產(chǎn)率。第26頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)位移函數(shù)為u(x,t)，依題意單位長弦受到的阻力為，如圖，弦中任意一小段dx在振動過程中的受力情況為：

例題解在弦的橫振動問題中，若弦受到一個(gè)與速率成正比的阻力，試導(dǎo)出弦的阻尼振動方程?？v向（水平方向）：橫向（豎直方向）：第27頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月小振動條件下，運(yùn)動方程化簡為：∵弦在作橫振動，∴由牛頓第二定律有即第28頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月∴弦的阻尼橫振動方程為第29頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)粒子的濃度為u(x,y,z,t)，考慮dt時(shí)間內(nèi)dv中的粒子流動情況，由擴(kuò)散定律知，流入x方向的凈粒子數(shù)為：

例題解設(shè)擴(kuò)散物質(zhì)的源強(qiáng)（即單位時(shí)間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的擴(kuò)散物質(zhì)）為F(x,y,z,t)，試導(dǎo)出擴(kuò)散方程。y方向：z方向：源強(qiáng)產(chǎn)生的粒子數(shù)：第30頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月由質(zhì)量守恒得：兩邊同除以dxdydzdt得：擴(kuò)散定律：單位時(shí)間通過單位截面的粒子數(shù)與濃度梯度成正比。負(fù)號表示擴(kuò)散方向與濃度變化方向相反，即粒子由高濃度向低濃度擴(kuò)散。若D為均勻的，即與(x,y,z)無關(guān)，則第31頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)桿做縱振動的位移函數(shù)為u(x,t)，桿的楊氏模量為E，體密度為r，在x處的橫截面積為S(x)，dx做縱振動時(shí)的運(yùn)動方程為：

例題解試推導(dǎo)一均質(zhì)細(xì)圓錐桿的縱振動方程。縱向（水平方向）：兩邊同除以dx第32頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月將代入上式，可得：約去p和tana，化簡整理得令則第33頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月此繩為柔軟輕繩，可視作忽略掉重量的弦，設(shè)繩的平衡位置為水平線，位移函數(shù)為u(x,t)，繩的線密度為r，類似弦的橫振動分析，dx做橫振動時(shí)的運(yùn)動方程為：

例題解長為l的均質(zhì)柔軟輕繩，一段固定在豎直軸上，繩子以角速度w轉(zhuǎn)動。試導(dǎo)出此繩相對于水平線的橫振動方程。橫向（豎直方向）：第34頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月此繩以角速度w轉(zhuǎn)動，繩上任意一處x的張力，由x到l這段繩的慣性離心力所提供，因此離心力=向心力=mw2r方程可化為兩端同除以r

dx則第35頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月12.4穩(wěn)定問題一般情況穩(wěn)定態(tài)熱傳導(dǎo)方程（擴(kuò)散方程）u不隨t變化泊松方程拉普拉斯方程波動方程靜電場電勢

即u隨t周期的變化為波數(shù)亥姆霍茲方程第36頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月物理數(shù)學(xué)波動方程雙曲型方程熱傳導(dǎo)方程拋物型方程泊松方程橢圓型方程拉普拉斯方程任務(wù)：三類方程的求解第37頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月12.5邊界條件與初始條件對于偏微分方程的通解是：u(x,y)=C1(y)+xC2(y)C1與C2是y的任意函數(shù)，可見解并不唯一。要描述一個(gè)具有確定解的物理問題，數(shù)學(xué)上要構(gòu)成一個(gè)定解問題微分方程

邊界條件

初始條件

第38頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月定義

初始條件——完全描述物理問題的研究對象在初始時(shí)刻時(shí)，其內(nèi)部及邊界上任意一點(diǎn)的狀況。邊界條件——完全描述物理問題的研究對象的邊界上各點(diǎn)在任一時(shí)刻的狀況。第一類邊界條件：邊界上各點(diǎn)的函數(shù)值——第二類邊界條件：邊界上各點(diǎn)函數(shù)的法向微商值——第三類邊界條件：與的線性關(guān)系第39頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

