第七章相關(guān)與回歸分析

第七章相關(guān)與回歸分析本章內(nèi)容：理解相關(guān)關(guān)系概念、分類，相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別聯(lián)系；掌握單相關(guān)關(guān)系分析，學會相關(guān)系數(shù)的計算；掌握一元線性回歸分析，學會用最小二乘法估計回歸參數(shù)，學會計算估計標準誤差、可決系數(shù)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析1實例1

中國婦女生育水平的決定因素是什么?婦女生育水平除了受計劃生育政策影響以外，還可能與社會、經(jīng)濟、文化等多種因素有關(guān)。1.影響中國婦女生育率變動的因素有哪些？2.各種因素對生育率的作用方向和作用程度如何？3.哪些因素是影響婦女生育率主要的決定性因素？4.如何評價計劃生育政策在生育水平變動中的作用？5.計劃生育政策與經(jīng)濟因素比較,什么是影響生育率的決定因素？6.如果某些地區(qū)的計劃生育政策及社會、經(jīng)濟、文化等因素發(fā)生重大變化，預期對這些地區(qū)的婦女生育水平會產(chǎn)生怎樣的影響？7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析2

據(jù)世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計，全球肥胖癥患者達3億人，其中兒童占2200萬人，11億人體重過重。肥胖癥和體重超常早已不是發(fā)達國家的“專利”，已遍及五大洲。目前，全球因”吃”致病乃至死亡的人數(shù)已高于因饑餓死亡的人數(shù)。

(引自《光明日報》劉軍/文）問題:肥胖癥和體重超常與死亡人數(shù)真有顯著的數(shù)量關(guān)系嗎?這些類型的問題可以運用相關(guān)分析與回歸分析的方法去解決。實例2全球吃死的人比餓死的人多?7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析3第一節(jié)相關(guān)與回歸分析

