初二期中試卷中的幾何模型

優(yōu)能中學(xué)部初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目初二期中試卷中的幾何模型一．八字模型∠A+∠B=∠C+∠D∠P=12（∠B+∠D【對應(yīng)練習(xí)】1.如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D=28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（）A．62° B．152° C．208° D．236°【解答】解：∵如圖可知∠BED=∠F+∠B，∠CGE=∠C+∠A，又∵∠BED=∠D+∠EGD，∴∠F+∠B=∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD=180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，又∵∠D=28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°，故選：C．2.如圖，BE與CD相交于點(diǎn)A，CF為∠BCD的平分線，EF為∠BED的平分線．EF與CD交于點(diǎn) M，CF與BE交于點(diǎn)N。（1）若∠D=70°，∠BED=30°，則∠EMA=____________（度）。（2）若∠B=60°，∠BCD=40°，則∠ENC=____________（度）。（3）∠F與∠B、∠D有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論?！窘獯稹拷猓海?）∵EF為∠BED的平分線，∠BED=30°，∴∠DEM=∠FEN=12∠BED=15°又∵∠EMA=∠D+∠DEM，∠D=70°，∴∠EMA=85°．故答案為：85°．（2）∵CF為∠BCD的平分線，∠BCD=40°，∴∠BCN=∠FCM=12∠BCD=20°又∵∠ENC=∠B+∠BCN，∠B=60°，∴∠ENC=80°．故答案為：80°．（3）∠F=12（∠B+∠D證明：∵∠EMA=∠D+∠DEF=∠F+∠DCF，∠ENC=∠B+∠BCF=∠F+∠BEF，∴∠D+∠DEF+∠B+∠BCF=∠F+∠DCF+∠F+∠BEF．又∵CF為∠BCD的平分線，EF為∠BED的平分線，∴∠DEF=∠BEF，∠DCF=∠BCF．∴∠B+∠D=2∠F．∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB=n－1n（∠ABC+∠ACB）=∴∠BOn﹣1C=180°﹣n－（4）由（3）得：180°﹣n－1解得：n=5．四．剪切∠1+∠2=180°+∠C2∠A1=∠1+∠2∠2-∠1=2∠A2【對應(yīng)練習(xí)】1.在三角形紙片ABC中，∠A=65°，∠B=75°．將紙片的一角對折，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為________【解答】解：∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°﹣（65°+75°）=40°，∴∠CDE+∠CED=180°﹣∠C=140°，∴∠2=360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°﹣300°=60°．故選：B．五．一線三等角【對應(yīng)練習(xí)】1.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CD于E，BD⊥CD于D，AE=5cm，BD=2cm，則DE的長為（）A．8