舉例熱傳導(dǎo)方程初始條件：邊界條件：初始時(shí)刻各點(diǎn)的溫度

邊界上各點(diǎn)的溫度

單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的邊界流入的熱量為j(S,t)：法向微商，梯度矢量在外法線上的投影。若邊界絕熱，則j

=0，有

介質(zhì)通過邊界按牛頓冷卻定律散熱。牛頓冷卻定律：單位時(shí)間通過單位面積表面與外界交換的熱量正比于介質(zhì)表面溫度與外界溫度u0之差，h為比例系數(shù)。第40頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

例題解長為l的均勻細(xì)桿，x

=0端固定，另一端受到沿桿長方向的力F，若撤去F的瞬間為t

=0時(shí)刻，求t

>0的桿的縱振動的定解條件。邊界條件：（t

>0無外力作用，既無應(yīng)變）初始條件：（胡克定律，S：橫截面積，E：楊氏模量）第41頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

例題解長為l，x

=0端固定的均勻細(xì)桿，處于靜止?fàn)顟B(tài)中，在t

=0時(shí)，一個(gè)沿著桿長方向的力F加在桿的另一端上，求t

>0時(shí)桿上各點(diǎn)位移的定解條件。邊界條件：初始條件：胡克定律，

S：橫截面積，

E：楊氏模量第42頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

例題解長為l的均勻桿的導(dǎo)熱問題（1）桿的兩端溫度保持零度（2）桿的兩端均絕熱（3）桿的一端恒溫零度，另一端絕熱試寫出三種情況下的邊界條件。（1）（2）桿長方向的熱量流動由傅里葉定律知，熱流密度兩端絕熱，既無熱量流動，所以設(shè)u(x,t)為桿的溫度函數(shù)（3）或以上均為齊次邊界條件。第43頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月12.6內(nèi)部界面上的連接條件若微分方程成立的空間區(qū)域的內(nèi)部出現(xiàn)結(jié)構(gòu)上的躍變，所補(bǔ)充的相關(guān)條件稱為連接條件或銜接條件。兩種不同材料連接成的弦對于第一段弦：對于第二段弦：設(shè)躍變嚴(yán)格的發(fā)生于一點(diǎn)，且連接非常牢固光滑。定義

舉例解第44頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月連接點(diǎn)x0處的連接條件為：（位移相等）（張力相等）第45頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

例題解長為l的弦，在x0處掛有質(zhì)量為m的小球，試推導(dǎo)弦作橫振動時(shí)x0處的銜接條件?？芍簷M向：受力分析后，由牛頓定律可知，x0處：縱向：設(shè)小球引起的q1、q2很?。旱?6頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月因此有：銜接條件為：第47頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月解均勻弦的某一點(diǎn)x0上受到有限大小的力f(t)沿u軸負(fù)向。連接條件：舉例（位移相等）（張力與外力平衡）若此外力f(t)由重物M提供，且重物與弦同步的發(fā)生運(yùn)動，兩者之間無相對位移，則上式變?yōu)椋旱?8頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月解兩種電介質(zhì)的界面S’上的電勢連接條件：舉例（電勢連續(xù)）（電位移矢量的法向分量連續(xù)）第49頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月定解問題數(shù)理方程定解條件初始條件邊界條件銜接條件

例題解彈性桿原長為l，一端固定，另一端被拉離平衡到位置b而靜止，試導(dǎo)出在外力F(t)作用下桿的定解問題。彈性桿的縱振動所滿足的方程為：初始條件：邊界條件：設(shè)桿長方向?yàn)閤軸，位移函數(shù)為u(x,t)，單位質(zhì)量受到的外力為f(t)第50頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月

例題解長為l的均勻弦，兩端固定，弦中張力為T，在x0處以橫向力F拉弦，達(dá)到穩(wěn)定后放手任其振動，若視振動為小振動試寫出定解問題。數(shù)理方程：t

>0，F(xiàn)已撤去，故無需銜接條件。初始條件：邊界條件：第51頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月在x0的左右兩邊，弦中的張力分別為T1