的基本概念本節(jié)需要把握四個問題：一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；二、相關(guān)關(guān)系的種類；三、相關(guān)分析與回歸分析；四、相關(guān)表和相關(guān)圖。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析4一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系客觀現(xiàn)象總是普遍聯(lián)系和相互依存的，客觀現(xiàn)象間的數(shù)量聯(lián)系存在兩種不同類型：函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。把握三個問題：1、函數(shù)關(guān)系；2、相關(guān)關(guān)系；3、二者關(guān)系。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析51、函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是指變量之間存在著嚴格確定的依存關(guān)系，在這種關(guān)系中，當一個或幾個變量取一定量的值時，另一變量有確定值與之相對應(yīng)，并且這種關(guān)系可以用一個數(shù)學表達式反映出來。如：某種產(chǎn)品的總成本S與該產(chǎn)品的產(chǎn)量Q以及該產(chǎn)品的單位成本P之間的關(guān)系可用S=PQ表達，這就是一種函數(shù)關(guān)系。通常把作為影響因素的變量稱為自變量，把發(fā)生相應(yīng)變化的變量稱為因變量。在本例中，S是因變量，P與Q則是自變量。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析62、相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系是指變量之間存在一定的相依關(guān)系，但又不是確定的和嚴格依存的。這類關(guān)系中，當一個或幾個相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時，與之相對應(yīng)的變量就會有若干個數(shù)值與之相對應(yīng)，從而表現(xiàn)出一定的波動性。例如商品流轉(zhuǎn)規(guī)模與流通費用的關(guān)系，家庭收入與消費支出的關(guān)系，工業(yè)勞動生產(chǎn)率與產(chǎn)品成本的關(guān)系等都屬于相關(guān)關(guān)系。在統(tǒng)計中所研究的就是這種相關(guān)關(guān)系。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析7函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系之間并不存在嚴格的界限，一定條件下可以轉(zhuǎn)化。由于有測量誤差等原因，函數(shù)關(guān)系在實際中往往通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來；反之當對現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性了解得更清楚深刻的時候，相關(guān)關(guān)系也可能轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系。因此，相關(guān)關(guān)系通?？梢杂靡欢ǖ暮瘮?shù)關(guān)系表達式去近似地描述。3、二者關(guān)系7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析8二、相關(guān)關(guān)系的種類把握以下問題：1、按相關(guān)程度劃分；2、按相關(guān)方向劃分；3、按相關(guān)形式劃分；4、按變量多少劃分。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析91、按相關(guān)程度劃分可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)（1）完全相關(guān)：當一種現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由另一個現(xiàn)象的數(shù)量變化所確定時，稱這兩種現(xiàn)象之間的關(guān)系為完全相關(guān)，例如圓的周長L決定于它的半徑R，即L=2πR；如銷售額與銷售量之間的關(guān)系（價格不變）。在這種情況下，相關(guān)關(guān)系即為函數(shù)關(guān)系，也可以說函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的一種特例。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析101、按相關(guān)程度劃分（2）不相關(guān)：當兩個現(xiàn)象彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨立時，稱這兩個現(xiàn)象之間的關(guān)系為不相關(guān)或零相關(guān)。例如：學生的學習成績與其身高、天氣與股票價格的關(guān)系等一般認為是不相關(guān)的。（3）不完全相關(guān)：若兩個現(xiàn)象之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，就稱為不完全相關(guān)，如居民的收入與支出水平。一般的相關(guān)現(xiàn)象都是指這種不完全相關(guān)，這是相關(guān)分析的研究對象。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析11可分為正相關(guān)和負相關(guān)（1）兩個相關(guān)現(xiàn)象間，當一個變量的數(shù)值增加(或減少)時，另一個變量的數(shù)值也隨之增加(或減少)，這種相關(guān)稱為正相關(guān)。如工人工資與勞動生產(chǎn)率；人均消費水平與人均收入水平等。（2）當一個變量的數(shù)值增加(或減少)時，而另一個變量的數(shù)值相反地呈減少(或增加)趨勢變化，稱為負相關(guān)。例如勞動生產(chǎn)率愈高，單位產(chǎn)品成本愈低。2、按相關(guān)方向劃分7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析123、按相關(guān)形式劃分可以分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)（1）線性相關(guān)：當一個變量發(fā)生變動，另一個變量隨之發(fā)生大致均等的變動(增加或減少)，從圖形上看，其觀測點的分布近似地表現(xiàn)為直線形式，就是線性相關(guān)。（2）非線性相關(guān)：而當一個變量發(fā)生變動，另一個變量也隨之發(fā)生變動(增加或減少)，但是這種變動不是均等的，從圖形上看，其觀察點的分布表現(xiàn)為各種不同的曲線形式，這種相關(guān)關(guān)系稱為非線性相關(guān)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析134、按變量多少劃分可分為單相關(guān)、復相關(guān)和偏相關(guān)（1）單相關(guān)：又稱一元相關(guān)，是指兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，即僅限于一個變量與另一個變量之間的依存關(guān)系。如只研究農(nóng)物產(chǎn)量與施肥量間的關(guān)系。（2）復相關(guān)：又稱多元相關(guān)，是指三個或三個以上變量之間的相關(guān)關(guān)系。例如家庭的消費支出與家庭收入水平及市場價格水平之間的關(guān)系便是一種復相關(guān)。如研究農(nóng)物產(chǎn)量與施肥量、降雨量間的關(guān)系。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析144、按變量多少劃分（3）偏相關(guān)：在某一變量與多個變量相關(guān)時，當假定其他變量不變，其中兩個變量的相關(guān)關(guān)系稱為偏相關(guān)。例如在假定家庭收入水平不變的條件下，市場價格水平與家庭的消費支出的關(guān)系就是一種偏相關(guān)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析15三、相關(guān)分析與回歸分析把握以下問題：1、相關(guān)分析與回歸分析的概念；2、二者的聯(lián)系；3、二者的區(qū)別；4、應(yīng)用中注意局限性。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析161、相關(guān)分析與回歸分析的概念二者是研究現(xiàn)象間相關(guān)關(guān)系的基本方法。（1）相關(guān)分析（狹義）：指用一個指標表明現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的密切程度。不過相關(guān)分析并不能說明變量間相關(guān)關(guān)系的具體形式，也不能從一個變量的變化去推測另一個變量的具體變化。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析17相關(guān)分析與回歸分析回歸的古典意義：

