復雜網絡上傳染病動力學概述張海峰

復雜網絡上傳染病動力學概述張海峰第1頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月提綱傳染病動力學基本概念復雜網絡上傳染病動力學的基本結果與推廣個體、社會行為反應對傳播行為的影響總結與展望第2頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月一、基本概念第3頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月專業(yè)名詞S-susceptible（易感染者，健康者）;I-infected（感染者）;R-recovery/removed（恢復者、移除者）;V-vaccinated(接種者）;E-exposed（暴露但不具有感染性，或稱潛伏）。

SIS模型：易染個體被感染后，可以被治愈但無免疫力（還可以再被感染）（感冒等）SIR模型：易染個體被感染后，可以被治愈且有免疫力（不會被感染，也不會感染其它節(jié)點，相當于已經從傳播網絡中被清除了）（天花等）SI模型：易染個體被感染后，不能被治愈（艾滋病等）SIRS模型：易染個體被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，還會再次回到易染狀態(tài)。（乙肝？）第4頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月基本微分方程SIR的微分方程SIS的微分方程更一般的模型，可以考慮人口數(shù)量變化的、傳播率變化的、多種群的、時間滯后的、加入媒介的、加入接種措施的，等等。第5頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月二、復雜網絡上的疾病傳播第6頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月①感染密度（感染水平或者波及范圍）ρ(t)

ρ(t)：傳播過程中,感染節(jié)點總數(shù)占總節(jié)點數(shù)的比例。ρ：傳播到穩(wěn)態(tài)時（）感染密度的值,稱為穩(wěn)態(tài)感染密度。②有效傳播率λ(=/)

λ非常?。ê苄?，很大），傳播達穩(wěn)態(tài)時，所有節(jié)點都會變成健康節(jié)點，這種情況下就認為疾病沒有在網絡上傳播開來，并記該疾病的穩(wěn)態(tài)感染密度ρ

=0。反之，當λ足夠大時，疾病將一直在網絡中存在而不會完全消失，只是染病節(jié)點的數(shù)目有時多有時少，這時穩(wěn)態(tài)感染水平（波及范圍）

ρ

0。把穩(wěn)態(tài)感染密度從零向正實數(shù)變化的那個點所對應的有效傳播率稱作傳播閾值（臨界值）λc。它是衡量網絡上的傳播行為最重要的參量之一。復雜網絡上研究的主要參量第7頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻網絡中的SIS模型Ⅰ.均勻網絡：

Ⅱ.解析模型三個假設：①均勻混合假設：感染強度和感染個體密度成比例。即：

和為常數(shù)（均勻混合）。不失一般性，可假設=1，因為這只影響疾病傳播的時間尺度；②均勻性假設：均勻網絡中，每個節(jié)點的度都等于網絡的平均度<k>；③規(guī)模不變假設：不考慮個體的出生和自然死亡

第8頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月運用平均場的方法可得：被感染個體密度ρ(t)的變化率被感染節(jié)點以單位速率恢復健康單個感染節(jié)點產生的新感染節(jié)點的平均速度，它與有效傳播率、節(jié)點的平均度〈k〉，健康節(jié)點相連概率1-ρ(t)成比例，（其他的高階校正項忽略了）。第9頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月當傳播達到穩(wěn)態(tài)時，變化率為0，所以令上式右端為0；

即：-ρ+<k>ρ[1-ρ]=0ρ（1-λ<k>+λ<k>ρ）=0；

ρ（ρ-）=0；當λ<時，ρ-必大于0，所以ρ=0；當λ

時，ρ=；所以，即為臨界傳播值，記=。第10頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月結論：在均勻網絡中存在一個有限的正的傳播臨界值λc。如果有效傳播率λλc，則病毒可以在網絡中傳播開來，并最終穩(wěn)定于,此時稱網絡處于激活相態(tài)；如果有效傳播率λ<λc，病毒感染個體數(shù)呈指數(shù)衰減，無法大范圍傳播，最終將不能傳播,此時網絡稱為吸收相態(tài)。第11頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月無標度網絡中的疾病傳播Ⅰ.

