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文檔簡(jiǎn)介
第一章行列式1.1行列式的定義補(bǔ)充:關(guān)于代數(shù)方程的基本知識(shí)一元一次方程ax
=b1.當(dāng)a
?0時(shí),(*)有唯一解x
=ba2.當(dāng)a
=b
=0時(shí),(*)有無窮多解(任意復(fù)數(shù))(*)3.當(dāng)a
=0,b
?0時(shí),(*)無解一元二次方程ax2
+bx
+c
=02a-
b
–
b2
-
4acx
=一元三次、四次方程也有公式解一元五次及五次以上的方程沒有公式解代數(shù)基本定理一元n次方程a
xn
+
a
xn-1
+
+
a x
+
a
=
0n n-1
1
0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恰有n個(gè)根.如果系數(shù)都是實(shí)數(shù),則復(fù)根是成對(duì)出現(xiàn)的考慮二元一次方程組21
x1
+
a22
x2
=
b2aa11
x1
+
a12
x2
=
b1當(dāng)a11a22
-
a12a21
?
0時(shí),利用加減消元法容易得到11
22
12
211
22
12
21a
a
-
a
ab
a
-
a
bx
=11
22
12
212a
a
-
a
a=
a11b2
-
b1a21x=ad
-bc,那么如果記a
bc
d1211a21
a221a
ab1bx
=1211212a21
a22a
ab1a
b2a12
a112
a22x
=二階行列式定義為=
a11a22
-
a12a2121
22a
aa11
a12同理,考慮三元一次方程組a31
x1
+
a32
x2
+
a33
x3
=
b3三階行列式定義為21
x1
+
a22
x2
+
a23
x3
=
b2a
a11
x1
+
a12
x2
+
a13
x3
=
b1=
+
a11a22a33
+
a12a23a31
+
a13a21a32-
a13a22a31
-
a11a23a32
-
a12a21a33a11
a12
a13a21
a22
a23a31
a32
a333212
j
3
j1
ja31
a32
a33其中j1
j2
j3分別等于123;231;31(2
帶+號(hào))321;132;21(3
帶-號(hào))a11
a12
a13a21
a22
a23a
a–
a=全排列與逆序數(shù)自然數(shù)1,2,,n按照某種次序排成一行j1
j2
jn
,稱為一個(gè)n級(jí)全排列,種數(shù)等于n!在一個(gè)全排列j1
jp
jp+m
jn中,如果jp
>jp+m,稱(jp
,jp+m
)構(gòu)成排列j1
j2
jn的一個(gè)逆序,排列j1
j2
jn的逆序個(gè)數(shù)稱為排列j1
j2
jn的逆序數(shù),記為t(j1
j2
jn
)333231232221j1
j2
j31
j1
2
j2
3
j3a11
a12
a13所以a
a
a
=
(-1)t(
j1
j2
j3
)
a
a
aa
a
a1
21
2a1
j
a2
j1
221
22(-1)t(
j
j
)j
ja
aa
a即
11
12=二階行列式也符合這一規(guī)律所以n階行列式應(yīng)該定義為nnjnnj
j
ja1
j
a2
j1
2a
a1na2na11
a12a21
a22an1
an
2
ann注11=
(-1)t(
j
j
j
)n階行列式是n!項(xiàng)的代數(shù)和,每一項(xiàng)是取自不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積.
a11
a12
a13
0
a22
a23
0
0
a33
an-1nanna1n-1
a1na2n-1
a2na3n-1
a3n上三角行列式0
0
0
an-1n-10
0
0
0主對(duì)角線=
a11a22
ann利用行列式的定義,不難證明annan1
an
20a11
0
0a21
a22
=
a11a22
ann同理下三角行列式n12n(
n-1)an1a11
a12a21
a22=
(-1)
0
0
0
a1naa1na2n-1n12n(
n-1)=
(-1)annan1
an
2a1na2n0
0
0
0
aa1na2n-1左三角行列式右三角
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