高爾頓遺傳學的回歸概念

父母身高與子女身高的關(guān)系:

無論高個子或低個子的子女都有向人的平均身高回歸的趨勢7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析18

回歸的現(xiàn)代意義一個因變量對若干解釋變量依存關(guān)系的研究回歸的目的（實質(zhì)）：由固定的自變量去估計因變量的平均值樣本總體自變量固定值估計因變量平均值7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析191、相關(guān)分析與回歸分析的概念（2）回歸分析：根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學模型來近似表達變量間的平均變化關(guān)系，其目的是要根據(jù)已知的或固定的自變量的數(shù)值去估計因變量的總體平均值。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析202、二者的聯(lián)系二者有著密切的聯(lián)系，它們具有共同的研究對象，在具體運用時需要互相補充。具體：（1）相關(guān)分析需要依靠回歸分析表明現(xiàn)象數(shù)量相關(guān)的具體形式；（2）回歸分析需要依靠相關(guān)分析來表明現(xiàn)象數(shù)量變化的相關(guān)程度，只有變量之間存在著高度相關(guān)時，進行回歸分析尋求其相關(guān)的具體形式才有意義。因此，回歸分析和相關(guān)分析也合并稱為相關(guān)關(guān)系分析或廣義的相關(guān)分析。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析213、二者的區(qū)別在研究目的和具體的研究方法上是有明顯區(qū)別的，兩者的主要區(qū)別在于：（1）從研究目的上看，相關(guān)分析是用一定的數(shù)量指標（相關(guān)系數(shù)）度量變量間相互聯(lián)系的方向和程度；回歸分析卻是要尋求變量間聯(lián)系的具體數(shù)學形式，是要根據(jù)自變量的固定值去估計和預測因變量的值。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析223、二者的區(qū)別（2）從對變量的處理上看，相關(guān)分析對稱地對待相互聯(lián)系的變量，不考慮二者的因果關(guān)系，也就是不區(qū)分自變量和因變量，相關(guān)的變量不一定具有因果關(guān)系，均視為隨機變量?；貧w分析是在變量因果關(guān)系分析的基礎(chǔ)上研究其中的自變量的變動對因變量的具體影響，必須明確劃分自變量和因變量，回歸分析中對變量的處理是不對稱的，在回歸分析中通常假定自變量在重復抽樣中是取固定值的非隨機變量，只有因變量是具有一定概率分布的隨機變量。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析234、應(yīng)用中注意局限性相關(guān)和回歸分析是對現(xiàn)象間相關(guān)關(guān)系進行分析的有效的科學方法，但是它們有一定的局限性。在確定應(yīng)用相關(guān)和回歸分析之前，必須進行定性分析，運用足夠的理論知識、專業(yè)知識和必要的經(jīng)驗來判斷現(xiàn)象之間是否具有真正的相關(guān)，是具有實質(zhì)性的內(nèi)在聯(lián)系還是表面上的聯(lián)系，還是一種偶然的巧合。因此在應(yīng)用相關(guān)和回歸分析對客面現(xiàn)象進行研究時，一定要注意把定性分析和定量分析結(jié)合起來，在定性分析基礎(chǔ)上開展相關(guān)和回歸的定量分析。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析24四、相關(guān)表和相關(guān)圖相關(guān)分析中，通過繪制相關(guān)圖和相關(guān)表，可以對現(xiàn)象之間存在的相關(guān)關(guān)系的方向、形式和密切程度作直觀的、大致的判斷。把握以下問題：1、相關(guān)表；2、相關(guān)圖。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析251、相關(guān)表（1）相關(guān)表是一種反映變量間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計表。研究現(xiàn)象之間的依存關(guān)系，首先要通過實際調(diào)查取得一系列成對的數(shù)據(jù)，作為相關(guān)分析的原始資料。將某一變量按其數(shù)值的大小順序排列，然后再將與其相關(guān)的另一變量的對應(yīng)值平行排列，便可得到簡單的相關(guān)表。