無標度網絡：具有冪律度分布的網絡，即：；

網絡中節(jié)點的度沒有明顯的特征長度Ⅱ.解析模型無標度網絡的度分布是呈冪律分布，因而度具有很大的波動性，定義一個相對感染密度：度數(shù)為k的感染節(jié)點數(shù)占總節(jié)點數(shù)的比例。當t趨于無窮大時，相對穩(wěn)態(tài)感染密度記為。平均感染密度：穩(wěn)態(tài)平均感染密度：∝第12頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣我們能采用MF理論來求的變化率得:度為k的節(jié)點相對感染密度的變化方程為：

：任意一條給定的邊與一個被感染節(jié)點相連的概率任意一條給定邊指向度為k的節(jié)點的概率為（與度為k節(jié)點關聯(lián)的邊數(shù)與總邊數(shù)的比值）則任意一條給定邊指向度為k的感染節(jié)點的概率為從而，

第13頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)穩(wěn)態(tài)條件，可得：把（1）代人（2）可以得到如下自洽方程有一個平凡解如果該方程要存在一個非零穩(wěn)定解，需要滿足如下條件：第14頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月結論：對于SF（無標度）網絡，節(jié)點度數(shù)具有很大的浮動性，當,導致，從而特別地，作為SF網絡的一個典型例子，考慮BA無標度網絡。第15頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月BA無標度網絡的傳播臨界值BA無標度網絡：(1)增長特性，(2)優(yōu)先連接特性（富者更富，或馬太效應）度分布，平均度其中m是網絡最小度

將平均度，度分布，以及帶入

，可得：

第16頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月又因為第18頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月化簡后得：當λ=0時，有當λ>0時，有結論：

BA無標度網絡在SIS模型下的只要有效傳播率λ>0，病毒就能傳播開來，并將達到一個穩(wěn)定感染水平，這反映了無標度網絡對抵抗病毒的脆弱性第19頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月WS網絡與BA網絡的比較第20頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月總結1.

SIS模型在均勻網絡中，存在一個傳播臨界值。當時，疾病在時間演化過程中逐漸衰減，最終被滅；當時，疾病在時間演化過程中傳播開來，并穩(wěn)定于某一值（穩(wěn)態(tài)感染密度）：

2.

SIS模型在SF網絡中，傳播臨界值：只要有效傳播率λ>0，病毒就能傳播開來，并將達到一穩(wěn)定感染水平值：，這反映了無標度網絡對抵抗病毒的脆弱性。

第21頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻網絡中的SIR模型對自洽方程求導結論：疾病閾值也是最終感染范圍為：第22頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月無標度網絡中的SIR模型其中輔助函數(shù)：第23頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月對于SIR模型，最終感染比例為0！所以根據(jù)恒等式：可以得到以下關系式，因此由得到第24頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月類似求SIS中的方法，有結論類似的方法同樣可以發(fā)現(xiàn)，無標度網絡上最終感染范圍也是：結論：無標度上的SIR模型和SIS模型具有相同的爆發(fā)閾值，以及同等規(guī)模的感染范圍！第25頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1.隨機免疫：隨機選一部分人進行免疫2.目標免疫：免疫度大的結點3.熟人免疫：隨機找一個結點，再隨機選一個鄰居進行免疫4.環(huán)狀接種：隔離或免疫染病個體的所有(距離為k)鄰居5.接觸追蹤：對與有傳染性個體的接觸者進行跟蹤，然后以一定的概率進行免疫免疫策略第26頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月結論：