B．5

C．3

D．2【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵AE⊥CD于E，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠DCB，∵BD⊥CD于D，∴∠D=90°，在△AEC和△CDB中∠CAE=∠DCB∠AEC=∠D=90∴△AEC≌△CDB，（AAS），∴AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，∴DE=CD﹣CE=3cm，故選：C．2.如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=58°，BP=CE，BD=CP，則∠DPE=_________．【解答】解：∵AB=AC，∠A=58°，∴∠DBP=∠ECP=61°，又∵BP=CE，BD=CP，在△DBP和△PCE中，BP=CE∠DBP=∠ECP∴△DBP≌△PCE（SAS），∴∠BDP=∠EPC，又∵∠DBP=61°，∴∠DPB+∠BDP=119°，∴∠DPE=180°﹣（∠DPB+∠EPC）=180°﹣（∠DPB+∠BDP）=61°．故答案為：61°．六．拉手模型【對應(yīng)練習(xí)】1.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下六個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°；⑥OC平分∠AOE．其中不正確的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，故①正確；由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，進(jìn)而可求證△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故③正確；又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE②成立，∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE=DP錯(cuò)誤；∵BC∥DE，∴∠CBE=∠BED，∵∠CBE=∠DAE，∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，故⑤正確；同理可得出∠AOE=120°，∠OAC=∠OCD，∴∠DCE=∠AOC=60°，∴OC平分∠AOE，故⑥正確，故正確的有①②③⑤⑥共5個(gè)，故選：B．2.兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置,圖2是由它抽象出的幾何圖形,B,C,E在同一條直線上,連結(jié)DC.(1)請猜想:DC與BE的數(shù)量關(guān)系,并給予證明;(2)求證:DC⊥BE【解答】（1）解：DC=BE；理由如下：∵△ABC與△AED均為等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．即∠BAE=∠CAD，在△ABE與△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴DC=BE；（2）證明：∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD=∠ABE=45°，又∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∴DC⊥BE．3.如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，BD與CE相交于O．（1）求證：BD=CE；（2）OA平分∠BOE嗎？說明理由．【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；（2）OA平分∠BOE．理由如下：作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別是F、G，如圖，∵AF、AG恰好是兩個(gè)全等三角形△BAD與△CAE對應(yīng)邊上的高，∴AF=AG，∴OA平分∠BOE．4.已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE（頂點(diǎn)A、D、E按逆時(shí)針方向排列），連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CE+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．∵BC=BD+CD，AC=BC，∴AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是：AC=CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，AB=AC∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，∴AC=CE﹣CD；（3）補(bǔ)全圖形（如圖）AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是：AC=CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，AB=AC∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE．∵BC=CD﹣BD，∴BC=CD﹣CE，∴AC=CD﹣CE．七．倍長中線【對應(yīng)練習(xí)】1.如圖,AD是△ABC的中線,點(diǎn)E在BC的延長線上,CE=AB,∠BAC=∠BCA,求證:AE=2AD.【解答】證明：延長AD至M，使DM=AD，∵AD是△ABC的中線，∴DB=CD，在△ABD和△MDC中BD=CD∠ADB=∠MDC∴△ABD≌△MCD（SAS），∴MC=AB，∠B=∠MCD，∵AB=CE，∴CM=CE，∵∠BAC=∠BCA，∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD，即∠ACM=∠ACE，在△ACE和△ACM中AC=AC∠ACE=∠ACM∴△ACM≌△ACE（SAS）．∴AE=AM，∵AM=2AD，∴AE=2AD．2．已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）如圖，若E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE=AF．求證：△DEF為等腰直角三角形；（2）若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE=AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）證明：連接AD∵AB=AC，∠A=90°，D為BC中點(diǎn)∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°在△BDE和△ADF中，BD=AD∠B=∠DAF=45∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF為等腰直角三角形．（2）解：仍為等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF=DE，∠ADF=∠BDE∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即：∠EDF=90°∴△EDF為等腰直角三角形．八．截長補(bǔ)短【對應(yīng)練習(xí)】1.把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ABCD以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC、BC于M、N．

（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)∠ACD+∠MDN=90°時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

（3）如圖③，在（2）的結(jié)論下，若將M、N分改在CA、BC的延長上，完成圖3，其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）