7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析261、相關(guān)表（2）例如假設(shè)對10戶居民家庭的月可支配收入和消費指出進行調(diào)查，得到原始資料如表

表1居民收入和消費的原始資料單位：百元根據(jù)原始資料，將消費支出從小到大排序，得到表2居民家庭編號12345678910

消費支出20154030426065705378可支配收入251860456288929975987/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析271、相關(guān)表（2）表2居民消費和收入的相關(guān)表單位：百元從表中看出，隨著可支配收入的提高，居民的消費支出也有相應(yīng)提高的趨勢，二者存在明顯的正相關(guān)關(guān)系。消費支出15203040425360657078可支配收入182545606275889299987/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析282、相關(guān)圖相關(guān)圖又稱散點圖或散布圖，是以直角坐標系的橫軸代表變量X，縱軸代表變量Y，將兩變量相對應(yīng)的成對的數(shù)據(jù)用坐標點的形式描繪出來，用于反映兩變量之間相關(guān)關(guān)系的圖形。由表2的資料繪制的相關(guān)圖如圖1所示。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析29圖1從圖看出，居民的消費支出與可支配收入之間呈現(xiàn)正線性相關(guān)關(guān)系7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析30

第二節(jié)簡單線性相關(guān)分析把握以下問題:一、相關(guān)系數(shù)概念；二、相關(guān)系數(shù)的特點；三、例子。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析31一、相關(guān)系數(shù)概念把握以下問題：1、相關(guān)系數(shù)的定義；2、總體相關(guān)系數(shù)的定義式；3、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析321、相關(guān)系數(shù)的定義單相關(guān)分析是對兩個變量間的相關(guān)程度進行分析。單相關(guān)分析所用的指標稱為單相關(guān)系數(shù)簡稱相關(guān)系數(shù)。通常用表示總體的相關(guān)系數(shù)，以r表示樣本的相關(guān)系數(shù)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析33

對于所研究的總體，表示兩個相互聯(lián)系變量相關(guān)程度的總體相關(guān)系數(shù)為：式中，Cov（X，Y）是變量X和Y的協(xié)方差；Var（X）、Var（Y）分別為變量X和Y的方差。2、總體相關(guān)系數(shù)的定義式7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析34

總體相關(guān)系數(shù)反映總體兩個變量X和Y的線性相關(guān)程度。特點：對于特定的總體來說，X和Y的數(shù)值是既定的，總體相關(guān)系數(shù)是客觀存在的特定數(shù)值。2、總體相關(guān)系數(shù)的定義式7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析353、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式通過X和Y的樣本觀測值去估計樣本相關(guān)系數(shù)，變量X和Y的樣本相關(guān)系數(shù)通常用表示特點：樣本相關(guān)系數(shù)是根據(jù)從總體中抽取的隨機樣本的觀測值計算出來的，是對總體相關(guān)系數(shù)的估計，它是個隨機變量。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析363、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式可以證明：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析373、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式證明：設(shè)：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析383、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式得到：簡便公式：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析393、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式樣本相關(guān)系數(shù)是根據(jù)樣本觀測值計算的，抽取的樣本不同，其具體數(shù)值有差異，它是總體相關(guān)系數(shù)的一致估計量。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析40二、相關(guān)系數(shù)的特點(1)相關(guān)系數(shù)的取值在-1與1之間。(2)當r=0時，表明X與Y沒有線性相關(guān)關(guān)系。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析41二、相關(guān)系數(shù)的特點判斷兩變量X與Y線性相關(guān)密切程度的具體標準為：

