【數(shù)學(xué)課件】分類變量與列聯(lián)表 2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步課件(人教A版2019選擇性必修第三冊(cè))

第八章

成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)8.3.1分類變量與列聯(lián)表新課導(dǎo)入吸煙的危害

吸煙已成為全球范圍內(nèi)嚴(yán)重危害健康、危害人類生存環(huán)境、降低人們的生活質(zhì)量、縮短人類壽命的緊迫問(wèn)題．為此，聯(lián)合國(guó)固定每年5月31日為全球戒煙日．

為什么將世界無(wú)煙日改為5月31日呢？是因?yàn)榈诙焓菄?guó)際兒童節(jié)，希望下一代免受煙草危害。

世界無(wú)煙日的意義是宣揚(yáng)不吸煙的觀念。而每年皆會(huì)有一個(gè)中心主題。例如：2019年世界無(wú)煙日的重點(diǎn)是“煙草和肺部健康”吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)？怎樣用數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明呢？新知講解

例如,就讀不同學(xué)校是否對(duì)學(xué)生的成績(jī)有影響,不同班級(jí)學(xué)生用于體育鍛煉的時(shí)間是否有差別,吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn),等等,本節(jié)將要學(xué)習(xí)的獨(dú)立性檢驗(yàn)方法為我們提供了解決這類問(wèn)題的方案.

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或互相影響的問(wèn)題.在討論上述問(wèn)題時(shí),為了表述方便,我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機(jī)變量稱為分類變量.新知講解變量數(shù)值變量分類變量數(shù)值變量的取值為實(shí)數(shù).其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義.例如:人的身高、樹的胸徑、樹的高度、短跑100m世界紀(jì)錄和創(chuàng)紀(jì)錄的時(shí)間等兩個(gè)數(shù)值變量之間的關(guān)系：回歸分析法；由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)來(lái)表示；這些數(shù)值只作為編號(hào)使用，用來(lái)表示不同的類別；并沒(méi)有通常的大小和運(yùn)算意義。例：性別、是否吸煙、是否患肺癌、國(guó)籍等例如,學(xué)生所在的班級(jí)可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示本節(jié)我們主要討論取值是{0,1}的分類變量的關(guān)聯(lián)性問(wèn)題.新知探究問(wèn)題1

為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查,全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉;601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù),說(shuō)明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題,最直接的解答方法是,比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生在女生和男生中的比率.解法1：（由頻率估計(jì)概率）結(jié)論：該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，男生更經(jīng)常鍛煉。

新知探究上面的問(wèn)題還可以通過(guò)建立一個(gè)古典概型，使用條件概率的語(yǔ)言，給出另外一種解答方法.解法2：（借助條件概率）用Ω表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合，則Ω為樣本空間，定義一對(duì)分類變量X和Y如下:對(duì)于Ω中的每一名學(xué)生，分別令若從該校女生和男生中各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么該女生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率為而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率為我們希望通過(guò)比較條件概率P(Y=1|X=0)和P(Y=1|X=1)回答上面的問(wèn)題性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響：性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響：新知探究為了清楚起見，我們用表格整理數(shù)據(jù)，如下表所示.性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常(Y=0)經(jīng)常(Y=1)女生(X=0)192331523男生(X=1)128473601合計(jì)3208041124{X=0,Y=1}：事件{X=0}和{Y=1}的積事件{X=1,Y=1}：事件{X=1}和{Y=1}的積事件結(jié)論：該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，男生更經(jīng)常鍛煉。

在上面問(wèn)題的兩種解答中，使用了學(xué)校全部學(xué)生的調(diào)查數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)能夠完全確定解答問(wèn)題所需的比率和條件概率.然而,對(duì)于大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題，我們無(wú)法獲得所關(guān)心的全部對(duì)象的數(shù)據(jù)，因此無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算出有關(guān)的比率或條件概率.

