復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)原則

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)原則第1頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？這主要是對(duì)于沒(méi)有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)如它是由復(fù)合而成的由于f

沒(méi)有具體給出一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無(wú)能為力了，為此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。第2頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、鏈?zhǔn)椒▌t證第3頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第4頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：第5頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月鏈?zhǔn)椒▌t如圖示第6頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或這個(gè)公式的特征：⑴函數(shù)有兩個(gè)自變量x

和

y故法則中包含兩個(gè)公式；第7頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑵由于在復(fù)合過(guò)程中有兩個(gè)中間變量u

和

v故法則中每一個(gè)公式都是兩項(xiàng)之和，這兩項(xiàng)分別含有⑶每一項(xiàng)的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，即“函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)”多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡(jiǎn)言之即：“分道相加，連線相乘”

第8頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第9頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特殊地其中即令兩者的區(qū)別區(qū)別類似第10頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注此公式可以推廣到任意多個(gè)中間變量和任意多個(gè)自變量的情形如則從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩乘積的項(xiàng)數(shù)等于中間變量的個(gè)數(shù)，而與自變量的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)第11頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問(wèn)題這是一項(xiàng)基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。對(duì)求導(dǎo)公式不求強(qiáng)記，而要切實(shí)做到徹底理解。注意以下幾點(diǎn)將會(huì)有助于領(lǐng)會(huì)和理解公式，在解題時(shí)自如地運(yùn)用公式①用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系②函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)（項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的構(gòu)成）第12頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵③弄清仍是復(fù)合函數(shù)且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來(lái)的

f(u,v)完全相同即仍是以u(píng),v

為中間變量，以x,y

為自變量的復(fù)合函數(shù)因此求它們關(guān)于x,y

的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)必須使鏈?zhǔn)椒▌t第13頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在具體計(jì)算中最容易出錯(cuò)的地方是對(duì)再求偏導(dǎo)數(shù)這一步是與

f(u,v)具有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認(rèn)為僅是u

的函數(shù)，從而導(dǎo)致漏掉原因就是不注意④求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，一定要設(shè)中間變量⑤注意引用這些公式的條件外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo)⑥的合并問(wèn)題視題設(shè)條件第14頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解第15頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解例3設(shè)均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件計(jì)算（兩重復(fù)合問(wèn)題）解由鏈?zhǔn)椒▌t第16頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故同理可得第17頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解令記同理有第18頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是二、全微分形式不變性第19頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)：無(wú)論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.第20頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用全微分形式不變性，在逐步作微分運(yùn)算的過(guò)程中，不論變量間的關(guān)系如何錯(cuò)綜復(fù)雜，都可以不加辨認(rèn)和區(qū)分，而一律作為自變量來(lái)處理且作微分運(yùn)算的結(jié)果對(duì)自變量的微分來(lái)說(shuō)是線性的從而為解題帶來(lái)很多方便，而且也不易出錯(cuò)第21頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5設(shè)各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件求解一變量間的關(guān)系如下圖所示第22頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這里變量間的關(guān)系比較混亂用全微分來(lái)解由全微分定理注意到

x,z

是獨(dú)立自變量解二第23頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由全微分定義注解法二在實(shí)際計(jì)算中顯得十分靈便且不易出錯(cuò)故第24頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、小結(jié)1、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）2、全微分形式不變性（理解其實(shí)質(zhì)）第25頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考題第26頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答第27頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題第28頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月