微2習(xí)題課第12周解答

n1n(n

n1n(n 1(1 2(2

3(3 m(m

N(N1[1 1 1

m 1m 2m 3m11 1

2m m 2m

Nm1111 m

N N Nm n1n(n Nn1n(nlim11111 Nm N N Nm 1(111) n

n

unlim(SnSn1)n

Snn

Sn10n

S2nn

Snn所以n

S2n1lim(S2nu2n1)nSn

n

S2nn

u2n1n

S2n lim

l1a

；若l1，則上述級(jí)數(shù)收斂。l1

n1n

1

anl1，所以存在N10，當(dāng)nN1時(shí)，anq1 121這

1，

q，所以

n n nN11n n1n1n

anl1，所以存在N20，當(dāng)nN2時(shí)，anq2 20

1

nN21n

1

11

nn1

n

n（1）n

n2n32n1n(n2

n

2n

1n

n1（2）sin(2n2)1 解：收斂，因?yàn)閘im

) ，且 2收斂n

n

（3）n

lnp1p1 n

n1 ln(1n21)n1(n1 n)pln(1 2nn1(n1 n2

n2

1

11 1

13514

135147

liman1lim2n121n n3n ，其中r0nr1時(shí)，通項(xiàng)部趨向于零，發(fā)散；當(dāng)0r1limn2nrn x

3x

0n

xr

x

ln

x

ln

收斂，所以 收斂n nn2(ln ln2n limnnlimen n2(ln

；ln

nln nlnlimlnn，所以n充分大時(shí)lnne2， 1 1，級(jí)數(shù)收斂。 ln

a0

(e2)ln 1

(elna)ln

，所以lna1ae1aaba2ba2b2anbn1anbnanbn a,b0解：加括號(hào)成為級(jí)數(shù)(1aaba2ba2b2anbn1anbnan1bn(1a)ab(1a)a2b2(1a)anbn1)anbn(1a)且僅當(dāng)它以某種方式加括號(hào)后收斂，所以原級(jí)數(shù)當(dāng)ab 1時(shí)收斂，其它情形發(fā)散。(1)（1） np00p1p1(1)（2） n11（1）

n1n11n (n1)100解 (n1)100

100，100

n1 (n1)100（4）11111111

n

S2n存在，且n

an0（5） p00p1p1（6）

an

n(n1)! （7） an(n1)an(n1)pln(nn

a

．．(1) ) xa

,(,)；(3)

nln2

n1nsin

)nln2

nln2

1n5x

2n

n

kn1ksin

n1sin 1 n設(shè)f(x)在區(qū)間(,)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)．gn(x)nfx f(x)．求證n 在任意閉區(qū)間[a,b上，{gn(xf(xaa

bgn(x)dxf(b)f(a) nf 由中值定理：g(x) 1f(x)fx(x,n) nf f(x在R[a,b1]上一致連續(xù)．即對(duì)于任意ε>0δ0，使得當(dāng)|x-y|<δ時(shí)，f'(xfy)．特別取N>1/ε，則對(duì)于n>N，yx(xn),則有f'(xf'x(xnfxg(x)g(x) nf(x

3S(xncosnx3 3證明：當(dāng)0L3ncos3

在(LL求limS(x（1）證L3時(shí) cosnx2 (L)n，由(L)n收斂，

x