在均勻網絡中：只要，就可保證疾病不在網絡中傳播開來；SF網絡中：免疫臨界值約為１，即任給定一λ值，都需要對網絡中的所有個體進行免疫才能使疾病不傳播開來。說明隨機免疫只對均勻網絡有效（有較小的),而對SF網絡效果很差（=1）。原因：這是由于SF網絡是異質網絡，節(jié)點度呈兩極分化，采用隨機免疫，哪些最容易傳播病毒的節(jié)點（度大的節(jié)點）不一定獲得免疫。所以，如果對SF網絡采取隨機免疫的策略，需要對網絡中幾乎所有的節(jié)點都實施免疫才能保證最終消滅病毒傳染。因此對SF網絡這樣的異質網絡，普遍認為：隨機免疫策略對于無標度網絡是無效的！第27頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月其他網絡結構對傳播行為的影響加權網絡：YanGang等，CPL,Vol.22,No.2(2005)510社團網絡：劉宗華等，EPL,72,315,2006層狀網絡：鄭大昉等，PhysicaA,352,659,2006具有地理效應的網絡：許新建等，PRE,Phys.Rev.E,76,056109,2007第28頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月其他方面網絡與傳播共同演化T.Gross,C.J.D.D'Lima,B.Blasius,Phys.Rev.Lett.,96,208701,2006.;T.Gross,B.Blasius,Adaptivecoevolutionarynetworks:areview,J.R.Soc.Interface,5,259-271,2008;T.Gross,I.G.Kevrekidis,Europhys.Lett.82,38004,2008;S.Risau-Gusmsán,D.H.Zanette,J.Theor.Biol.,257,52-60,2009;D.H.Zanette,S.Risau-Gusmsán,J.Biol.Phys.,34,135-148,2008;L.B.ShawandI.B.Schwartz,Phys.Rev.E,77,066101,2008.L.B.ShawandI.B.Schwartz,Phys.Rev.E,81,046120,2010.人口移動：V.Colizza,A.Vespignani,Phys.Rev.Lett.,99,148701,2007.V.Colizza,R.Pastor-Satorras,A.Vespignani,NaturePhysics3,276-282,2007.V.Colizza,A.Barrat,M.Barthelemy,A.Vespignani,InternationalJournalofBif.andChaos.17,2491-2500,2007.M.Tang,Z.H.Liu,andB.W.Li,Europhys.Lett.,87,18005,2009.S.Meloni,A.Arenas,Y.Moreno,Proc.NatlAcad.Sci.USA,106,16897,2009.S.J.Ni，W.G.Weng,Phys.Rev.E,79,016111,2009.VitalyBeliketal,PRX1,011001(2011)第29頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月三、個體、社會行為反應對傳播行為的影響第30頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月動力學與個體行為、政府決策的相互關系示意圖用來刻畫傳染病動力學與個體行為，政府決策等因素之間的相互影響第31頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1.Groupinterestversusself-interestinsmallpoxvaccinationpolicy,PNAS,100(2003)1564模型：由于接種天花存在著一個困境，預防面臨代價，不預防也有被感染的風險；另外由于(herdimmunity）群體免疫的作用，如果別人采取了免疫那么我被感染的風險減小，我可以不免疫，但是別人也有這樣的想法，所以這是一個預防困境問題。用博弈中的收益（payoff)來描述接種的收益和暫時不接種的收益：第32頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月模型假設每個個體采取接種的概率為p,在群體中就有p比例的人選擇接種，此時對應個體而言，個體的平衡點為：對于整個集體的最優(yōu)為,代價C(p):最小。第33頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月主要結果（個體最優(yōu)和全局最優(yōu)的差距）第34頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2.CanInfluenzaepidemicsbepreventedbyvoluntaryvaccination,PLoScomputationalbiology,3(5)(2007)e85模型：流感疫苗的有效期是有限的（比如一年，一個季度），但是流感又是不斷發(fā)的，因此對于理性個體就要不斷做決定是否采取接種疫苗，那么他/她就會根據(jù)當前的爆發(fā)范圍、接種疫苗的范圍、以及以前的成敗史來判斷當前是否采取接種。思想：a,上個季節(jié)采取接種，但是總的接種范圍超過“需要接種范圍”，則下個季節(jié)接種意愿減小！b,上個季節(jié)采取接種，但是總的接種范圍低于“需要接種范圍”，則下個季節(jié)接種意愿增加！c,上個季節(jié)沒有采取接種，但是沒有被感染，則下個季節(jié)接種意愿減?。,上個季節(jié)沒有采取接種，但是被感染，則下個季節(jié)接種意愿增加！第35頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月模型示意圖第36頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月主要結果兩種不同的政府補貼引起的不同效果免疫比例p(black)和感染比例f(red)的時間演化圖第37頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月3，F(xiàn).Fu,D.I.Rosenbloom,L.Wang,M.A.Nowak,Imitationdynamicsofvaccinationbehavioronsocialnetworks,Proc.R.Soc.B,278,42-49,2011.模型：在流感爆發(fā)爆發(fā)季節(jié)之前，每個個體要選擇是否接種流感疫苗：(a),接種，在接下來的季節(jié)不會被感染，但是要付出V的代價;(b),如果不接種，可能面臨兩種不同的結果：被感染，付出1的代價；沒有被感染付出代價為0！模型示意圖：第38頁，課