在這種情況下，上述古典概型和條件概率的觀點(diǎn)為我們提供了一個(gè)解決問(wèn)題的思路.比較簡(jiǎn)單的做法是利用隨機(jī)抽樣獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，再利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率的原理對(duì)問(wèn)題答案作出推斷.（用樣本估計(jì)總體）方法歸納概念生成

列聯(lián)表在實(shí)踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問(wèn)題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)，并做成表格加以保存.我們將形如下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).組別甲(Y＝0)乙(Y＝1)合計(jì)A(X＝0)aba＋bB(X＝1)cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d

以上表為例,2×2列聯(lián)包含了X和Y的如下信息:最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù);

最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù);中間的四個(gè)格中的數(shù)是表格的核心部分,給出了事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù);

右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù).新知探究例1

為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過(guò)測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀;乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：(用Ω表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合.考慮以Ω為樣本空間的古典概型)

對(duì)于Ω中每一名學(xué)生，定義分類變量X和Y如下：合計(jì)乙校(X=1)甲校(X=0)優(yōu)秀(Y=1)不優(yōu)秀(Y=0)合計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)學(xué)校

我們將所給數(shù)據(jù)整理成2×2列聯(lián)表(單位：人).新知探究甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為由2×2列聯(lián)表可得新知探究還可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計(jì)算結(jié)果：左邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率;右邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率.通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率.依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷：P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).也就是說(shuō)，如果從甲校和乙校各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率，因此，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.問(wèn)題2你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯(cuò)誤的?

新知探究有可能事實(shí)上，“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率間存在差異推斷出來(lái)的.有可能出現(xiàn)這種情況:在隨機(jī)抽取的這個(gè)樣本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際上是沒(méi)有差別的.對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算.后面我們將討論犯這種錯(cuò)誤的概率大小問(wèn)題.鞏固練習(xí)1.成語(yǔ)“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導(dǎo)出高水平學(xué)生的概率較大”，即老師的名聲與學(xué)生的水平之間有關(guān)聯(lián).你能舉出更多的描述生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關(guān)聯(lián)的成語(yǔ)嗎?解：例如水漲船高、登高望遠(yuǎn)等.課本127頁(yè)2.例1中的隨機(jī)抽樣數(shù)據(jù)是否足夠確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率?為什么?解：不能.因?yàn)殡S機(jī)抽樣得到的樣本具有隨機(jī)性，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的頻率也具有隨機(jī)性.在統(tǒng)計(jì)推斷中，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以利用頻率推斷與X和Y有關(guān)的概率和條件概率，但由于頻率具有隨機(jī)性，這種推斷可能犯錯(cuò)誤.因此，隨機(jī)抽樣數(shù)據(jù)不足以確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率.鞏固練習(xí)3.根據(jù)有關(guān)規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語(yǔ).那么(1)吸煙是否對(duì)每位煙民一定會(huì)引發(fā)健康問(wèn)題?(2)有人說(shuō)吸煙不一定引起健康問(wèn)題，因此可以吸煙.這種說(shuō)法對(duì)嗎?解：(1)從已掌握的知識(shí)來(lái)看，吸煙會(huì)損害身體的健康.但除了吸煙之外，身體的健康還受許多其他隨機(jī)因素的影響，它是很多因素共同作用的結(jié)果.吸煙導(dǎo)致患病的案例非常普遍，但也可以找到長(zhǎng)壽的吸煙者.因此健康與吸煙有關(guān)聯(lián)，即從統(tǒng)計(jì)意義上講，吸煙會(huì)損害健康，但不一定會(huì)對(duì)每位煙民都引起健康問(wèn)題.(2)這種說(shuō)法不正確.雖然吸煙不一定會(huì)對(duì)每個(gè)人都引起健康問(wèn)題，但根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，吸煙比不吸煙引起健康問(wèn)題的可能性大，因此“吸煙不一定引起健康問(wèn)題，因此可以吸煙”的說(shuō)法是不對(duì)的.課本127頁(yè)鞏固練習(xí)課本127頁(yè)4.假設(shè)在本小節(jié)“問(wèn)題”中，只是隨機(jī)抽取了44名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯(lián)表:性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常女生51520男生61824合計(jì)113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說(shuō)明你的推斷結(jié)論是否可能犯錯(cuò)，并解釋原因.解：(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得男女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別為通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，男生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率與女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別相等，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以推斷P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1).因此，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響.(2)推斷可能犯錯(cuò)誤.因?yàn)闃颖臼峭ㄟ^(guò)隨機(jī)抽樣得到的，頻率具有隨機(jī)性，因此推斷可能犯錯(cuò)誤.1.分類變量

用以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的一種特殊的隨機(jī)變量，稱為分