7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析42使用相關(guān)系數(shù)的注意事項X和Y都是相互對稱的隨機變量，所以相關(guān)系數(shù)只反映變量間的線性相關(guān)程度，不能說明非線性相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)不能確定變量的因果關(guān)系，也不能說明相關(guān)關(guān)系具體接近于哪條直線。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析43例子根據(jù)15個居民家庭的人均月食品支出與人均月收入水平的數(shù)值計算二者的相關(guān)系數(shù)。先列出簡單線性相關(guān)系數(shù)計算表（如下表）單位：元7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析44編號XYXYX2Y211022727541040472929626249692166763972524259409625410228285610404784591272457828172961583656882496412967541910262916361883262158688967691233138131512996110106313286112369611112934438616641115612138385244190441444138127218765617291492282576846478415642012804096400合計151642344632163654123117/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析45例子利用例8-1中給出的數(shù)據(jù)和上表計算的結(jié)果分別從兩個角度計算食品支出與收入水平的樣本相關(guān)系數(shù)。解：（1）將有關(guān)數(shù)據(jù)代入定義公式得：或7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析46

第三節(jié)一元線性回歸分析把握以下問題：一、標準的一元線性回歸模型；二、一元線性回歸模型的估計；7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析47一、標準的一元線性回歸模型把握以下問題：1、總體回歸函數(shù)；2、樣本回歸函數(shù)；3、樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系；4、誤差項的標準假定。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析48總體回歸函數(shù)與樣本回歸函數(shù)

若干基本概念

●

Y的條件分布:Y在X取某固定值條件下的分布。●對于X的每一個取值，都有Y的條件期望與之對應(yīng)，在坐標圖上Y的條件期望的點隨X而變化的軌跡所形成的直線或曲線，稱為回歸線。●如果把Y的條件期望表示為X的某種函數(shù)：

，這個函數(shù)稱為回歸函數(shù)?！袢绻浜瘮?shù)形式是只有一個自變量的線性函數(shù),如,稱為簡單線性回歸函數(shù)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析491、總體回歸函數(shù)（PRF）

概念：將總體因變量Y的條件均值表現(xiàn)為自變量X的某種函數(shù)，這個函數(shù)稱為總體回歸函數(shù)（簡記為PRF）。表現(xiàn)形式：（1）條件均值表現(xiàn)形式（2）個別值表現(xiàn)形式（隨機設(shè)定形式）7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析50

1、總體回歸函數(shù)（PRF）假定因變量Y主要受自變量X的影響，二者間存在近似的線性函數(shù)關(guān)系有該式被稱為總體回歸函數(shù)，式中是未知的參數(shù)，又叫回歸系數(shù)。Yi和Xi分別是Y和X的第i次觀測值。ui

是隨機誤差項，又叫隨機干擾項，它是一個特殊的隨機變量，反映未列入方程式的其他各種因素的影響。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析51

1、總體回歸函數(shù)（PRF）（2）舉例說明：消費函數(shù)式中Yt表示消費支出，Xt表示可支配收入。為基礎(chǔ)消費水平的支出，不受可支配收入的影響，為邊際消費傾向，表明可支配收入每增加一個單位，消費支出增加的數(shù)量。此處，可支配收入是決定消費支出的主要因素，圖中可表示為一條直線，但現(xiàn)實中確定型的消費函數(shù)很難成立，原因是除收入外還有各種因素影響消費支出。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析522、樣本回歸函數(shù)（SRF）概念：