【解答】（1）AM+BN=MN，證明：延長CB到E，使BE=AM，∵∠A=∠CBD=90°，∴∠A=∠EBD=90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE=∠MDA，DM=DE，∵∠MDN=∠ADC=60°，∴∠ADM=∠NDC，∴∠BDE=∠NDC，∴∠MDN=∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE∴△MDN≌△EDN，∴MN=NE，∵NE=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN．（2）AM+BN=MN，證明：延長CB到E，使BE=AM，連接DE，∵∠A=∠CBD=90°，∴∠A=∠DBE=90°，∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，∴∠MDN=∠CDA，∵∠MDN=∠BDC，∴∠MDA=∠CDN，∠CDM=∠NDB，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE=∠MDA=∠CDN，DM=DE，∵∠MDN+∠ACD=90°，∠ACD+∠ADC=90°，∴∠NDM=∠ADC=∠CDB，∴∠ADM=∠CDN=∠BDE，∵∠CDM=∠NDB∴∠MDN=∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE∴△MDN≌△EDN，∴MN=NE，∵NE=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN．（3）BN﹣AM=MN，證明：在CB截取BE=AM，連接DE，∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，∴∠MDN=∠CDA，∵∠ADN=∠ADN，∴∠MDA=∠CDN，∵∠B=∠CAD=90°，∴∠B=∠DAM=90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠DAM=∠DBE∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE=∠ADM=∠CDN，DM=DE，∵∠ADC=∠BDC=∠MDN，∴∠MDN=∠EDN，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE∴△MDN≌△EDN，∴MN=NE，∵NE=BN﹣BE=BN﹣AM，∴BN﹣AM=MN．九．最短路徑【對應(yīng)練習(xí)】1.如圖，已知點(diǎn)P在銳角∠AOB內(nèi)部，∠AOB=α，在OB邊上存在一點(diǎn)D，在OA邊上存在一點(diǎn)C，能使PD+DC最小，此時(shí)∠PDC=．【解答】解：過P的作關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P'，作P′C⊥OA于C，交OB于D，此時(shí)PD=PD′，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最短可知PD+DC=P′C最短，∵∠PDB=∠P′DB，∠CDO=∠P′DB，∴∠CDO=∠PDB，∵P′C⊥OA，∠AOB=α，∴∠CDO=90°﹣α，∴∠PDC=180°﹣2（90°﹣α）=2α．故答案為：2α．2.如圖①，在長方形ABCD中，點(diǎn)P、E分別是線段AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PD，若使得PE+PD的值最小，應(yīng)如何確定點(diǎn)P和點(diǎn)E的位置？請你在圖②中畫出點(diǎn)P和點(diǎn)E的位置，并簡述畫法．．【解答】解：如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥AD交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求故答案為：作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥AD交AC于點(diǎn)P．3.（Ⅰ）如圖①，點(diǎn)A、B在直線l兩側(cè)，請你在直線l上畫出一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最??；（Ⅱ）如圖②，點(diǎn)E、F在直線l同側(cè)，請你在直線l上畫出一點(diǎn)P，使得PE+PF的值最?。唬á螅┤鐖D③，點(diǎn)M、N在直線l同側(cè)，請你在直線l上畫出兩點(diǎn)O、P，使得OP=1cm，且MO+OP+PN的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）【解答】解：（I）如圖①，連接A、B兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P，這樣PA+PB最小，理由是：兩點(diǎn)之間，線段最短；（II）如圖②，先作點(diǎn)E關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)E′，再連接E′F交l于點(diǎn)P，則PE+PF=E′P+PF=E′F，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)；（III）如圖③，作N關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)N′，過N′作線段N′Q∥直線l，且線段N′Q=1cm，連接MQ，交直線l于O，在直線l上截取OP=1cm，如圖，連接NP，則此時(shí)MO+OP+PN的值最?。妊切巍緦?yīng)練習(xí)】1．如圖，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度數(shù)．【解答】解：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，∴∠CAD=（180°﹣100°）÷2=40°，∵∠CDB是△ACD的外角，∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，∵DC=DB，∴∠B=（180°﹣140°）÷2=20°．2.如圖，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，…，以此類推，若∠B=20°，則∠A=．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A=180-∠B2=80°∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1=∠BA1A2=40°同理可得，∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，∴∠An=802故答案為：8023.如圖，已知∠AOB=a，在射線OA、OB上分別取點(diǎn)1OA=OB1，連結(jié)A1B1，在B1A1、B1B上分別取點(diǎn)A2、B2，使B1B=B1A2，連結(jié)A2B2，…，按此規(guī)律，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，則θ2004﹣θ2003的值為．【解答】解：∵OA1=OB1，∠AOB=α，∴∠A1B1O=12（180°﹣α∴12（180°﹣α）+θ1=180整理得，θ1=180+α2∵B1B2=B1A2，∠A2B1B2=θ1，∴∠A2B2B1=12（180°﹣θ1∴12（180°﹣θ1）+θ2=180°整理得，θ2=180+θ12∴θ2﹣θ1=3×180+α4同理可求θ3=180+θ22∴θ3﹣θ2=180-α…，依此類推，θ2004﹣θ2003=180-α2故答案為：180-α24.閱讀下面材料：小聰遇到這樣一個(gè)有關(guān)角平分線的問題：如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6求BC的長．小聰思考：因?yàn)镃D平分∠ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC=AC，連接DE．這樣很容易得到△DEC≌△DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．請回答：（1）△BDE是三角形．（2）BC的長為．參考小聰思考問題的方法，解決問題：如圖3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD的長．【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形，在△ACD與△ECD中，AC=CE∠ACD=∠ECD∴△ACD≌△ECD，∴AD=DE，∠A=∠DEC，∵∠A=2∠B，∴∠DEC=2∠B，∴∠B=∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；（2）BC的長為5.8，∵△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠C=80°，∵BD平分∠B，∴∠1=∠2=40°∠BDC=60°，在BA邊上取點(diǎn)E，使BE=BC=2，連接DE，則△DEB≌△DBC，∴∠BED=∠C=80°，∴∠4=60°，∴∠3=60°，在DA邊上取點(diǎn)F，使DF=DB，連接FE，則△BDE≌△FDE，∴∠5=∠1=40°，BE=EF=2，∵∠A=20°，∴∠6=20°，∴AF=EF=2，∵BD=DF=2.3，∴AD=BD+BC=4.3．十一.等邊三角形【對應(yīng)練習(xí)】1．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，BD=CE，求∠AFE的度數(shù)．【解答】解；△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°．在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABD=∠BCE∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE．由三角形外角的性質(zhì)得∠AFE=∠BAF+∠ABF，∠AFE=∠CBE+∠ABF=60°．2．如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE=BD，連接CE，DE．求證：EC=ED．【解答】證明：延長BD至F，使DF=BC，連接EF，∵AE=BD，△ABC為等邊三角形，∴BE=BF，∠B=60°，∴△BEF為等邊三角形，∴∠F=60°，在△ECB和△EDF中BE=EF∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC=ED．3.如圖,在△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,則1秒后,△BPD與△CPQ是否全等?請說明理由;(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,則當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)