●Y的樣本觀測值的條件均值隨自變量X而變動的軌跡，稱為樣本回歸線。●如果把因變量Y的樣本條件均值表示為自變量X的某種函數(shù)，這個函數(shù)稱為樣本回歸函數(shù)簡記為SRF）。表現(xiàn)形式：線性樣本回歸函數(shù)可表示為或者7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析53

3、樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系

——相互聯(lián)系

●樣本回歸函數(shù)的函數(shù)形式應(yīng)與設(shè)定的總體回歸函數(shù)的函數(shù)形式一致?！窈褪菍傮w回歸函數(shù)參數(shù)的估計?！袷菍傮w條件期望的估計●殘差e在概念上類似總體回歸函數(shù)中的隨機誤差u?；貧w分析的目的：用樣本回歸函數(shù)去估計總體回歸函數(shù)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析543、樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系

——相互區(qū)別

●總體回歸函數(shù)雖然未知，但它是確定的；樣本回歸線隨抽樣波動而變化，可以有許多條?！駱颖净貧w線還不是總體回歸線，至多只是未知總體回歸線的近似表現(xiàn)?！窨傮w回歸函數(shù)的參數(shù)雖未知，但是確定的常數(shù)；樣本回歸函數(shù)的參數(shù)可估計，但是隨抽樣而變化的隨機變量?！窨傮w回歸函數(shù)中的是不可直接觀測的；而樣本回歸函數(shù)中的是只要估計出樣本回歸的參數(shù)就可以計算的數(shù)值。

7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析554、誤差項的基本假定隨機誤差項是無法直接觀測的。為了進行回歸分析，對其概率分布提出假定：假定1：零均值假定，即誤差項的期望值為0。假定2：同方差假定，即誤差項的方差為常數(shù)。假定3：無自相關(guān)假定，即誤差項之間不存在序列相關(guān)關(guān)系，其協(xié)方差為0。

7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析564、誤差項的基本假定假定4：隨機擾動與自變量不相關(guān)，即自變量是給定的變量，與隨機誤差項線性無關(guān)。假定5：正態(tài)性假定，隨機誤差項服從正態(tài)分布以上假定是德國數(shù)學家高斯最早提出，又稱高斯假定。滿足以上標準假定的一元線性回歸模型，稱為標準的一元線性回歸模型。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析57二、一元線性回歸模型的估計把握以下問題：1、回歸系數(shù)的估計；2、擬合優(yōu)度的度量3、可決系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析581、回歸系數(shù)的估計（1）根據(jù)樣本資料確定樣本回歸方程時，一般希望Y的估計值盡可能接近其真實值，即ei的總量越小越好，但有正負，代數(shù)和為0（∑ei=0），通常用∑ei2作為衡量總偏差的尺度。所謂最小二乘法根據(jù)這一思路，使殘差平方和最小來估計回歸系數(shù)。（2）設(shè)為使Q最小，對求偏導數(shù)，令其為0，得：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析591、回歸系數(shù)的估計（2）整理后有：稱為標準方程組，n為樣本容量，解方程組得：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析601、回歸系數(shù)的估計（3）可以證明：證明：設(shè)得到：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析61例子根據(jù)15個居民家庭的人均月食品支出與人均月收入水平的數(shù)據(jù)，估計食品支出的恩格爾函數(shù)。解：最簡單的恩格爾函數(shù)假定在商品價格不變的條件下，實際的食品支出Y與實際的收入水平X間的關(guān)系可以用一元線性回歸模型反映。根據(jù)Y和X的數(shù)據(jù)計算有關(guān)統(tǒng)計量，列在表中，7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析62編號XYXYX2Y211022727541040472929626249692166763972524259409625410228285610404784591272457828172961583656882496412967541910262916361883262158688967691233138131512996110106313286112369611112934438616641115612138385244190441444138127218765617291492282576846478415642012804096400合計151642344632163654123117/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析63例8-2解：將有關(guān)合計數(shù)代入公式得：或得